Dyadisk transformasjon - Dyadic transformation

Den dyadisk transformasjon (også kjent som dyadisk kartet , bits skift kart , 2 x  mod en kart , Bernoulli kart , dobling kart eller sagtannet kart ) er den kartlegging (dvs. gjentakelse forhold )

${\ displaystyle T: [0,1) \ til [0,1)^{\ infty}}$

${\ displaystyle x \ mapsto (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, \ ldots)}$

(hvor er settet med sekvenser fra ) produsert av regelen ${\ displaystyle [0,1)^{\ infty}}$${\ displaystyle [0,1)}$

${\ displaystyle x_ {0} = x}$

${\ displaystyle {\ text {for all}} n \ geq 0, \ x_ {n+1} = (2x_ {n}) {\ bmod {1}}}$.

Tilsvarende kan den dyadiske transformasjonen også defineres som det itererte funksjonskartet for den stykkevise lineære funksjonen

${\ displaystyle T (x) = {\ begin {cases} 2x & 0 \ leq x <{\ frac {1} {2}} \\ 2x-1 & {\ frac {1} {2}} \ leq x <1. \ end {cases}}}$

Navnet bit shift -kartet oppstår fordi hvis verdien av en iterat er skrevet i binær notasjon, oppnås neste iterat ved å flytte det binære punktet en bit til høyre, og hvis biten til venstre for det nye binære punktet er en "en", og erstatter den med en null.

Den dyadiske transformasjonen gir et eksempel på hvordan et enkelt 1-dimensjonalt kart kan gi kaos . Dette kartet generaliserer lett til flere andre. En viktig er betatransformasjonen , definert som . Dette kartet har blitt grundig studert av mange forfattere. Det ble introdusert av Alfréd Rényi i 1957, og et uforanderlig tiltak for det ble gitt av Alexander Gelfond i 1959 og igjen uavhengig av Bill Parry i 1960. ${\ displaystyle T _ {\ beta} (x) = \ beta x {\ bmod {1}}}$

Forholdet til Bernoulli -prosessen

Kartet kan fås som en homomorfisme på Bernoulli -prosessen . La være settet med alle semi-uendelige strenger av bokstavene og . Disse kan forstås å være en myntsving, som kommer opp i hoder eller haler. Tilsvarende kan man skrive plassen til alle (semi-) uendelige strenger av binære biter. Ordet "uendelig" er kvalifisert med "semi-", ettersom man også kan definere et annet rom som består av alle dobbelt-uendelige (dobbelt-endede) strenger; dette vil føre til Baker -kartet . Kvalifiseringen "semi-" faller under. ${\ displaystyle \ Omega = \ {H, T \}^{\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ Omega = \ {0,1 \}^{\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ {0,1 \}^{\ mathbb {Z}}}$

Dette rommet har en naturlig skiftoperasjon , gitt av

${\ displaystyle T (b_ {0}, b_ {1}, b_ {2}, \ dots) = (b_ {1}, b_ {2}, \ dots)}$

hvor er en uendelig streng med binære sifre. Gitt en slik streng, skriv ${\ displaystyle (b_ {0}, b_ {1}, \ dots)}$

${\ displaystyle x = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {b_ {n}} {2^{n+1}}}.}$

Det resulterende er et reelt tall i enhetsintervallet Skiftet induserer en homomorfisme , også kalt , på enhetsintervallet. Siden man lett kan se at for den dobbelt-uendelige sekvensen av biter er den induserte homomorfismen Baker's map . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle 0 \ leq x \ leq 1.}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T (b_ {0}, b_ {1}, b_ {2}, \ dots) = (b_ {1}, b_ {2}, \ dots),}$${\ displaystyle T (x) = 2x {\ bmod {1}}.}$${\ displaystyle \ Omega = 2^{\ mathbb {Z}},}$

Den dyadiske sekvensen er da bare sekvensen

${\ displaystyle (x, T (x), T^{2} (x), T^{3} (x), \ dots)}$

Det er, ${\ displaystyle x_ {n} = T^{n} (x).}$

Cantor -settet

Vær oppmerksom på at summen

${\ displaystyle y = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {b_ {n}} {3^{n+1}}}}}$

gir Cantor -funksjonen , som konvensjonelt definert. Dette er en grunn til at settet noen ganger kalles Cantorsettet . ${\ displaystyle \ {H, T \}^{\ mathbb {N}}}$

Informasjonstap og sensitiv avhengighet av innledende forhold

Et kjennetegn ved kaotisk dynamikk er tap av informasjon når simulering skjer. Hvis vi starter med informasjon om den første s biter av den første iterasjon, deretter etter m simulert iterasjoner ( m  <  r ) vi har bare s  -  m biter av informasjon som gjenstår. Dermed mister vi informasjon med en eksponensiell hastighet på en bit per iterasjon. Etter s gjentakelser, har vår simulering nådd fast nullpunkt, uavhengig av de sanne Iterate verdier; dermed har vi lidd et totalt tap av informasjon. Dette illustrerer sensitiv avhengighet av innledende forhold - kartleggingen fra den avkortede opprinnelige tilstanden har avviket eksponensielt fra kartleggingen fra den sanne opprinnelige tilstanden. Og siden vår simulering har nådd et fast punkt, vil den for nesten alle innledende forhold ikke beskrive dynamikken på den kvalitativt korrekte måten som kaotisk.

Tilsvarende til begrepet tap av informasjon er begrepet informasjonsgevinst. I praksis kan noen virkelige prosesser generere en sekvens av verdier ( x _n ) over tid, men vi kan bare observere disse verdiene i avkortet form. Anta for eksempel at x ₀ = 0.1001101, men vi observerer bare den avkortede verdien 0.1001. Vår spådom for x ₁ er 0,001. Hvis vi venter til den virkelige prosessen har generert den sanne x _1- verdien 0.001101, vil vi kunne observere den avkortede verdien 0.0011, som er mer nøyaktig enn vår forutsagte verdi 0.001. Så vi har mottatt en informasjonsgevinst på en bit.

Forhold til teltkart og logistisk kart

Den dyadisk transformasjon er topologisk semi-konjugat til enheten høyde telt kart . Husk at teltkartet for enhetshøyde er gitt av

${\ displaystyle x_ {n+1} = f_ {1} (x_ {n}) = {\ start {cases} x_ {n} & \ mathrm {for} ~~ x_ {n} \ leq 1/2 \\ 1-x_ {n} & \ mathrm {for} ~~ x_ {n} \ geq 1/2 \ end {cases}}}$

Bøyningen er eksplisitt gitt av

${\ displaystyle S (x) = \ sin \ pi x}$

så det

${\ displaystyle f_ {1} = S^{-1} \ circ T \ circ S}$

Det vil si, Dette er stabilt under iterasjon, som ${\ displaystyle f_ {1} (x) = S^{-1} (T (S (x))).}$

${\ displaystyle f_ {1}^{n} = f_ {1} \ circ \ cdots \ circ f_ {1} = S^{-1} \ circ T \ circ S \ circ S^{-1} \ circ \ cdots \ circ T \ circ S = S^{-1} \ circ T^{n} \ circ S}$

Det er også konjugert til det kaotiske r  = 4 -tilfellet til det logistiske kartet . Den r  = 4 tilfelle av den logistiske kart er ; dette er relatert til bitskiftkartet i variabel x by ${\ displaystyle z_ {n+1} = 4z_ {n} (1-z_ {n})}$

${\ displaystyle z_ {n} = \ sin ^{2} (2 \ pi x_ {n}).}$

Det er også en semi-konjugasjon mellom den dyadiske transformasjonen (her kalt vinkeldoblingskart) og det kvadratiske polynomet . Her dobler kartet vinkler målt i svinger . Det vil si at kartet er gitt av

${\ displaystyle \ theta \ mapsto 2 \ theta {\ bmod {2}} \ pi.}$

Periodisitet og ikke-periodisitet

På grunn av dynamikkens enkle natur når iterater vises i binær notasjon, er det lett å kategorisere dynamikken basert på den opprinnelige tilstanden:

Hvis den opprinnelige tilstanden er irrasjonell (som nesten alle punkter i enhetsintervallet er), er dynamikken ikke-periodisk-dette følger direkte av definisjonen av et irrasjonelt tall som et med en ikke-gjentakende binær ekspansjon. Dette er den kaotiske saken.

Hvis x ₀ er rasjonell, inneholder bildet av x ₀ et begrenset antall distinkte verdier innenfor [0, 1), og den fremre banen til x ₀ er til slutt periodisk, med periode lik perioden for den binære ekspansjonen av x ₀ . Nærmere bestemt, hvis den innledende tilstand er et rasjonalt tall med et endelig binært utvidelse av k biter, deretter etter k iterasjoner av gjentas nå det faste punkt 0; dersom den første betingelse er et rasjonalt tall med en k -bit transient ( k  ≥ 0) etterfulgt av en Q -bit-sekvens ( q  > 1) som gjentar seg uendelig, og deretter etter k gjentakelser de gjentas nå en syklus av lengde  q . Dermed er sykluser i alle lengder mulige.

For eksempel er den fremre banen til 11/24:

${\ displaystyle {\ frac {11} {24}} \ mapsto {\ frac {11} {12}} \ mapsto {\ frac {5} {6}} \ mapsto {\ frac {2} {3}} \ mapsto {\ frac {1} {3}} \ mapsto {\ frac {2} {3}} \ mapsto {\ frac {1} {3}} \ mapsto \ cdots,}$

som har nådd en syklus av periode 2. Innenfor enhver delintervall på [0, 1), uansett hvor liten, er det derfor et uendelig antall punkter hvis baner til slutt er periodiske, og et uendelig antall punkter hvis baner aldri er periodiske. Denne sensitive avhengigheten av første forhold er karakteristisk for kaotiske kart .

Periodisitet via bitskift

De periodiske og ikke-periodiske baner kan bli lettere forstått ikke ved å arbeide med kartet direkte, men snarere med det bits skift kartet definert på Cantor plass . ${\ displaystyle T (x) = 2x {\ bmod {1}}}$${\ displaystyle T (b_ {0}, b_ {1}, b_ {2}, \ dots) = (b_ {1}, b_ {2}, \ dots)}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ {0,1 \}^{\ mathbb {N}}}$

Det vil si homomorfismen

${\ displaystyle x = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {b_ {n}} {2^{n+1}}}}}$

er i utgangspunktet en uttalelse om at Cantor -settet kan kartlegges i virkeligheten. Det er en innsigelse : hver dyadisk rasjonell har ikke én, men to distinkte representasjoner i Cantorsettet. For eksempel,

${\ displaystyle 0.1000000 \ dots = 0.011111 \ dots}$

Dette er bare den binære strengversjonen av det berømte 0.999 ... = 1 problemet. De doble representasjonene holder generelt: for en gitt endelig lengdesekvens med endelig lengde , har man ${\ displaystyle b_ {0}, b_ {1}, b_ {2}, \ dots, b_ {k-1}}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle b_ {0}, b_ {1}, b_ {2}, \ dots, b_ {k-1}, 1,0,0,0, \ dots = b_ {0}, b_ {1}, b_ {2}, \ dots, b_ {k-1}, 0,1,1,1, \ dots}$

Den innledende sekvensen tilsvarer den ikke-periodiske delen av bane, hvoretter iterasjonen slår seg ned til alle nuller (tilsvarende alle-en). ${\ displaystyle b_ {0}, b_ {1}, b_ {2}, \ dots, b_ {k-1}}$

Uttrykt som bitstrenger, kan de periodiske banene på kartet ses til rasjonellene. Det vil si at etter en innledende "kaotisk" sekvens av , legger en periodisk bane seg ned i en repeterende lengde . Det er ikke vanskelig å se at slike repeterende sekvenser tilsvarer rasjonelle tall. Skriving ${\ displaystyle b_ {0}, b_ {1}, b_ {2}, \ dots, b_ {k-1}}$${\ displaystyle b_ {k}, b_ {k+1}, b_ {k+2}, \ dots, b_ {k+m-1}}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle y = \ sum _ {j = 0}^{m-1} b_ {k+j} 2^{-j-1}}$

en har da helt klart

${\ displaystyle \ sum _ {j = 0}^{\ infty} b_ {k+j} 2^{-j-1} = y \ sum _ {j = 0}^{\ infty} 2^{-jm } = {\ frac {y} {1-2^{m}}}}$

Ved å slå på den innledende ikke-repeterende sekvensen, har man tydelig et rasjonelt tall. Faktisk kan hvert rasjonelt tall uttrykkes på denne måten: en innledende "tilfeldig" sekvens, etterfulgt av en syklingsrepetisjon. Det vil si at de periodiske banene på kartet er i en-til-en-korrespondanse med begrunnelsene.

Dette fenomenet er notatverdig, fordi noe lignende skjer i mange kaotiske systemer. For eksempel kan geodesikk på kompakte manifolder ha periodiske baner som oppfører seg på denne måten.

Vær imidlertid oppmerksom på at begrunnelsene er et sett med mål null i realen. Nesten alle baner er ikke periodiske! De aperiodiske banene tilsvarer de irrasjonelle tallene. Denne egenskapen gjelder også i en mer generell setting. Et åpent spørsmål er i hvilken grad atferden til de periodiske banene begrenser oppførselen til systemet som helhet. Fenomener som Arnold -diffusjon antyder at det generelle svaret er "ikke veldig mye".

Tetthetsformulering

I stedet for å se på banene til individuelle punkter under virkningen av kartet, er det like verdt å undersøke hvordan kartet påvirker tettheter på enhetsintervallet. Det vil si, tenk å drysse litt støv på enhetsintervallet; det er tettere noen steder enn andre steder. Hva skjer med denne tettheten når den gjentar seg?

Skriv som denne tettheten, slik at . For å oppnå virkningen av denne tettheten, må man finne alle punktene og skrive ${\ displaystyle \ rho: [0,1] \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ mapsto \ rho (x)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle y = T^{-1} (x)}$

${\ displaystyle \ rho (x) \ mapsto \ sum _ {y = T^{-1} (x)} {\ frac {\ rho (y)} {| T^{\ prime} (y) |}} }$

Nevneren i det ovennevnte er den jakobiske determinanten for transformasjonen, her er det bare derivatet av og så . Dessuten er det åpenbart bare to poeng i forbildet til , disse er og å sette alt sammen, en får ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T^{\ prime} (y) = 2}$${\ displaystyle T^{-1} (x)}$${\ displaystyle y = x/2}$${\ displaystyle y = (x+1)/2.}$

${\ displaystyle \ rho (x) \ mapsto {\ frac {1} {2}} \ rho \! \ venstre ({\ frac {x} {2}} \ høyre)+{\ frac {1} {2} } \ rho \! \ venstre ({\ frac {x+1} {2}} \ høyre)}$

Etter konvensjon er slike kart betegnet med slik at i dette tilfellet skriver du ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$

${\ displaystyle \ left [{\ mathcal {L}} _ {T} \ rho \ right] (x) = {\ frac {1} {2}} \ rho \! \ left ({\ frac {x} { 2}} \ høyre)+{\ frac {1} {2}} \ rho \! \ Venstre ({\ frac {x+1} {2}} \ høyre)}$

Kartet er en lineær operator , ettersom man enkelt ser det og for alle funksjoner på enhetsintervallet, og alle konstanter . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {T}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {T} (f+g) = {\ mathcal {L}} _ {T} (f)+{\ mathcal {L}} _ {T} (g)}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {T} (af) = a {\ mathcal {L}} _ {T} (f)}$${\ displaystyle f, g}$${\ displaystyle a}$

Sett på som en lineær operator er det mest åpenbare og presserende spørsmålet: hva er spekteret ? Én egenverdi er åpenbar: hvis for alle så åpenbart har en så den ensartede tettheten er invariant under transformasjonen. Dette er faktisk operatørens største egenverdi , det er Frobenius - Perron egenverdi . Den ensartede tettheten er faktisk ingenting annet enn det uforanderlige målet på den dyadiske transformasjonen. ${\ displaystyle \ rho (x) = 1}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {T} \ rho = \ rho}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {T}}$

For å utforske spekteret av mer detaljert, må man først begrense seg til et passende funksjonsrom (på enhetsintervallet) å jobbe med. Dette kan være plassen til Lebesgue -målbare funksjoner , eller kanskje plassen til kvadratiske integrerbare funksjoner, eller kanskje bare polynom . Å jobbe med noen av disse mellomrommene er overraskende vanskelig, selv om et spekter kan oppnås. ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {T}}$

Borel plass

En enorm forenkling resulterer hvis man i stedet jobber med Cantor -rommet og fungerer. Noen forsiktighet tilrådes, ettersom kartet er definert på enhetsintervallet for den reelle tallinjen , forutsatt at den naturlige topologien på realen er. Derimot er kartet definert på Cantor -rommet , som etter konvensjon er gitt en helt annen topologi , produkttopologien . Det er et potensielt sammenstøt av topologier; noe forsiktighet må utvises. Imidlertid, som presentert ovenfor, er det en homomorfisme fra Cantor i realen; Heldigvis kartlegger den åpne sett i åpne sett, og bevarer dermed forestillinger om kontinuitet . ${\ displaystyle \ Omega = \ {0,1 \}^{\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ rho: \ Omega \ to \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle T (x) = 2x {\ bmod {1}}}$${\ displaystyle T (b_ {0}, b_ {1}, b_ {2}, \ dots) = (b_ {1}, b_ {2}, \ dots)}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ {0,1 \}^{\ mathbb {N}}}$

For å jobbe med Cantor -settet må man gi en topologi for det; etter konvensjon er dette produkttopologien . Ved tilgrensende settkompletter kan den utvides til et Borel-rom , det vil si en sigma-algebra . Topologien er sylinder sett . Et sylindersett har den generiske formen ${\ displaystyle \ Omega = \ {0,1 \}^{\ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle (*,*,*, \ dots,*, b_ {k}, b_ {k+1},*, \ dots,*, b_ {m},*, \ dots)}$

hvor de er vilkårlige bitverdier (ikke nødvendigvis like), og det er et begrenset antall spesifikke bitverdier spredt i den uendelige bitstrengen. Dette er topologiens åpne sett. Det kanoniske målet på dette rommet er Bernoulli-målet for det rettferdige myntkastet. Hvis det bare er angitt en bit i strengen med vilkårlige posisjoner, er målingen 1/2. Hvis det er angitt to biter, er målingen 1/4, og så videre. Man kan bli mer avansert: gitt et reelt tall kan man definere et mål ${\ displaystyle *}$${\ displaystyle b_ {k}, b_ {m}, \ prikker}$${\ displaystyle 0 <p <1}$

${\ displaystyle \ mu _ {p} (*, \ dots,*, b_ {k},*, \ dots) = p^{n} (1-p)^{m}}$

hvis det er hoder og haler i sekvensen. Tiltaket med er å foretrekke, siden det er bevart av kartet ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle p = 1/2}$

${\ displaystyle (b_ {0}, b_ {1}, b_ {2}, \ dots) \ mapsto x = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {b_ {n}} {2 ^{n+1}}}.}$

Så, for eksempel, kart til intervallet og kart til intervallet, og begge disse intervallene har et mål på 1/2. Tilsvarende kartlegger intervallet som fremdeles har målet 1/2. Det vil si at innebyggingen ovenfor bevarer tiltaket. ${\ displaystyle (0,*, \ cdots)}$ ${\ displaystyle [0,1/2]}$${\ displaystyle (1,*, \ dots)}$${\ displaystyle [1/2,1]}$${\ displaystyle (*, 0,*, \ dots)}$${\ displaystyle [0,1/4] \ cup [1/2,3/4]}$

Et alternativ er å skrive

${\ displaystyle (b_ {0}, b_ {1}, b_ {2}, \ dots) \ mapsto x = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} \ venstre [b_ {n} p^{n +1}+(1-b_ {n}) (1-p)^{n+1} \ høyre]}$

som bevarer målet Det vil si at det kartlegger slik at målet på enhetsintervallet igjen er Lebesgue -målet. ${\ displaystyle \ mu _ {s}.}$

Frobenius - Perron -operatør

Betegne samlingen av alle åpne sett på Cantor -settet ved å vurdere settet med alle vilkårlige funksjoner Skiftet induserer en fremover${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle f: {\ mathcal {B}} \ to \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle f \ circ T^{-1}}$

definert av Dette er igjen en funksjon På denne måten induserer kartet et nytt kart på plassen til alle funksjoner Det vil si, gitt noen , en definerer ${\ displaystyle \ left (f \ circ T^{-1} \ right) \! (x) = f (T^{-1} (x)).}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {T}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle f: {\ mathcal {B}} \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {T} f = f \ circ T^{-1}}$

Denne lineære operatøren kalles overføringsoperatøren eller Ruelle – Frobenius – Perron -operatøren . Den største egenverdien er Frobenius - Perron egenverdi , og i dette tilfellet er den 1. Den tilhørende egenvektoren er det invariante målet: i dette tilfellet er det Bernoulli -målet . Igjen, når${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {T} (\ rho) = \ rho}$${\ displaystyle \ rho (x) = 1.}$

Spektrum

For å oppnå spekteret av må man gi et passende sett med grunnfunksjoner for rommet. Et slikt valg er å begrense seg til settet til alle polynomer. I dette tilfellet har operatøren et diskret spekter , og egenfunksjonene er (merkelig) Bernoulli -polynomene ! (Denne tilfeldigheten av navngivning var antagelig ikke kjent for Bernoulli.) ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {T}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Faktisk kan man enkelt bekrefte det

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {T} B_ {n} = 2^{-n} B_ {n}}$

der er Bernoulli -polynomene . Dette følger fordi Bernoulli -polynomene adlyder identiteten ${\ displaystyle B_ {n}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} B_ {n} \! \ venstre ({\ frac {y} {2}} \ høyre)+{\ frac {1} {2}} B_ {n} \! \ venstre ({\ frac {y+1} {2}} \ høyre) = 2^{-n} B_ {n} (y)}$

Noter det ${\ displaystyle B_ {0} (x) = 1.}$

Et annet grunnlag er Haar -grunnlaget , og funksjonene som strekker seg over rommet er Haar -bølgene . I dette tilfellet finner man et kontinuerlig spektrum , bestående av enhetsdisken på det komplekse planet . Gitt i enhetsdisken, slik at funksjonene ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle | z | <1}$

${\ displaystyle \ psi _ {z, k} (x) = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} z^{n} \ exp i \ pi (2k+1) 2^{n} x}$

lyde

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {T} \ psi _ {z, k} = z \ psi _ {z, k}}$

for Dette er et komplett grunnlag, ved at hvert heltall kan skrives i form Bernoulli -polynomene gjenopprettes ved å sette og${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}.}$${\ displaystyle (2k+1) 2^{n}.}$${\ displaystyle k = 0}$${\ displaystyle z = {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {4}}, \ dots}$

Et komplett grunnlag kan også gis på andre måter; de kan være skrevet i form av Hurwitz zeta -funksjonen . Et annet komplett grunnlag er Takagi -funksjonen . Dette er en fraktal, differensierbar ingensteds- funksjon. Egenfunksjonene er eksplisitt av formen

${\ displaystyle {\ mbox {blanc}} _ {w, k} (x) = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} w^{n} s ((2k+1) 2^{n} x)}$

hvor er trekanten . Man har igjen, ${\ displaystyle s (x)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {T} {\ mbox {blanc}} _ {w, k} = w \; {\ mbox {blanc}} _ {w, k}.}$

Alle disse forskjellige basene kan uttrykkes som lineære kombinasjoner av hverandre. På denne måten er de likeverdige.

De fraktale eigenfunctions viser en eksplisitt symmetri under fraktale groupoid av den modulære gruppen ; dette er utviklet mer detaljert i artikkelen om Takagi -funksjonen (blancmange -kurven). Kanskje ikke en overraskelse; Cantorsettet har nøyaktig det samme settet med symmetrier (som de fortsatte fraksjonene .) Dette leder deretter elegant inn i teorien om elliptiske ligninger og modulære former .

Se også

• Bernoulli -prosess
• Bernoulli -ordningen
• Gilbert - Shannon - Reeds -modell , en tilfeldig fordeling på permutasjoner gitt ved å bruke doblingskartet på et sett med n jevnt tilfeldige punkter på enhetsintervallet

Merknader

Referanser