Vend (matematikk) - Flip (mathematics)

I algebraisk geometri , knipser og flopper er codimension-2 kirurgiske operasjoner som oppstår i den minimale modellprogram som , gitt ved å blåse opp langs en relativ kanonisk ring . I dimensjon 3 brukes flips for å konstruere minimale modeller, og to birationally ekvivalente minimale modeller er forbundet med en sekvens av flops. Det antas at det samme gjelder i høyere dimensjoner.

Det minimale modellprogrammet

Det minimale modellprogrammet kan oppsummeres veldig kort som følger: gitt en variasjon konstruerer vi en sekvens av sammentrekninger , som hver trekker noen kurver som den kanoniske skillelinjen er negativ på. Til slutt skal det bli nef (i det minste i tilfelle ikke-negativ Kodaira-dimensjon ), som er ønsket resultat. Det største tekniske problemet er at sorten på et eller annet tidspunkt kan bli "for enestående", i den forstand at den kanoniske deleren ikke lenger er en Cartier-deler , så skjæringsnummeret med en kurve er ikke engang definert. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X = X_ {1} \ rightarrow X_ {2} \ rightarrow \ cdots \ rightarrow X_ {n}}$${\ displaystyle K_ {X_ {i}}}$${\ displaystyle K_ {X_ {n}}}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle K_ {X_ {i}}}$${\ displaystyle K_ {X_ {i}} \ cdot C}$${\ displaystyle C}$

Den (formodede) løsningen på dette problemet er flippen . Gitt en problematisk som ovenfor, er flippen av et birasjonskart (faktisk en isomorfisme i kodimensjon 1) til en variasjon hvis singulariteter er 'bedre' enn de av . Så vi kan sette i gang , og fortsette prosessen. ${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle f \ colon X_ {i} \ rightarrow X_ {i} ^ {+}}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle X_ {i + 1} = X_ {i} ^ {+}}$

To store problemer angående flips er å vise at de eksisterer og å vise at man ikke kan ha en uendelig sekvens av flips. Hvis begge disse problemene kan løses, kan det minimale modellprogrammet gjennomføres. Eksistensen av flips for 3 ganger ble bevist av Mori (1988) . Eksistensen av loggflips, en mer generell type flip, i dimensjon tre og fire ble bevist av Shokurov ( 1993 , 2003 ) hvis arbeid var grunnleggende for løsningen på eksistensen av loggflips og andre problemer i høyere dimensjon. Eksistensen av tømmerflips i høyere dimensjoner er avgjort av (Caucher Birkar, Paolo Cascini & Christopher D. Hacon et al.  2010 ). På den annen side er problemet med avslutning - å bevise at det ikke kan være noen uendelig rekkefølge av flips - fremdeles åpent i dimensjoner større enn 3.

Definisjon

Dersom er en morphism, og K er den kanoniske bunt av X , da den relative kanoniske ring av f er ${\ displaystyle f \ kolon X \ til Y}$

${\ displaystyle \ bigoplus _ {m} f _ {*} ({\ mathcal {O}} _ {X} (mK))}$

og er en bunt gradert algebras over bunke av vanlige funksjoner på Y . Sprengningen ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$

${\ displaystyle f ^ {+} \ colon X ^ {+} = \ operatorname {Proj} {\ big (} \ bigoplus _ {m} f _ {*} ({\ mathcal {O}} _ {X} (mK )) {\ big)} \ til Y}$

av Y langs den relative kanoniske ringen er en morphism til Y . Hvis den relative kanoniske ringen er endelig generert (som en algebra over ), kalles morfismen flippen for hvis er relativt god, og floppen for hvis K er relativt triviell. (Noen ganger kalles den induserte fødselsmorfismen fra til en flip eller flop.) ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ displaystyle f ^ {+}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle -K}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X ^ {+}}$

I applikasjoner er det ofte en liten sammentrekning av en ekstremstråle, noe som innebærer flere ekstra egenskaper: ${\ displaystyle f}$

• De eksepsjonelle settene til begge kartene og har kodedimensjon minst 2, ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {+}}$
• ${\ displaystyle X}$ og har bare milde singulariteter, for eksempel terminale singulariteter . ${\ displaystyle X ^ {+}}$
• ${\ displaystyle f}$ og er birasjonsmorfiser på Y , noe som er normalt og prosjektivt. ${\ displaystyle f ^ {+}}$
• Alle kurver i fibrene til og er numerisk proporsjonale. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {+}}$

Eksempler

Det første eksemplet på en flopp, kjent som Atiyah-floppen , ble funnet i ( Atiyah 1958 ). La Y være nullene til in , og la V være sprengningen av Y ved opprinnelsen. Det eksepsjonelle stedet for denne sprengningen er isomorf og kan blåses ned på to forskjellige måter, noe som gir varianter og . Det naturlige birational-kartet fra til er Atiyah-floppen. ${\ displaystyle xy = zw}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {4}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} \ times \ mathbb {P} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2}}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2}}$

Reid (1983) introduserte Reids pagode , en generalisering av Atiyahs flopp som erstattet Y med nullene til . ${\ displaystyle xy = (z + w ^ {k}) (zw ^ {k})}$

Referanser

• Atiyah, Michael Francis (1958), "On analytic overflates with double points", Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences , 247 (1249): 237–244, Bibcode : 1958RSPSA.247..237A , doi : 10.1098 / rspa.1958.0181 , MR   0095974
• Birkar, Caucher ; Cascini, Paolo; Hacon, Christopher D .; McKernan, James (2010), "Existence of minimal models for varias of log general type", Journal of the American Mathematical Society , 23 (2): 405–468, arXiv : math.AG/0610203 , Bibcode : 2010JAMS ... 23..405B , doi : 10.1090 / S0894-0347-09-00649-3 , ISSN   0894-0347 , MR   2601039 CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
• Corti, Alessio (desember 2004), "Hva er ... en flip?" ( PDF ) , merknader i American Mathematical Society , 51 (11): 1350-1351 , hentet 2008-01-17 CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
• Kollár, János (1991), "Flip and flop", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I, II (Kyoto, 1990) , Tokyo: Matematikk. Soc. Japan, s. 709–714, MR   1159257 CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
• Kollár, János (1991), "Flips, flops, minimal models, etc", Surveys in different geometry (Cambridge, MA, 1990) , Bethlehem, PA: Lehigh Univ., S. 113–199, MR   1144527 CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
• Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), Birational Geometry of Algebraic Varieties , Cambridge University Press , ISBN   0-521-63277-3 CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
• Matsuki, Kenji (2002), Introduksjon til Mori-programmet , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN   978-0-387-98465-0 , MR   1875410
• Mori, Shigefumi (1988), "Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds", Journal of the American Mathematical Society , 1 (1): 117–253, doi : 10.1090 / s0894-0347-1988-0924704- x , JSTOR   1990969 , MR   0924704 CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
• Morrison, David (2005), Flops, flips, and matrix factorization (PDF) , Algebraic Geometry and Beyond, RIMS, Kyoto University CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
• Reid, Miles (1983), "Minimal models of canonical $ 3 $ -folds", algebraiske varianter og analytiske varianter (Tokyo, 1981) , adv. Stud. Ren matematikk., 1 , Amsterdam: Nord-Holland, s. 131–180, MR   0715649
• Shokurov, Vyacheslav V. (1993), Tredimensjonale tømmerflips. Med et vedlegg på engelsk av Yujiro Kawamata , 1 , Russian Acad. Sci. Izv. Matte. 40, s. 95–202.
• Shokurov, Vyacheslav V. (2003), Prelimiting flips , Proc. Steklov Inst. Matte. 240, s. 75–213.