Grad av feltutvidelse - Degree of a field extension

I matematikk , nærmere bestemt feltteori , er graden av en feltforlengelse et grovt mål på "størrelsen" på feltutvidelsen . Konseptet spiller en viktig rolle i mange deler av matematikken, inkludert algebra og tallteori - faktisk i alle områder der felt vises tydelig.

Definisjon og notasjon

Anta at E / F er en feltutvidelse . Da kan E betraktes som et vektorrom over F (feltet skalarer). Den dimensjonen av dette vektorrommet kalles graden av feltet forlengelse , og det er betegnet med [E: F].

Graden kan være begrenset eller uendelig, feltet kalles en endelig forlengelse eller uendelig forlengelse tilsvarende. En utvidelse E / F sies også noen ganger å være rett og slett begrenset hvis det er en endelig forlengelse; dette bør ikke forveksles med at feltene i seg selv er endelige felt (felt med endelig mange elementer).

Graden skal ikke forveksles med transcendensgraden til et felt; for eksempel har feltet Q ( X ) for rasjonelle funksjoner uendelig grad over Q , men transcendensgrad er bare lik 1.

Multiplikativitetsformelen for grader

Gitt tre felt arrangert i et tårn , si K et underfelt til L som igjen er et underfelt til M , er det en enkel sammenheng mellom grader av de tre utvidelsene L / K , M / L og M / K :

${\ displaystyle [M: K] = [M: L] \ cdot [L: K].}$

Med andre ord, graden som går fra "bunnen" til "topp" -feltet er bare produktet av gradene som går fra "bunnen" til "midten" og deretter fra "midten" til "toppen". Det er ganske analogt med Lagranges teorem i gruppeteori , som knytter rekkefølgen til en gruppe til rekkefølgen og indeksen til en undergruppe - faktisk viser Galois -teorien at denne analogien er mer enn bare en tilfeldighet.

Formelen gjelder for både endelige og uendelige gradforlengelser. I det uendelige tilfellet tolkes produktet i betydningen produkter med kardinalnummer . Spesielt betyr dette at hvis M / K er begrenset, så er både M / L og L / K begrenset.

Hvis M / K er begrenset, pålegger formelen sterke begrensninger for hvilke felt som kan oppstå mellom M og K , via enkle aritmetiske betraktninger. For eksempel, hvis graden [ M : K ] er et primtall p , så kan et av to ting skje for et mellomfelt L : enten [ M : L ] = p og [ L : K ] = 1, der Hvis L er lik K , eller [ M : L ] = 1 og [ L : K ] = p , i hvilket tilfelle L er lik M . Derfor er det ingen mellomfelt (bortsett fra M og K selv).

Bevis på multiplikativitetsformelen i det endelige tilfellet

Anta at K , L og M danner et tårn av felt som i gradformelen ovenfor, og at både d = [ L : K ] og e = [ M : L ] er begrenset. Dette betyr at vi kan velge en basis { u ₁ , ..., u _d } for L i løpet av K , og en basis { w ₁ , ..., w _e } for M enn L . Vi vil vise at elementene u _m w _n , for m som strekker seg gjennom 1, 2, ..., d og n som strekker seg gjennom 1, 2, ..., e , danner et grunnlag for M / K ; siden det er nøyaktig de av dem, beviser dette at dimensjonen til M / K er de , som er ønsket resultat.

Først sjekker vi at de spenner M / K . Hvis x er et element i M , siden w _n danner grunnlaget for M over L , kan vi finne elementer a _n i L slik at

${\ displaystyle x = \ sum _ {n = 1}^{e} a_ {n} w_ {n} = a_ {1} w_ {1} +\ cdots +a_ {e} w_ {e}.}$

Siden u _m danner grunnlaget for L over K , kan vi finne elementene b _{m , n} i K slik at for hver n ,

${\ displaystyle a_ {n} = \ sum _ {m = 1}^{d} b_ {m, n} u_ {m} = b_ {1, n} u_ {1} +\ cdots +b_ {d, n } u_ {d}.}$

Deretter bruker vi fordelingsloven og assosiativiteten til multiplikasjon i M vi har

${\ displaystyle x = \ sum _ {n = 1}^{e} \ left (\ sum _ {m = 1}^{d} b_ {m, n} u_ {m} \ right) w_ {n} = \ sum _ {n = 1}^{e} \ sum _ {m = 1}^{d} b_ {m, n} (u_ {m} w_ {n}),}$

som viser at x er en lineær kombinasjon av u _m w _n med koeffisienter fra K ; med andre ord spenner de M løpet K .

Dernest må vi sjekke at de er lineært uavhengig løpet K . Så anta det

${\ displaystyle 0 = \ sum _ {n = 1}^{e} \ sum _ {m = 1}^{d} b_ {m, n} (u_ {m} w_ {n})}$

for noen koeffisienter b _{m , n} i K . Ved å bruke distributivitet og assosiativitet igjen, kan vi gruppere begrepene som

${\ displaystyle 0 = \ sum _ {n = 1}^{e} \ left (\ sum _ {m = 1}^{d} b_ {m, n} u_ {m} \ right) w_ {n}, }$

og vi ser at uttrykkene i parentes må være null, fordi de er elementer av L , og w _n er lineært uavhengig i L . Det er,

${\ displaystyle 0 = \ sum _ {m = 1}^{d} b_ {m, n} u_ {m}}$

for hver n . Siden b _{m , n} koeffisientene er i K , og u _m er lineært uavhengige over K , må vi ha den b _{m , n} = 0 for alle m og alle n . Dette viser at elementene u _M w _n er lineært uavhengig i K . Dette avslutter beviset.

Bevis på formelen i det uendelige tilfellet

I dette tilfellet starter vi med baser u _a- og w _β av L / K og M / L henholdsvis, hvor α er tatt fra en indekseringssett A , og β fra en indekseringssett B . Ved å bruke en helt lik argument som den ovenfor, finner vi at produktene u _a w _β danner en basis for M / K . Disse er indeksert av den kartesiske produkt A x B , som ved definisjon har cardinality lik produktet av de kardinalitetene av A og B .

Eksempler

• De komplekse tallene er en feltforlengelse over de reelle tallene med grad [ C : R ] = 2, og det er dermed ingen ikke-trivielle felt mellom dem.
• Feltutvidelsen Q ( √ 2 , √ 3 ), oppnådd ved å grense √ 2 og √ 3 til feltet Q for rasjonelle tall , har grad 4, det vil si [ Q ( √ 2 , √ 3 ): Q ] = 4. Mellomfeltet Q ( √ 2 ) har grad 2 over Q ; vi konkluderer med formelen for multiplikativitet at [ Q ( √ 2 , √ 3 ): Q ( √ 2 )] = 4/2 = 2.
• Det endelige feltet (Galois -feltet) GF (125) = GF (5 ³ ) har grad 3 over sitt underfelt GF (5). Mer generelt, hvis p er en primtall og n , er m positive heltall med n som deler m , så [ GF ( p ^m ): GF ( p ⁿ )] = m / n .
• Feltforlengelsen C ( T )/ C , hvor C ( T ) er feltet for rasjonelle funksjoner over C , har uendelig grad (det er faktisk en rent transcendental forlengelse). Dette kan ses ved å observere at elementene 1, T , T ² , etc., er lineært uavhengig enn C .
• Feltet forlengelse C ( T ² ) også har uendelig grad over C . Men hvis vi ser på C ( T ² ) som et underfelt til C ( T ), så faktisk [ C ( T ): C ( T ² )] = 2. Mer generelt, hvis X og Y er algebraiske kurver over et felt K , og F  : X → Y er en surjektiv morfisme mellom dem av grad d , da er funksjonsfeltene K ( X ) og K ( Y ) begge av uendelig grad over K , men graden [ K ( X ): K ( Y )] viser seg å være lik d .

Generalisering

Gitt to divisjonsringer E og F med F inneholdt i E og multiplikasjon og tillegg av F som begrensning av operasjonene i E , kan vi betrakte E som et vektorrom over F på to måter: å ha skalarene til å fungere til venstre, å gi en dimensjon [ E : F ] _l , og få dem til å handle til høyre, gi en dimensjon [ E : F ] _r . De to dimensjonene trenger ikke være enige. Begge dimensjoner tilfredsstiller imidlertid en multiplikasjonsformel for tårn i divisjonsringer; beviset ovenfor gjelder venstrevirkende skalarer uten endring.

Referanser

• side 215, Jacobson, N. (1985). Basic Algebra jeg . WH Freeman og selskap. ISBN 0-7167-1480-9. Bevis på multiplikativitetsformelen.
• side 465, Jacobson, N. (1989). Grunnleggende Algebra II . WH Freeman og selskap. ISBN 0-7167-1933-9. Diskuterer kort den uendelige dimensjonale saken.