Elliptisk operatør - Elliptic operator

${\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, ..., \ alpha _ {n})}$

${\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} u = \ partial _ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ partial _ {n} ^ {\ alpha _ {n}} u}$

${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$

${\ displaystyle x_ {i}}$

Da kalles

${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ xi}$

$${\ displaystyle \ sum _ {| \ alpha | = m} a _ {\ alpha} (x) \ xi ^ {\ alpha} \ neq 0,}$$

${\ displaystyle \ xi ^ {\ alpha} = \ xi _ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ xi _ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}$

I mange applikasjoner er denne tilstanden ikke sterk nok, og i stedet kan det pålegges en ensartet ellipticitetsbetingelse for operatører av ordre m = 2k :

$${\ displaystyle (-1) ^ {k} \ sum _ {| \ alpha | = 2k} a _ {\ alpha} (x) \ xi ^ {\ alpha}> C | \ xi | ^ {2k},}$$

En ikke-lineær operatør

$${\ displaystyle L (u) = F (x, u, (\ partial ^ {\ alpha} u) _ {| \ alpha | \ leq m})}$$

Eksempel 1

Den negative verdi av Laplace-operatoren i R ^d gitt av

$${\ displaystyle - \ Delta u = - \ sum _ {i = 1} ^ {d} \ partial _ {i} ^ {2} u}$$

er en ensartet elliptisk operatør. Laplace-operatøren forekommer ofte i elektrostatikk. Hvis ρ er ladetettheten innenfor et eller annet område Ω, må potensialet Φ tilfredsstille ligningen

$${\ displaystyle - \ Delta \ Phi = 4 \ pi \ rho.}$$

Eksempel 2

Gitt en matrisevurdert funksjon A ( x ) som er symmetrisk og positiv bestemt for hver x , med komponenter a ^ij , operatøren

$${\ displaystyle Lu = - \ partial _ {i} \ left (a ^ {ij} (x) \ partial _ {j} u \ right) + b ^ {j} (x) \ partial _ {j} u + cu}$$

er elliptisk. Dette er den mest generelle formen for en andre ordens divergens fra lineær elliptisk differensialoperator. Laplace-operator blir oppnådd ved å ta A = I . Disse operatørene forekommer også i elektrostatikk i polariserte medier.

Eksempel 3

For p et ikke-negativt tall er p-Laplacian en ikke-lineær elliptisk operator definert av

$${\ displaystyle L (u) = - \ sum _ {i = 1} ^ {d} \ partial _ {i} \ left (| \ nabla u | ^ {p-2} \ partial _ {i} u \ right ).}$$

En lignende ikke-lineær operatør forekommer i bremekanikken . Den Cauchy spenningstensoren av is, ifølge Glen flyt lov, er gitt ved

$${\ displaystyle \ tau _ {ij} = B \ venstre (\ sum _ {k, l = 1} ^ {3} \ venstre (\ delvis _ {l} u_ {k} \ høyre) ^ {2} \ høyre ) ^ {- {\ frac {1} {3}}} \ cdot {\ frac {1} {2}} \ left (\ partial _ {j} u_ {i} + \ partial _ {i} u_ {j }\Ikke sant)}$$

for noen konstant B . Hastigheten til et isark i jevn tilstand vil da løse det ikke-lineære elliptiske systemet

$${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ partial _ {j} \ tau _ {ij} + \ rho g_ {i} - \ partial _ {i} p = Q,}$$

hvor ρ er istettheten, g er gravitasjonsakselerasjonsvektoren, p er trykket og Q er et tvangsbegrep.

Elliptisk regelmessighet

La L være en elliptisk operator av orden 2 k med koeffisienter som har 2 k kontinuerlige derivater. Dirichlet-problemet for L er å finne en funksjon u , gitt en funksjon f og noen passende grenseverdier, slik at Lu = f og slik at u har passende grenseverdier og normale derivater. Eksistens-teorien for elliptiske operatører, som bruker Gårdings ulikhet og Lax – Milgram-lemmaet , garanterer bare at det eksisterer en svak løsning u i Sobolev-rommet H ^k .

Denne situasjonen er til slutt utilfredsstillende, da den svake løsningen u kanskje ikke har nok derivater til at uttrykket Lu til og med gir mening.

Den elliptiske regularitet teoremet garanterer at, forutsatt at f er kvadratisk integrerbar, u vil i virkeligheten ha 2k kvadratisk integrerbare svake derivater. Spesielt, hvis f er uendelig ofte differensierbar, så er det også u .

Enhver differensialoperatør som utviser denne eiendommen kalles hypoelliptisk operatør ; således er hver elliptiske operatør hypoelliptisk. Eiendommen betyr også at hver grunnleggende løsning av en elliptisk operatør er uendelig forskjellig i ethvert nabolag som ikke inneholder 0.

Anta at en funksjon tilfredsstiller

${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f}$

Generell definisjon

La være en (muligens ikke-lineær) differensialoperatør mellom vektorbunter av hvilken som helst rang. Ta det

${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ sigma _ {\ xi} (D)}$

${\ displaystyle \ xi}$

${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle \ xi}$

Vi sier er

${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ sigma _ {\ xi} (D)}$

${\ displaystyle \ xi}$

Vi sier er (jevnt)

${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle c> 0}$

${\ displaystyle \ left ([\ sigma _ {\ xi} (D)] (v), v \ right) \ geq c \ | v \ | ^ {2}}$

for alle og alle . Det er viktig å merke seg at definisjonen av elliptisitet i forrige del av artikkelen er

${\ displaystyle \ | \ xi \ | = 1}$

${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$

${\ displaystyle \ xi}$

${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle D}$

Det viktigste eksemplet på en (sterkt) elliptisk operatør er laplacianen (eller dens negative, avhengig av konvensjonen). Det er ikke vanskelig å se at det må være i jevn orden for at sterk elliptisitet til og med skal være et alternativ. Ellers bør du bare vurdere å koble til begge deler og det negative. På den annen side kan en svakt elliptisk førsteordensoperatør, som

${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ xi}$

Svak elliptisitet er likevel sterk nok til Fredholm-alternativet , anslår Schauder , og Atiyah – Singer-indekssetningen . På den annen side trenger vi sterk elliptisitet for maksimalprinsippet , og for å garantere at egenverdiene er diskrete, og deres eneste grensepunkt er uendelig.

Se også

• Elliptisk delvis differensialligning
• Hyperbolsk delvis differensialligning
• Parabolsk delvis differensialligning
• Hopf maksimale prinsipp
• Elliptisk kompleks
• Ultrahyperbolic bølge ligning
• Semi-elliptisk operatør
• Weyls lemma

Merknader

Referanser

• Evans, LC (2010) [1998], Partial differential equations , Graduate Studies in Mathematics , 19 (2nd ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4974-3, MR  2597943
  Gjennomgang:
  Rauch, J. (2000). "Partielle differensiallikninger, av LC Evans" (pdf) . Journal of the American Mathematical Society . 37 (3): 363–367. doi : 10.1090 / s0273-0979-00-00868-5 .
• Gilbarg, D .; Trudinger, NS (1983) [1977], Elliptiske differensiallikninger av andre orden , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 224 (2. utg.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13025-3, MR  0737190
• Shubin, MA (2001) [1994], "Elliptic operator" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

Eksterne linker

• Lineære elliptiske ligninger på EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Ikke-lineære elliptiske ligninger på EqWorld: The World of Mathematical Equations.