Funksjonens domene - Domain of a function

En funksjon

f

fra

X

til

Y

. Den røde ovale

X

er domenet til

f

.

Graf over den virkelige kvadratrotfunksjonen , f ( x ) = √ x , hvis domene består av alle ikke-negative reelle tall

I matematikk , det domenet eller sett av avgang av en funksjon er det satt inn i hvilken alle input av den funksjon er begrenset til å falle. Det er settet $X$ i notasjonen $f : X \to Y$ , og er alternativt betegnet som . Siden en (total) funksjon er definert på hele domenet, faller domenet sammen med definisjonsdomenet . Imidlertid er denne tilfeldigheten ikke lenger sant for en delvis funksjon , siden definisjonsdomenet for en delvis funksjon kan være en riktig delmengde av domenet. ${\ displaystyle \ operatorname {dom} (f)}$

Et domene er en del av en funksjon $f$ hvis $f$ er definert som en trippel $(X, Y, G)$ , der $X$ kalles domenet til $f$ , $Y$ dets kodomene og $G$ dets graf .

Et domene er ikke en del av en funksjon $f$ hvis $f$ er definert som bare en graf. For eksempel er det noen ganger praktisk i settteori å tillate domenet til en funksjon å være en riktig klasse $X$ , i så fall er det formelt ikke noe som heter trippel $(X, Y, G)$ . Med en slik definisjon, har funksjoner som ikke har et domene, selv om noen forfattere fortsatt bruke den uformell etter innføring av en funksjon i form $f : X \to Y$ .

For eksempel er cosinus -domenet mengden av alle reelle tall , mens kvadratrotets domene bare består av tall større enn eller lik 0 (ignorerer komplekse tall i begge tilfeller).

Hvis domenet til en funksjon er en delmengde av de reelle tallene og funksjonen er representert i et kartesisk koordinatsystem , er domenet representert på x -aksen.

Eksempler

En veldefinert funksjon må kartlegge hvert element i domenet til et element i kododomenet. For eksempel funksjonen definert av ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}

har ingen verdi for . Dermed mengden av alle reelle tall , , kan ikke være sitt domene. I slike tilfeller er funksjonen enten definert på , eller "gapet er plugget" ved å definere eksplisitt. For eksempel. hvis man utvider definisjonen av til stykkevis funksjonen ${\ displaystyle f (0)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle f (0)}$ ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 1/x & x \ not = 0 \\ 0 & x = 0 \ end {cases}}}

da er definert for alle reelle tall, og domenet er . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Enhver funksjon kan begrenses til en delmengde av domenet. Den begrensning av til der , er skrevet som . ${\ displaystyle g \ kolon A \ til B}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S \ subseteq A}$ ${\ displaystyle \ left.g \ right | _ {S} \ kolon S \ til B}$

Naturlig domene

Det naturlige domenet til en funksjon (noen ganger forkortet som domene) er det maksimale settet med verdier funksjonen er definert for, vanligvis innenfor realene, men noen ganger blant heltall eller komplekse tall også. For eksempel er kvadratrots naturlige domene de ikke-negative realene når de betraktes som en reell tallfunksjon. Når du vurderer et naturlig domene, kalles settet med mulige verdier for funksjonen vanligvis dens område . I kompleks analyse spesielt flere komplekse variabler , når en funksjon f er holomorf på domenet og ikke kan koble seg direkte til domenet utenfor D , inkludert punktet for domenegrensa , med andre ord, er et slikt domene D et naturlig domene i følelsen av analytisk fortsettelse , domenet D kalles domenet til holomorfi for f og grensen kalles den naturlige grensen til f . ${\ displaystyle D \ delsett \ mathbb {C} ^{n}}$ ${\ displaystyle \ delvis D}$

Kategoriteori

Kategoriteori omhandler morfisme i stedet for funksjoner. Morfisme er piler fra ett objekt til et annet. Domenet til enhver morfisme er objektet som en pil starter fra. I denne sammenhengen må mange teoretiske ideer om domener forlates - eller i det minste formuleres mer abstrakt. For eksempel må ideen om å begrense en morfisme til en delmengde av domenet endres. For mer, se delobjekt .

Andre bruksområder

Ordet "domene" brukes med andre relaterte betydninger i noen matematikkområder. I topologi er et domene et tilkoblet åpent sett . I reell og kompleks analyse er et domene en åpen tilkoblet delmengde av et reelt eller komplekst vektorrom. I studiet av partielle differensialligninger er et domene den åpne, tilkoblede delmengden til det euklidiske rommet der et problem oppstår (dvs. der den eller de ukjente funksjonene er definert). ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Mer vanlige eksempler

Som en delfunksjon fra de reelle tallene til de reelle tallene, har funksjonen domene . Men hvis man definerer kvadratroten til et negativt tall x som det komplekse tallet z med positiv imaginær del slik at z ² = x , så har funksjonen hele den virkelige linjen som sitt domene (men nå med et større kodomen). Domenet til den trigonometriske funksjonen er settet med alle (reelle eller komplekse) tall, som ikke er av formen . ${\ displaystyle x \ mapsto {\ sqrt {x}}}$ ${\ displaystyle x \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ sqrt {x}}}$ ${\ displaystyle \ tan x = {\ tfrac {\ sin x} {\ cos x}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {2}}+k \ pi, k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots}$