Koblet kartgitter - Coupled map lattice

Et kombinert kart gitter ( CML ) er et dynamisk system som modellerer oppførselen til ikke-lineære systemer (spesielt partielle differensialligninger ). De brukes hovedsakelig til å kvalitativt studere den kaotiske dynamikken i romlig utvidede systemer. Dette omfatter dynamikken i tid og rom kaos hvor antallet effektive frihetsgrader divergerer som størrelsen på systemet øker.

Funksjoner i CML er diskret tidsdynamikk , diskrete underliggende mellomrom (gitter eller nettverk) og reelle (tall eller vektorer), lokale, kontinuerlige tilstandsvariabler . Studerte systemer inkluderer populasjoner , kjemiske reaksjoner , konveksjon , væskestrøm og biologiske nettverk . Mer nylig har CMLer blitt brukt på beregningsnettverk som identifiserer skadelige angrepsmetoder og fallende feil .

CMLs er sammenlign Cellular Automata modeller når det gjelder deres diskrete funksjoner. Imidlertid er verdien av hvert nettsted i et mobilnettet automatanett strengt avhengig av naboen (e) fra det forrige tidstrinnet. Hvert sted i CML er bare avhengig av sine naboer i forhold til koblingstermet i gjentagelsesligningen . Likhetene kan imidlertid forsterkes når vi vurderer dynamiske systemer med flere komponenter.

Introduksjon

En CML inneholder generelt et system med ligninger (koblet eller frakoblet), et begrenset antall variabler, et globalt eller lokalt koblingsskjema og de tilhørende koblingsbetingelsene. Det underliggende gitteret kan eksistere i uendelige dimensjoner. Kartlegging av interesse for KML viser generelt kaotisk oppførsel. Slike kart finner du her: Liste over kaotiske kart .

En logistisk kartlegging demonstrerer kaotisk oppførsel, lett identifiserbar i en dimensjon for parameter r> 3.57:

{\ displaystyle \ qquad x_ {n+1} = rx_ {n} (1-x_ {n})}

I figur 1 er initialisert til tilfeldige verdier på tvers av et lite gitter; verdiene er frakoblet med hensyn til nærliggende steder. Den samme tilbakefallsrelasjonen brukes på hvert gitterpunkt, selv om parameteren r økes litt for hvert trinn. Resultatet er en rå form for kaotisk oppførsel i et kartgitter. Imidlertid er det ingen signifikante romlige korrelasjoner eller relevante fronter til den kaotiske oppførselen. Ingen åpenbar rekkefølge er åpenbar. ${\ displaystyle x_ {0}}$

For en grunnleggende kobling, vurderer vi en 'enkelt nabo' kobling der verdien på et gitt sted er beregnet fra de rekursive kartene både på seg selv og på nabostedet . Koblingsparameteren er like vektet. Igjen er verdien av konstant på tvers av gitteret, men litt økt med hvert trinn. ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle s-1}$ ${\ displaystyle \ epsilon = 0,5}$ ${\ displaystyle r}$

{\ displaystyle \ qquad x_ {n+1} = (\ epsilon) [rx_ {n} (1-x_ {n})] _ {s}+(1- \ epsilon) [rx_ {n} (1-x_ {n})] _ {s-1}}

Selv om rekursjonen er kaotisk, utvikler det seg en mer solid form i evolusjonen. Langstrakte konvektive mellomrom vedvarer gjennom gitteret (se figur 2).


Figur 1: Et frakoblet logistisk kartgitter med tilfeldig såing over førti gjentakelser.	Figur 2: En CML med et koblingskjema for én nabo som overtok førti gjentakelser.

Historie

CML ble først introdusert på midten av 1980 -tallet gjennom en serie tett utgitte publikasjoner. Kapral brukte CML for modellering av kjemiske romlige fenomener. Kuznetsov søkte å bruke CML -er på elektriske kretser ved å utvikle en tilnærming til en renormaliseringsgruppe (ligner Feigenbaums universalitet på romlig utvidede systemer). Kanekos fokus var mer bredt, og han er fremdeles kjent som den mest aktive forskeren på dette området. Den mest undersøkte CML -modellen ble introdusert av Kaneko i 1983, hvor gjentagelsesligningen er som følger:

{\ displaystyle u_ {s}^{t+1} = (1- \ varepsilon) f (u_ {s}^{t})+{\ frac {\ varepsilon} {2}} \ venstre (f (u_ { s+1}^{t})+f (u_ {s-1}^{t}) \ right) \ \ \ t \ in \ mathbb {N}, \ \ varepsilon \ in [0,1]}

hvor og er en skikkelig kartlegging. ${\ displaystyle u_ {s}^{t} \ i {\ mathbb {R}} \,}$ ${\ displaystyle f}$

Den anvendte CML -strategien var som følger:

Velg et sett med feltvariabler på gitteret på et makroskopisk nivå. Dimensjonen (ikke begrenset av CML -systemet) bør velges for å tilsvare det fysiske rommet som undersøkes.
Dekomponer prosessen (underliggende fenomenene) til uavhengige komponenter.
Erstatt hver komponent med en ikke -lineær transformasjon av feltvariabler på hvert gitterpunkt og koblingsterm på passende, valgte naboer.
Utfør hver enhetsdynamikk ("prosedyre") suksessivt.

Klassifisering

CML -systemet utvikler seg gjennom diskret tid ved å kartlegge vektorsekvenser. Disse kartleggingene er en rekursiv funksjon av to konkurrerende termer: en individuell ikke-lineær reaksjon og en romlig interaksjon (kobling) med variabel intensitet. CML kan klassifiseres etter styrken til denne (e) koblingsparameteren (e).

Mye av dagens publiserte arbeide i CMLs er basert på svake koblede systemer hvor diffeomorphisms av tilstands nær identitet blir studert. Svak kobling med monotoniske ( bistabile ) dynamiske regimer demonstrerer romlige kaosfenomener og er populære i nevrale modeller. Svake kobling unimodale kart er preget av deres stabile periodiske punkter og brukes av genregulerende nettverksmodeller . Rom-tid kaotiske fenomener kan demonstreres fra kaotiske kartlegginger som er utsatt for svake koblingskoeffisienter og er populære i faseovergangsfenomenmodeller .

Mellomliggende og sterke koblingsinteraksjoner er mindre produktive studieområder. Mellomliggende interaksjoner studeres med hensyn til fronter og bevegelige bølger , tøffe bassenger, tette bifurkasjoner, klynger og ikke-unike faser. Sterke koblingsinteraksjoner er mest kjent for å modellere synkroniseringseffekter av dynamiske romlige systemer som Kuramoto -modellen .

Disse klassifiseringene gjenspeiler ikke den lokale eller globale (GML) koblingskarakteren til interaksjonen. De anser heller ikke frekvensen av koblingen som kan eksistere som en grad av frihet i systemet. Til slutt skiller de ikke mellom størrelsene på det underliggende rommet eller grensebetingelsene .

Overraskende har dynamikken i CML -er lite å gjøre med de lokale kartene som utgjør deres elementære komponenter. Med hver modell er det nødvendig med en grundig matematisk undersøkelse for å identifisere en kaotisk tilstand (utover visuell tolkning). Det er utført strenge bevis for dette. For eksempel: eksistensen av rom-tid-kaos i svake rominteraksjoner mellom endimensjonale kart med sterke statistiske egenskaper ble påvist av Bunimovich og Sinai i 1988. Lignende bevis finnes for svakt koblede hyperboliske kart under de samme forholdene.

Unike CML kvalitative klasser

CML har avslørt nye kvalitative universalitetsklasser innen (CML) fenomenologi. Slike klasser inkluderer:

Romlig splittelse og frosset kaos
Mønstervalg
Valg av sikksakkmønstre og kaotisk spredning av defekter
Romlig tidsmessig intermittency
Soliton -turbulens
Globale reisebølger generert av lokale fasefly
Romlig bifurkasjon til nedstrømning i åpne strømningssystemer.

Visuelle fenomener

De unike kvalitative klassene som er oppført ovenfor, kan visualiseres. Ved å bruke Kaneko 1983 -modellen på det logistiske kartet, kan flere av CMLs kvalitative klasser observeres. Disse er demonstrert nedenfor, vær oppmerksom på de unike parameterne: ${\ displaystyle {f (x_ {n})} = 1-aks^{2}}$

Frosset kaos	Mønstervalg	Kaotisk brunsk defektbevegelse

Figur 1: Nettsteder er delt inn i ikke-ensartede klynger, hvor de delte mønstrene blir sett på som tiltrekkere. Følsomhet for innledende forhold eksisterer i forhold til a <1,5.	Figur 2: Nær ensartede klynger ( a = 1,71, ε = 0,4).	Figur 3: Defekter eksisterer i systemet og svinger kaotisk i likhet med brun bevegelse ( a = 1,85, ε = 0,1).
Defekt Turbulens	Spatiotemporal intermittency I	Spatiotemporal intermittency II

Figur 4: Mange feil genereres og kolliderer turbulent ( a = 1.895, ε = 0.1).	Figur 5: Hvert sted passerer mellom en koherent tilstand og kaotisk tilstand periodisk ( a = 1,75, ε = 0,6), fase I.	Figur 6: Den sammenhengende tilstanden, fase II.
Fullt utviklet Spatiotemporal Kaos	Traveling Wave

Figur 7: De fleste steder oscillerer uavhengig kaotisk ( a = 2,00, ε = 0,3).	Figur 8: Klyngebølgen beveger seg ved 'lave' hastigheter ( a = 1,47, ε = 0,5).

Kvantitative analysekvantifiseringer

Koblede kartgitter som er en prototype av romlig utvidede systemer som er enkle å simulere, har representert en målestokk for definisjonen og introduksjonen av mange indikatorer på romtids-kaos, de mest relevante er

Den effektspekteret i rom og tid
Lyapunov -spektra
Dimensjonstetthet
Kolmogorov-Sinai entropi tetthet
Fordeling av mønstre
Mønster entropi
Formeringshastighet av begrenset og uendelig forstyrrelse
Gjensidig informasjon og korrelasjon i romtid
Lyapunov -eksponenter , lokalisering av Lyapunov -vektorer
Komende og sub-space tid Lyapunov eksponenter .
Romlige og tidsmessige Lyapunov -eksponenter

Se også

Referanser

Videre lesning

Google Library (2005). Dynamikk av koblede kartgitter . Springer. ISBN 978-3-540-24289-5. Arkivert fra originalen 2008-03-29.
Shawn D. Pethel; Ned J. Corron; Erik Bollt (2006). "Symbolsk dynamikk i sammenkoblede kartgitter" . Fysiske gjennomgangsbrev . 96 (3): 034105. Bibcode : 2006PhRvL..96c4105P . doi : 10.1103/PhysRevLett.96.034105 . PMID 16486708 . Alt URL
E. Atlee Jackson (1989), Perspectives of Nonlinear Dynamics: Volume 2 , Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-42633-2
HG, Schuster; W. Just (2005), Deterministic Chaos , John Wiley and Sons Ltd, 2005, ISBN 3-527-40415-5
Introduksjon til kaos og ikke -lineær dynamikk

Languages

In other projects