Tomt sett - Empty set

I matematikk er det tomme settet det unike settet uten elementer ; størrelsen eller kardinaliteten (antall elementer i et sett) er null . Noen aksiomatiske settteorier sikrer at det tomme settet eksisterer ved å inkludere et aksiom med tomt sett , mens i andre teorier kan dets eksistens utledes. Mange mulige egenskaper for sett er vakuum sanne for det tomme settet.

Alle andre sett enn det tomme settet kalles ikke-tomt .

I noen lærebøker og populariseringer blir det tomme settet referert til som "null -settet". Imidlertid null sett er en klar forestilling innenfor rammen av måle teori , hvor det beskrives et sett av måle null (som ikke nødvendigvis er tom). Det tomme settet kan også kalles det ugyldige settet .

Notasjon

Vanlige notasjoner for det tomme settet inkluderer "{}", " " og "∅". De to sistnevnte symbolene ble introdusert av Bourbaki -gruppen (nærmere bestemt André Weil ) i 1939, inspirert av bokstaven Ø i de danske og norske alfabeter. Tidligere ble "0" tidvis brukt som et symbol for det tomme settet, men dette anses nå som en feil bruk av notasjon. ${\ displaystyle \ emptyset}$

Symbolet ∅ er tilgjengelig på Unicode punkt U+2205. Den kan kodes i HTML som ∅og som ∅. Den kan kodes i LaTeX som \varnothing. Symbolet er kodet i LaTeX som . ${\ displaystyle \ emptyset}$\emptyset

Når du skriver på språk som dansk og norsk, der det tomme settet kan forveksles med den alfabetiske bokstaven Ø (som når du bruker symbolet i lingvistikk), kan Unicode -tegnet U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰ brukes i stedet.

Egenskaper

I standard aksiomatisk settteori , etter prinsippet om forlengelse , er to sett like hvis de har de samme elementene. Som et resultat kan det bare være ett sett uten elementer, derav bruken av "det tomme settet" i stedet for "et tomt sett".

Følgende viser dokument med noen av de mest bemerkelsesverdige egenskapene knyttet til det tomme settet. For mer informasjon om de matematiske symbolene som brukes der, se Liste over matematiske symboler .

For ethvert sett A :

• Det tomme settet er et delsett av A :

  ${\ displaystyle \ forall A: \ varnothing \ subseteq A}$

• Den union av A med den tomme settet er A :

  ${\ displaystyle \ forall A: A \ cup \ varnothing = A}$

• Den skjæringspunktet av A med det tomme sett er det tomme settet:

  ${\ displaystyle \ forall A: A \ cap \ varnothing = \ varnothing}$

• Det kartesiske produktet av A og det tomme settet er det tomme settet:

  ${\ displaystyle \ forall A: A \ times \ varnothing = \ varnothing}$

Det tomme settet har følgende egenskaper:

• Det eneste delsettet er selve det tomme settet:

  ${\ displaystyle \ forall A: A \ subseteq \ varnothing \ Rightarrow A = \ varnothing}$

• Den kraft settet av det tomme sett er det sett som inneholder bare den tomme settet:

  ${\ displaystyle 2^{\ varnothing} = \ {\ varnothing \}}$

• Antall elementer i det tomme settet (dvs. dets kardinalitet ) er null:

  ${\ displaystyle \ mathrm {|} \ varnothing \ mathrm {|} = 0}$

Forbindelsen mellom det tomme settet og nullet går imidlertid lenger: i standardsetteteoretisk definisjon av naturlige tall brukes sett for å modellere de naturlige tallene. I denne sammenhengen er null modellert av det tomme settet.

For enhver eiendom P :

• For hvert element av , eiendommen P holder ( vakuum sannhet ).${\ displaystyle \ varnothing}$
• Det er ingen elementer som eiendommen P holder for.${\ displaystyle \ varnothing}$

Omvendt, hvis for noen eiendom P og noen sett V , gjelder følgende to utsagn:

• For hvert element i V eiendommen P holder
• Det er ikke noe element av V som eiendommen P holder for

deretter ${\ displaystyle V = \ varnothing.}$

Ved definisjonen av delsett , er det tomme sett en delmengde av et sett A . Det vil si at hvert element x av tilhører A . Faktisk, hvis det ikke var sant at hvert element er i A , så ville det være minst ett element av som ikke er tilstede i A . Siden det ikke er noen elementer av det hele tatt, er det ingen del av den er ikke i A . Enhver uttalelse som begynner "for hvert element av ", gir ingen materiell påstand; det er en uklar sannhet . Dette blir ofte omskrevet som "alt er sant for elementene i det tomme settet." ${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ varnothing}$

Operasjoner på det tomme settet

Når man snakker om summen av elementene i et begrenset sett, ledes man uunngåelig til konvensjonen om at summen av elementene i det tomme settet er null. Grunnen til dette er at null er identitetselementet for tillegg. På samme måte bør produktet av elementene i det tomme settet anses å være ett (se tomt produkt ), siden det ene er identitetselementet for multiplikasjon.

En forstyrrelse er en permutasjon av et sett uten faste punkter . Det tomme settet kan betraktes som en forstyrrelse av seg selv, fordi det bare har en permutasjon ( ), og det er vakuum sant at det ikke kan finnes noe element (av det tomme settet) som beholder sin opprinnelige posisjon. ${\ displaystyle 0! = 1}$

På andre matematikkområder

Utvidede reelle tall

Siden det tomme settet ikke har noe medlem når det regnes som en delsett av et ordnet sett , vil hvert medlem av det settet være en øvre og nedre grense for det tomme settet. For eksempel, når det blir sett på som en delmengde av de reelle tallene, med sin vanlige rekkefølge, representert ved den reelle tallinjen , er hvert reelle tall både en øvre og en nedre grense for det tomme settet. Når det blir sett på som en delmengde av de utvidede realene dannet ved å legge to "tall" eller "poeng" til de reelle tallene (nemlig negativ uendelig , angitt som er definert til å være mindre enn alle andre utvidede reelle tall, og positiv uendelig , betegnet som er definert til å være større enn alle andre utvidede reelle tall), har vi det: ${\ displaystyle -\ infty \! \ ,,}$${\ displaystyle +\ infty \! \ ,,}$

og

Det vil si at den minste øvre grensen (sup eller supremum ) for det tomme settet er negativ uendelig, mens den største nedre grensen (inf eller infimum ) er positiv uendelig. I analogi med det ovennevnte, i domenet til de utvidede realene, er negativ uendelighet identitetselementet for maksimums- og overordnede operatører, mens positiv uendelighet er identitetselementet for minimums- og minimumoperatørene.

Topologi

I en hvilken som helst topologisk rom X , er det tomme sett åpen ved definisjon, som er X . Siden komplementet til et åpent sett er lukket og det tomme settet og X komplementerer hverandre, blir det tomme settet også lukket, noe som gjør det til et lukket sett . Dessuten er det tomme settet kompakt ved at hvert begrensede sett er kompakt.

Den lukking av den tomme settet er tom. Dette er kjent som "bevaring av nullary fagforeninger ."

Kategoriteori

Hvis det er et sett, eksisterer det nettopp en funksjon fra til den tomme funksjonen . Som et resultat er det tomme settet det unike opprinnelige objektet for kategorien sett og funksjoner. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle A,}$

Det tomme settet kan gjøres om til et topologisk rom , kalt det tomme rommet, på bare én måte: ved å definere det tomme settet som åpent . Dette tomme topologiske rommet er det unike opprinnelige objektet i kategorien topologiske mellomrom med kontinuerlige kart . Faktisk er det et strengt startobjekt : bare det tomme settet har en funksjon til det tomme settet.

Settteori

I von Neumann -konstruksjonen av ordinalene er 0 definert som det tomme settet, og etterfølgeren til en ordinal er definert som . Dermed har vi , , , og så videre. Von Neumann -konstruksjonen, sammen med det uendelige aksiomet , som garanterer eksistensen av minst ett uendelig sett, kan brukes til å konstruere settet med naturlige tall , slik at Peano -aksiomene for aritmetikk blir tilfredsstilt. ${\ displaystyle S (\ alpha) = \ alpha \ cup \ {\ alpha \}}$${\ displaystyle 0 = \ varnothing}$${\ displaystyle 1 = 0 \ cup \ {0 \} = \ {\ varnothing \}}$${\ displaystyle 2 = 1 \ cup \ {1 \} = \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \}}$${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$

Tvivlet på eksistensen

Aksiomatisk settteori

I Zermelo -settteorien er eksistensen av det tomme settet sikret av aksiomet til det tomme settet , og dets særegenhet følger av aksiomet for forlengelsesmuligheter . Aksiomet til det tomme settet kan imidlertid vises overflødig på minst to måter:

• Standard første ordens logikk innebærer, bare fra de logiske aksiomene , at noe eksisterer, og på settetoriens språk må den tingen være et sett. Nå følger eksistensen av det tomme settet lett fra separasjonsaksiomet .
• Selv ved bruk av gratis logikk (som ikke logisk antyder at noe eksisterer), er det allerede et aksiom som antyder eksistensen av minst ett sett, nemlig uendelighetens aksiom .

Filosofiske spørsmål

Selv om det tomme settet er et standard og allment akseptert matematisk konsept, er det fortsatt en ontologisk nysgjerrighet, hvis betydning og nytte blir diskutert av filosofer og logikere.

Det tomme settet er ikke det samme som ingenting ; snarere, det er et sett med ingenting inni det, og et sett er alltid noe . Dette problemet kan løses ved å se på et sett som en pose - en tom pose eksisterer utvilsomt fortsatt. Darling (2004) forklarer at det tomme settet ikke er ingenting, men snarere "settet til alle trekanter med fire sider, settet med alle tall som er større enn ni, men mindre enn åtte, og settet med alle åpningsbevegelser i sjakk som involvere en konge . "

Den populære syllogismen

Ingenting er bedre enn evig lykke; en skinke sandwich er bedre enn ingenting; derfor er en skinke smørbrød bedre enn evig lykke

brukes ofte for å demonstrere det filosofiske forholdet mellom begrepet ingenting og det tomme settet. Darling skriver at kontrasten kan sees ved å skrive om utsagnene "Ingenting er bedre enn evig lykke" og "[A] skinke -sandwich er bedre enn ingenting" i en matematisk tone. I følge Darling tilsvarer førstnevnte "settet med alle ting som er bedre enn evig lykke er " og sistnevnte til "settet {skinke} er bedre enn settet ". Den første sammenligner elementer i sett, mens den andre sammenligner settene selv. ${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ varnothing}$

Jonathan Lowe hevder at mens det tomme settet:

"var utvilsomt et viktig landemerke i matematikkhistorien, ... vi skal ikke anta at dets nytteverdi i beregningen er avhengig av at det faktisk betegner et objekt."

det er også slik at:

"Alt vi noen gang er informert om det tomme settet er at det (1) er et sett, (2) ikke har noen medlemmer, og (3) er unikt blant sett i det å ikke ha noen medlemmer. Imidlertid er det veldig mange ting som ' har ingen medlemmer, i sett-teoretisk forstand-nemlig alle ikke-sett. Det er helt klart hvorfor disse tingene ikke har noen medlemmer, for de er ikke sett. Det som er uklart er hvordan det kan være unikt blant sett, en sett som ikke har noen medlemmer. Vi kan ikke få en slik enhet til å eksistere ved bare å fastsette. "

George Boolos argumenterte for at mye av det som tidligere er blitt oppnådd ved settteori, like gjerne kan oppnås ved flertallskvantifisering over individer, uten å reifisere sett som entall enheter som har andre enheter som medlemmer.

Se også

• 0  - Antall
• Inhabited set  - Type sett i konstruktiv matematikk
• Ingenting  - Konsept som angir fravær av noe
• Power set  - Matematisk sett som inneholder alle delsettene til et gitt sett

Referanser

Videre lesning

• Halmos, Paul , Naiv sett teori . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Gjengitt av Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (Springer-Verlag-utgaven). Gjentrykt av Martino Fine Books, 2011. ISBN  978-1-61427-131-4 (pocketutgave).
• Jech, Thomas (2002), Set Theory , Springer Monographs in Mathematics (3. årtusen utg.), Springer, ISBN 3-540-44085-2
• Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2. utg.), Harcourt Brace Jovanovich , ISBN 0155610392

Eksterne linker

• Weisstein, Eric W. "Tomt sett" . MathWorld .