Endelig potensial godt - Finite potential well

Den begrensede potensielle brønnen (også kjent som den endelige firkantbrønnen ) er et konsept fra kvantemekanikk . Det er en forlengelse av den uendelige potensialbrønnen , der en partikkel er begrenset til en "boks", men en som har begrensede potensielle "vegger". I motsetning til den uendelige potensielle brønnen, er det en sannsynlighet knyttet til at partikkelen blir funnet utenfor boksen. Den kvantemekaniske tolkningen er ulik den klassiske tolkningen, der hvis partikkelenes totale energi er mindre enn den potensielle energibarrieren til veggene, kan den ikke bli funnet utenfor boksen. I kvantetolkningen er det en ikke-null sannsynlighet for at partikkelen er utenfor boksen, selv når partikkelen er mindre enn veggenes potensielle energibarriere (jf. Kvantetunnel ).

Partikkel i en 1-dimensjonal eske

For det 1-dimensjonale tilfellet på x -aksen kan den tidsuavhengige Schrödinger-ligningen skrives som:

${\ displaystyle -{\ frac {\ hbar^{2}} {2m}} {\ frac {d^{2} \ psi} {dx^{2}}}+V (x) \ psi = E \ psi \ quad (1)}$

hvor

${\ displaystyle \ hbar = {\ frac {h} {2 \ pi}}}$,

${\ displaystyle h \,}$er Plancks konstante ,

${\ displaystyle m \,}$er massen av partikkelen,

${\ displaystyle \ psi \,}$er den (komplekse verdsatte) bølgefunksjonen som vi ønsker å finne,

${\ displaystyle V \ venstre (x \ høyre) \,}$er en funksjon som beskriver den potensielle energien ved hvert punkt x , og

${\ displaystyle E \,}$er energien , et reelt tall, noen ganger kalt egenenergi.

Når det gjelder partikkelen i en 1-dimensjonal boks med lengde L , er potensialet utenfor boksen, og null for x mellom og . Bølgefunksjonen anses å bestå av forskjellige bølgefunksjoner i forskjellige områder av x , avhengig av om x er inne i eller utenfor boksen. Derfor er bølgefunksjonen definert slik at: ${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle -L/2}$${\ displaystyle L/2}$

${\ displaystyle \ psi = {\ begin {cases} \ psi _ {1}, og {\ mbox {if}} x <-L/2 {\ mbox {(regionen utenfor boksen)}} \\\ psi _ {2}, og {\ mbox {if}}-L/2 <x <L/2 {\ mbox {(regionen inne i esken)}} \\\ psi _ {3}, og {\ mbox { if}} x> L/2 {\ mbox {(regionen utenfor boksen)}}} \ end {cases}}}$

Inne i esken

For området Inne i boksen reduseres V ( x ) = 0 og ligning 1 til

${\ displaystyle -{\ frac {\ hbar^{2}} {2m}} {\ frac {d^{2} \ psi _ {2}} {dx^{2}}} = E \ psi _ {2 }.}$

Utleie

${\ displaystyle k = {\ frac {\ sqrt {2mE}} {\ hbar}},}$

ligningen blir

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} \ psi _ {2}} {dx^{2}}} =-k^{2} \ psi _ {2}.}$

Dette er et godt studert differensialligning og egenverdi problem med en generell løsning av

${\ displaystyle \ psi _ {2} = A \ sin (kx)+B \ cos (kx) \ quad.}$

Derfor,

${\ displaystyle E = {\ frac {k ^{2} \ hbar ^{2}} {2m}}.}$

Her kan A og B være et hvilket som helst komplekst tall , og k kan være et reelt tall.

Utenfor boksen

For området utenfor boksen, siden potensialet er konstant, blir V ( x ) = og ligning 1: ${\ displaystyle V_ {0}}$

${\ displaystyle -{\ frac {\ hbar^{2}} {2m}} {\ frac {d^{2} \ psi _ {1}} {dx^{2}}} = (E -V_ {0 }) \ psi _ {1}}$

Det er to mulige familier av løsninger, avhengig av om E er mindre enn (partikkelen er bundet i potensialet) eller E er større enn (partikkelen er fri). ${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle V_ {0}}$

For en fri partikkel, E > , og utleie ${\ displaystyle V_ {0}}$

${\ displaystyle k '= {\ frac {\ sqrt {2m (E-V_ {0})}} {\ hbar}}}$

produserer

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} \ psi _ {1}} {dx^{2}}} =-k '^{2} \ psi _ {1}}$

med samme løsningsform som innvendig brønnkasse:

${\ displaystyle \ psi _ {1} = C \ sin (k'x)+D \ cos (k'x) \ quad}$

Denne analysen vil fokusere på den bundne tilstand, hvor > E . Utleie ${\ displaystyle V_ {0}}$

${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ sqrt {2m (V_ {0} -E)}} {\ hbar}}}$

produserer

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} \ psi _ {1}} {dx^{2}}} = \ alpha^{2} \ psi _ {1}}$

der den generelle løsningen er eksponentiell:

${\ displaystyle \ psi _ {1} = Fe^{-\ alpha x}+Ge^{\ alpha x} \, \!}$

Tilsvarende for den andre regionen utenfor boksen:

${\ displaystyle \ psi _ {3} = He^{-\ alpha x}+Dvs^{\ alpha x} \, \!}$

For å finne den spesifikke løsningen for problemet, må vi spesifisere de riktige grensebetingelsene og finne verdiene for A , B , F , G , H og I som tilfredsstiller disse betingelsene.

Finne bølgefunksjoner for den bundne tilstanden

Løsninger på Schrödinger -ligningen må være kontinuerlige og kontinuerlig differensierbare. Disse kravene er grensebetingelser for differensialligningene som tidligere er avledet, det vil si matchende betingelser mellom løsningene i og utenfor brønnen.

I dette tilfellet er den endelige potensialbrønnen symmetrisk, så symmetri kan utnyttes for å redusere de nødvendige beregningene.

Oppsummering av de foregående seksjonene:

${\ displaystyle \ psi = {\ begin {cases} \ psi _ {1}, og {\ mbox {if}} x <-L/2 {\ mbox {(regionen utenfor boksen)}} \\\ psi _ {2}, og {\ mbox {if}}-L/2 <x <L/2 {\ mbox {(regionen inne i esken)}} \\\ psi _ {3} og {\ mbox {if }} x> L/2 {\ mbox {(regionen utenfor boksen)}}} \ end {cases}}}$

hvor vi fant og skal være: ${\ displaystyle \ psi _ {1}, \ psi _ {2} \, \!}$${\ displaystyle \ psi _ {3} \, \!}$

${\ displaystyle \ psi _ {1} = Fe^{-\ alpha x}+Ge^{\ alpha x} \, \!}$

${\ displaystyle \ psi _ {2} = A \ sin (kx)+B \ cos (kx) \ quad}$

${\ displaystyle \ psi _ {3} = He^{-\ alpha x}+Dvs^{\ alpha x} \, \!}$

Vi ser at når det gjelder , går begrepet til uendelig. På samme måte, som det gjelder , går begrepet til uendelig. For at bølgefunksjonen skal være kvadratisk integrerbar, må vi sette , og vi har: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle +\ infty}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle F = I = 0}$

${\ displaystyle \ psi _ {1} = Ge^{\ alpha x} \, \!}$

og

${\ displaystyle \ psi _ {3} = He^{-\ alpha x} \, \!}$

Deretter vet vi at den generelle funksjonen må være kontinuerlig og differensierbar. Med andre ord må verdiene til funksjonene og deres derivater stemme overens med delingspunktene: ${\ displaystyle \ psi \, \!}$

${\ displaystyle \ psi _ {1} (-L/2) = \ psi _ {2} (-L/2) \, \!}$		${\ displaystyle \ psi _ {2} (L/2) = \ psi _ {3} (L/2) \, \!}$
${\ displaystyle {\ frac {d \ psi _ {1}} {dx}} (-L/2) = {\ frac {d \ psi _ {2}} {dx}} (-L/2) \, \!}$		${\ displaystyle {\ frac {d \ psi _ {2}} {dx}} (L/2) = {\ frac {d \ psi _ {3}} {dx}} (L/2) \, \! }$

Disse ligningene har to typer løsninger, symmetriske, for hvilke og , og antisymmetriske, for hvilke og . For den symmetriske saken får vi ${\ displaystyle A = 0}$${\ displaystyle G = H}$${\ displaystyle B = 0}$${\ displaystyle G = -H}$

${\ displaystyle He^{-\ alpha L/2} = B \ cos (kL/2)}$

${\ displaystyle-\ alpha He^{-\ alpha L/2} =-kB \ sin (kL/2)}$

så tar forholdet gir

${\ displaystyle \ alpha = k \ tan (kL/2)}$.

På samme måte for det antisymmetriske tilfellet vi får

${\ displaystyle \ alpha = -k \ cot (kL/2)}$.

Husk at både og er avhengig av energien. Det vi har funnet er at kontinuitetsbetingelsene ikke kan oppfylles for en vilkårlig verdi av energien; fordi det er et resultat av det uendelige potensielle brønnhuset. Dermed er bare visse energiverdier, som er løsninger på en eller en av disse to ligningene, tillatt. Derfor finner vi at energinivåene i systemet nedenfor er diskrete; de tilsvarende egenfunksjonene er bundne tilstander . (Derimot, for energinivåene ovenfor er kontinuerlige.) ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle V_ {0}}$

Energilikningene kan ikke løses analytisk. Likevel vil vi se at det i det symmetriske tilfellet alltid eksisterer minst én bundet tilstand, selv om brønnen er veldig grunne. Grafiske eller numeriske løsninger på energiligningene blir hjulpet ved å skrive dem litt om. Hvis vi introduserer de dimensjonsløse variablene og , og merker oss fra definisjonene av og at , hvor , leser masterligningene ${\ displaystyle u = \ alpha L/2}$${\ displaystyle v = kL/2}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle u^{2} = u_ {0}^{2} -v^{2}}$${\ displaystyle u_ {0}^{2} = ml^{2} V_ {0}/2 \ hbar^{2}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {u_ {0}^{2} -v^{2}}} = {\ start {cases} v \ tan v, og {\ mbox {(symmetrisk bokstav)}} \\-v \ cot v, & {\ mbox {(antisymmetrisk sak)}} \ end {cases}}}$

I plottet til høyre, for , finnes det løsninger der den blå halvsirkelen skjærer de lilla eller grå kurvene ( og ). Hver lilla eller grå kurve representerer en mulig løsning innenfor området . Det totale antallet løsninger, (dvs. antallet lilla/grå kurver som skjæres av den blå sirkelen) bestemmes derfor ved å dele radiusen til den blå sirkelen , med rekkevidden til hver løsning og bruke gulvet eller taket funksjoner: ${\ displaystyle u_ {0}^{2} = 20}$${\ displaystyle v \ tan v}$${\ displaystyle -v \ barneseng v}$${\ displaystyle v_ {i}}$${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} (i-1) \ leq v_ {i} <{\ frac {\ pi} {2}} i}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle u_ {0}}$${\ displaystyle \ pi /2}$

${\ displaystyle N = \ left \ lfloor {\ frac {2u_ {0}} {\ pi}} \ right \ rfloor +1 = \ left \ lceil {\ frac {2u_ {0}} {\ pi}} \ right \ rceil}$

I dette tilfellet er det nøyaktig tre løsninger siden . ${\ displaystyle N = \ lfloor 2 {\ sqrt {20}}/\ pi \ rfloor +1 = \ lfloor 2.85 \ rfloor +1 = 2 +1 = 3}$

${\ displaystyle v_ {1} = 1,28, v_ {2} = 2,54}$og med de tilsvarende energiene ${\ displaystyle v_ {3} = 3.73}$

${\ displaystyle E_ {n} = {2 \ hbar^{2} v_ {n}^{2} \ over ml^{2}}}$.

Hvis vi vil, kan vi gå tilbake og finne verdiene til konstantene i ligningene nå (vi må også pålegge normaliseringstilstanden). Til høyre viser vi energinivåene og bølgefunksjonene i dette tilfellet (hvor ): ${\ displaystyle A, B, G, H}$${\ displaystyle x_ {0} \ equiv \ hbar /{\ sqrt {2mV_ {0}}}}$

Vi bemerker at uansett hvor liten den er (uansett hvor grunne eller smale brønnene er), er det alltid minst én bundet tilstand. ${\ displaystyle u_ {0}}$

To spesielle tilfeller er verdt å merke seg. Etter hvert som potensialets høyde blir stor, blir halvsirkels radius større og røttene kommer nærmere og nærmere verdiene , og vi gjenoppretter tilfellet med den uendelige kvadratbrønnen . ${\ displaystyle V_ {0} \ to \ infty}$${\ displaystyle v_ {n} = n \ pi /2}$

Det andre tilfellet er en veldig smal, dyp brønn - spesielt saken og med fast. Siden den vil ha en nullstilling, og det vil bare være en bundet tilstand. Den omtrentlige løsningen er da , og energien har en tendens til . Men dette er bare energien fra den bundne tilstanden til et Delta -funksjonspotensial av styrke , slik det burde være. ${\ displaystyle V_ {0} \ to \ infty}$${\ displaystyle L \ til 0}$${\ displaystyle V_ {0} L}$${\ displaystyle u_ {0} \ propto V_ {0} L^{2}}$${\ displaystyle v^{2} = u_ {0}^{2} -u_ {0}^{4}}$${\ displaystyle E = -mL^{2} V_ {0}^{2}/2 \ hbar^{2}}$${\ displaystyle V_ {0} L}$

Ubundne stater

Hvis vi løser den tidsuavhengige Schrödinger-ligningen for en energi , vil løsningene være oscillerende både i og utenfor brønnen. Dermed er løsningen aldri firkantet integrerbar; det vil si at det alltid er en ikke-normaliserbar tilstand. Dette betyr imidlertid ikke at det er umulig for en kvantepartikkel å ha energi større enn , det betyr bare at systemet har et kontinuerlig spektrum ovenfor . De ikke-normaliserbare egenstatene er nær nok til å være firkantet integrerbare til at de fremdeles bidrar til spekteret til Hamiltonian som en ubegrenset operatør. ${\ displaystyle E> V_ {0}}$${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle V_ {0}}$

Asymmetrisk brønn

Tenk på et endimensjonalt asymmetrisk potensial godt gitt av potensialet

${\ displaystyle V (x) = {\ begin {cases} V_ {1}, og {\ mbox {if}}-\ infty <x <0 {\ mbox {(regionen utenfor boksen)}}} \\ 0 , & {\ mbox {if}} 0 <x <a {\ mbox {(regionen inne i esken)}} \\ V_ {2} og {\ mbox {if}} a <x <\ infty {\ mbox {(regionen utenfor boksen)}} \ end {cases}}}$

med . Den tilsvarende løsningen for bølgefunksjonen med er funnet å være ${\ displaystyle V_ {2}> V_ {1}}$${\ displaystyle E <V_ {1}}$

${\ displaystyle \ psi (x) = {\ begin {cases} c_ {1} e^{k_ {1} x}, og {\ mbox {for}} x <0, {\ mbox {where}} k_ { 1} = {\ sqrt {(2m/\ hbar ^{2}) (V_ {1} -E)}} \\ c \ sin (kx+\ delta), og {\ mbox {for}} 0 <x < a, {\ mbox {where}} k = {\ sqrt {2mE/\ hbar ^{2}}} \\ c_ {2} e ^{-k_ {2} x}, og {\ mbox {for}} x> a, {\ mbox {where}} k_ {2} = {\ sqrt {(2m/\ hbar ^{2}) (V_ {2} -E)}} \ end {cases}}}$

og

${\ displaystyle \ sin \ delta = {\ frac {k \ hbar} {\ sqrt {2mV_ {1}}}}}}$

Energinivåene bestemmes når den er løst som en rot av den følgende transcendentale ligningen ${\ displaystyle E = k ^{2} \ hbar ^{2}/(2m)}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle ka = n \ pi-\ sin ^{-1} \ venstre [k \ hbar /{\ sqrt {2mV_ {1}}} \ høyre]-\ sin ^{-1} \ venstre [k \ hbar /{\ sqrt {2mV_ {2}}} \ høyre]}$

der eksistens av rot til likningen ovenfor ikke alltid er garantert, for eksempel kan man alltid finne en verdi på så liten at det for gitte verdier av og ikke eksisterer et diskret energinivå. Resultatene av symmetrisk brønn er hentet fra ovenstående ligning ved innstilling . ${\ displaystyle n = 1,2,3, \ dots}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle V_ {1}}$${\ displaystyle V_ {2}}$${\ displaystyle V_ {1} = V_ {2} = V_ {o}}$

Sfærisk hulrom

Resultatene ovenfor kan brukes til å vise at, i motsetning til det endimensjonale tilfellet, er det ikke alltid en bundet tilstand i et sfærisk hulrom.

Grunntilstanden (n = 1) til et sfærisk symmetrisk potensial vil alltid ha null orbitalt vinkelmoment (l = n-1), og den reduserte bølgefunksjonen tilfredsstiller ligningen ${\ displaystyle U (r) \ equiv r \ psi (r)}$

${\ displaystyle -{\ frac {\ hbar^{2}} {2m}} {d^{2} U \ over dr^{2}}+V (r) U (r) = EU (r)}$

Dette er identisk med den endimensjonale ligningen, bortsett fra grensebetingelsene. Som før, og dets første derivat må være kontinuerlig ved kanten av brønnen . Imidlertid er det en annen betingelse, som må være begrenset, og som krever . ${\ displaystyle U (r)}$${\ displaystyle r = R}$${\ displaystyle \ psi (0)}$${\ displaystyle U (0) = 0}$

Ved sammenligning med løsningene ovenfor kan vi se at bare de antisymmetriske har noder ved opprinnelsen. Dermed er bare løsningene som er tillatt. Disse tilsvarer skjæringspunktet mellom halvsirkelen med de grå kurvene, og så hvis hulrommet er for grunt eller lite, vil det ikke være noen bundet tilstand. ${\ displaystyle \ alpha = -k \ barneseng (kR)}$

Se også

• Potensiell brønn
• Delta funksjonspotensial
• Uendelig godt potensial
• Halvsirkel potensial godt
• Kvantetunnel

Referanser

Videre lesning

• Griffiths, David J. (2005). Introduksjon til kvantemekanikk (2. utg.). Prentice-Hall . ISBN 0-13-111892-7.
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, 267 , Springer.