Kirurgi teori - Surgery theory

I matematikk , spesielt i geometrisk topologi , er kirurgiteori en samling teknikker som brukes til å produsere en endelig-dimensjonal manifold fra en annen på en 'kontrollert' måte, introdusert av John Milnor ( 1961 ). Milnor kalte denne teknikken kirurgi , mens Andrew Wallace kalte den Sfærisk modifikasjon . Den "kirurgi" på en differensierbar manifold M i dimensjon , kan beskrives som å fjerne en innleiret sfære av dimensjon p fra M . Opprinnelig utviklet for differensierbare (eller glatte ) manifolder, gjelder kirurgiske teknikker også stykkevis lineære (PL-) og topologiske manifolder. ${\ displaystyle n = p+q+1}$

Kirurgi refererer til å kutte ut deler av manifolden og erstatte den med en del av en annen manifold, som matcher langs kuttet eller grensen. Dette er nært beslektet med, men ikke identisk med, håndtakskomponeringer .

Mer teknisk er tanken å starte med et godt forstått mangfold M og utføre kirurgi på det for å produsere et mangfold M som har en ønsket egenskap, på en slik måte at effektene på homologien , homotopigruppene eller andre invarianter av mangfold er kjent. Et relativt enkelt argument ved bruk av Morse -teori viser at en mangfold kan oppnås fra en annen med en sekvens av sfæriske modifikasjoner hvis og bare hvis de to tilhører samme klangbordsklasse .

Klassifiseringen av eksotiske sfærer av Michel Kervaire og Milnor ( 1963 ) førte til fremveksten av kirurgiteori som et viktig verktøy i høydimensjonal topologi.

Kirurgi på en manifold

Hvis X , Y er mangfoldige med grense, så er grensen for produktmanifolden

{\ displaystyle \ partiell (X \ ganger Y) = (\ delvis X \ ganger Y) \ kopp (X \ ganger \ delvis Y).}

Den grunnleggende observasjonen som rettferdiggjør kirurgi er at rommet kan forstås enten som grensen til eller som grensen til . I symboler, ${\ displaystyle S^{p} \ ganger S^{q-1}}$ ${\ displaystyle D^{p+1} \ ganger S^{q-1}}$ ${\ displaystyle S^{p} \ ganger D^{q}}$

{\ displaystyle \ delvis \ venstre (S^{p} \ ganger D^{q} \ høyre) = S^{p} \ ganger S^{q-1} = \ delvis \ venstre (D^{p+1 } \ ganger S^{q-1} \ høyre)}

,

hvor er q -dimensjonal disk, dvs. settet med punkter i som er på avstand ett eller mindre fra et gitt fast punkt (midten av disken); for eksempel, da er homeomorft i forhold til enhetsintervallet, mens det er en sirkel sammen med punktene i det indre. ${\ displaystyle D^{q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{q}}$ ${\ displaystyle D^{1}}$ ${\ displaystyle D^{2}}$

Nå, gitt en mangfoldig M av dimensjon og en innebygging , definer en annen n -dimensjonal manifold som skal være ${\ displaystyle n = p+q}$ ${\ displaystyle \ phi \ colon S^{p} \ ganger D^{q} \ til M}$ ${\ displaystyle M '}$

{\ displaystyle M ': = \ left (M \ setminus \ operatorname {int} (\ operatorname {im} (\ phi)) \ right) \; \ cup _ {\ phi | _ {S^{p} \ times S^{q-1}}} \ venstre (D^{p+1} \ ganger S^{q-1} \ høyre).}

Den ene sier at manifolden M ′ produseres ved en operasjon som kutter ut og limes inn , eller ved en p - operasjon hvis man vil spesifisere tallet p . Strengt tatt er M ′ en manifold med hjørner, men det er en kanonisk måte å glatte dem ut. Legg merke til at delmanifolden som ble erstattet i M var av samme dimensjon som M (den var av kodimensjon 0). ${\ displaystyle S^{p} \ ganger D^{q}}$ ${\ displaystyle D^{p+1} \ ganger S^{q-1}}$

Kirurgi er nært knyttet til (men ikke det samme som) håndtaksfeste . Gitt en ( n + 1) -manifold med grense ( L , ∂ L ) og en innebygd : S ^p × D ^q → ∂ L , hvor n = p + q , definer en annen ( n + 1) -manifold med grense L ′ av ${\ displaystyle \ phi}$

{\ displaystyle L ': = L \; \ cup _ {\ phi} \ venstre (D^{p+1} \ ganger D^{q} \ høyre).}

Manifolden L ′ oppnås ved å "feste en ( p + 1) -håndtak", med ∂ L "hentet fra ∂ L ved en p -kirurgi

{\ displaystyle \ partiell L '= (\ delvis L- \ operatornavn {int ~ im} \ phi) \; \ cup _ {\ phi | _ {S^{p} \ ganger S^{q-1}}} \ venstre (D^{p+1} \ ganger S^{q-1} \ høyre).}

En operasjon på M gir ikke bare en ny manifold M ′, men også en cobordism W mellom M og M ′. De spor av operasjonen er den cobordism ( W , M , M '), med

{\ displaystyle W: = (M \ ganger I) \; \ cup _ {\ phi \ times \ {1 \}} \ venstre (D^{p+1} \ ganger D^{q} \ høyre)}

( n + 1) -dimensjonal manifold med grense ∂ W = M ∪ M ′ hentet fra produktet M × I ved å feste en ( p + 1) -håndtak D ^{p +1} × D ^q .

Kirurgi er symmetrisk i den forstand at manifolden M kan fås igjen fra M ′ ved en ( q -1) kirurgi, hvis spor sammenfaller med sporet av den opprinnelige operasjonen, opp til orientering.

I de fleste applikasjoner kommer manifolden M med ytterligere geometrisk struktur, for eksempel et kart til et referanserom eller ytterligere buntdata. Man vil da at operasjonsprosessen skal gi M ′ den samme typen tilleggsstruktur. For eksempel er et standardverktøy i kirurgiteori kirurgi på normale kart : en slik prosess endrer et normalt kart til et annet normalt kart innenfor samme bordismeklasse.

Eksempler

Kirurgi på sirkelen

Figur 1

I henhold til definisjonen ovenfor består en operasjon av sirkelen av å kutte ut en kopi av S ⁰ × D ¹ og lime inn D ¹ × S ⁰ . Bildene i figur 1 viser at resultatet av å gjøre dette enten er (i) S ¹ igjen, eller (ii) to kopier av S ¹ .

Fig. 2a

Fig. 2b
Kirurgi på 2-sfæren
I dette tilfellet er det flere muligheter, siden vi kan starte med å kutte ut enten S ¹ × D ¹ eller S ⁰ × D ² .
1. S ¹ × D ¹ : Hvis vi fjerner en sylinder fra 2-sfæren, sitter vi igjen med to skiver. Vi må lime tilbake i S ⁰ × D ² - det vil si to skiver - og det er klart at resultatet av å gjøre det er å gi oss to usammenhengende sfærer. (Fig. 2a)
  
  Fig. 2c. Denne formen kan ikke legges inn i 3-mellomrom.
2. S ⁰ × D ² : Etter å ha kuttet ut to skiver S ⁰ × D ² , limer vi tilbake sylinderen S ¹ × D ¹ . Det er to mulige utfall, avhengig av om limingskartene våre har samme eller motsatt retning på de to grensesirklene. Hvis orienteringene er de samme (fig. 2b), er den resulterende manifolden torus S ¹ × S ¹ , men hvis de er forskjellige, får vi Klein -flasken (fig. 2c).
Kirurgi på n -sfæren Hvis n = p + q , da . Den p -surgery på S ⁿ er derfor . Eksemplene 1 og 2 ovenfor var et spesielt tilfelle av dette. ${\ displaystyle S^{n} = \ delvis D^{n+1} \ ca \ delvis (D^{p+1} \ ganger D^{q}) = S^{p} \ ganger D^{q } \; \ cup \; D^{p+1} \ ganger S^{q-1}}$ ${\ displaystyle D^{p+1} \ ganger S^{q-1} \; \ cup \; D^{p+1} \ ganger S^{q-1} = S^{p+1} \ ganger S^{q-1}}$
Morse-funksjoner Anta at f er en Morse-funksjon på en ( n + 1) -dimensjonal manifold, og anta at c er en kritisk verdi med nøyaktig ett kritisk punkt i forbildet. Hvis indeksen til dette kritiske punktet er p + 1, blir nivået satt fra en p -kirurgi. Bordismen kan identifiseres med spor av denne operasjonen. Faktisk, i et eller annet koordinatdiagram rundt det kritiske punktet, er funksjonen f av formen , med , og p + q + 1 = n + 1. Fig. 3 viser, i dette lokale diagrammet, manifolden M i blått og manifolden M ′ i rødt. Den fargede området mellom M og M "svarer til bordism W . Bildet viser at W er diffeomorf for unionen ${\ displaystyle M ': = f^{-1} (c+\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle M: = f^{-1} (c- \ varepsilon)}$ ${\ displaystyle W: = f^{-1} ([c- \ varepsilon, c+\ varepsilon])}$ ${\ displaystyle -\ Vert x \ Vert ^{2}+\ Vert y \ Vert ^{2}}$ ${\ displaystyle x \ i R^{p+1}, y \ i R^{q}}$
${\ displaystyle W \ cong M \ times I \ cup _ {S^{p} \ times D^{q}} D^{p+1} \ times D^{q}}$
(forsømmer spørsmålet om å rette hjørner), der M × I er farget i gult, og er farget i grønt. Fordeleren M ′, som er en grensekomponent i W , blir derfor hentet fra M ved en p -kirurgi. Siden hver bordisme mellom lukkede manifolder har en Morse -funksjon der forskjellige kritiske punkter har forskjellige kritiske verdier, viser dette at enhver bordisme kan dekomponeres i spor av operasjoner ( håndtakskomponering ). Spesielt kan hver manifold M betraktes som en bordisme fra grensen ∂ M (som kan være tom) til den tomme manifolden, og slik kan den hentes fra ∂ M × I ved å feste håndtak. ${\ displaystyle D^{p+1} \ ganger D^{q}}$

Effekter på homotopigrupper og sammenligning med cellevedlegg

Intuitivt er operasjonsprosessen en mangfoldig analog for å feste en celle til et topologisk rom, der innstøpningen φ tar stedet for vedleggskartet. Et enkelt feste av en ( q + 1) -celle til en n -manifold ville ødelegge manifoldstrukturen av dimensjonshensyn, så den må tyknes ved å krysse med en annen celle.

Frem til homotopi kan operasjonsprosessen på en innstøping φ: S ^p × D ^q → M beskrives som festing av en ( p + 1) -celle, som gir homotopitypen av sporet, og løsrivelse av en q -celle for å oppnå N . Nødvendigheten av løsrivelsesprosessen kan forstås som en effekt av Poincaré -dualitet .

På samme måte som en celle kan festes til et mellomrom for å drepe et element i en homotopigruppe i rommet, kan en p -kirurgi på en manifold M ofte brukes til å drepe et element . To punkter er imidlertid viktige: For det første må elementet være representativt ved en innebygging φ: S ^p × D ^q → M (som betyr å bygge inn den tilsvarende sfæren med en triviell normal bunt ). For eksempel er det ikke mulig å utføre kirurgi på en orienterings-reverseringssløyfe. For det andre må effekten av løsrivelsesprosessen vurderes, siden den også kan ha en effekt på homotopigruppen som vurderes. Grovt sett er bare viktig når det andre punktet p er minst av størrelsesorden halvparten av dimensjonen av M . ${\ displaystyle \ alpha \ in \ pi _ {p} (M)}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ pi _ {p} (M)}$

Søknad om klassifisering av manifolder

Operasjonsteoriens opprinnelse og hovedanvendelse ligger i klassifiseringen av mangfoldige dimensjoner større enn fire. Løst er de organiserende spørsmålene ved kirurgiteori:

Er X en mangfold?
Er f en diffeomorfisme?

Mer formelt må man spørre om det er opp til homotopi :

Har et mellomrom X homotopitypen av en glatt manifold av samme dimensjon?
Er en homotopi -ekvivalens f : M → N mellom to glatte grenrør homotopiske til en diffeomorfisme?

Det viser seg at det andre ("unikhet") spørsmålet er en relativ versjon av et spørsmål av den første ("eksistensen") typen; dermed kan begge spørsmålene behandles med de samme metodene.

Legg merke til at kirurgiteori ikke gir et komplett sett med invarianter til disse spørsmålene. I stedet er det obstruksjonsteoretisk : det er en primær obstruksjon, og en sekundær obstruksjon kalt operasjonsobstruksjonen som bare er definert hvis den primære obstruksjonen forsvinner, og som avhenger av valget som tas for å bekrefte at den primære obstruksjonen forsvinner.

Operasjonsmetoden

I den klassiske tilnærmingen, som utviklet av William Browder , Sergei Novikov , Dennis Sullivan og CTC Wall , blir kirurgi utført på normale kart over grad ett. Ved bruk av kirurgi, spørsmålet "Er det normale kartet f : M → X av grad en cobordant til en homotopi ekvivalens?" kan oversettes (i dimensjoner større enn fire) til en algebraisk uttalelse om et element i en L-gruppe i gruppering . Mer presist, har spørsmålet et positivt svar hvis og bare hvis kirurgi hindringen er null, der n er dimensjonen av M . ${\ displaystyle \ mathbf {Z} [\ pi _ {1} (X)]}$ ${\ displaystyle \ sigma (f) \ i L_ {n} (\ mathbf {Z} [\ pi _ {1} (X)])}}$

Tenk for eksempel på tilfellet der dimensjonen n = 4k er et multiplum av fire, og . Det er kjent at det er isomorft for heltallene ; under denne isomorphism operasjonen obstruksjon av f kart, opp til en skalar faktor, til forskjell fra de underskrifter av X og M . Derfor er et normalt kart over grad ett koordent for en homotopi -ekvivalens hvis og bare hvis signaturene til domenet og kodomenet stemmer overens. ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X) = 0}$ ${\ displaystyle L_ {4k} (\ mathbf {Z})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle \ sigma (X)-\ sigma (M)}$

Når vi kommer tilbake til "eksistens" -spørsmålet ovenfra, ser vi at et mellomrom X har homotopitypen til en glatt manifold hvis og bare hvis den mottar et normalt kart over graden en hvis operasjonsobstruksjon forsvinner. Dette fører til en hindring i flere trinn: For å snakke om normale kart må X tilfredsstille en passende versjon av Poincaré-dualitet som gjør det til et Poincaré-kompleks . Forutsatt at X er et Poincaré -kompleks, viser Pontryagin - Thom -konstruksjonen at et normalt kart over grad 1 til X eksisterer hvis og bare hvis Spivak normalfibrering av X har en reduksjon til en stabil vektorgruppe . Hvis det finnes normale kart med grad ett til X , klassifiseres bordismklassene deres (kalt normale invarianter ) etter settet med homotopiklasser . Hver av disse normale invariantene har en operasjonsobstruksjon; X har homotopytypen til en glatt manifold hvis og bare hvis en av disse hindringene er null. Sagt annerledes betyr dette at det er et valg av normal invariant med nullbilde under operasjonskartet ${\ displaystyle [X, G/O]}$

{\ displaystyle [X, G/O] \ til L_ {n} \ venstre (\ mathbf {Z} \ venstre [\ pi _ {1} (X) \ høyre] \ høyre).}

Struktursett og kirurgi nøyaktig sekvens

Begrepet struktursett er det samlende rammeverket for både spørsmål om eksistens og særegenhet. Grovt sett består struktursettet av et mellomrom X av homotopi-ekvivalenser M → X fra noen manifold til X , hvor to kart er identifisert under et bordismetype-forhold. En nødvendig (men ikke generelt tilstrekkelig) betingelse for at struktursettet til et mellomrom X skal være ikke -tomt, er at X er et n -dimensjonalt Poincaré -kompleks, dvs. at homologi- og kohomologigruppene er relatert til isomorfisme av et n -dimensjonalt mangfoldig, for noen heltall n . Avhengig av den presise definisjonen og kategorien av manifolder ( glatt , PL eller topologisk ), er det forskjellige versjoner av struktursett. Siden visse saksgrader mellom manifoldene er isomorfe (i den respektive kategorien) til sylindere, ifølge s-kobordismens teorem , tillater konseptet med struktursett en klassifisering til og med diffeomorfisme . ${\ displaystyle H^{*} (X) \ cong H_ {n-*} (X)}$

Struktursettet og kirurgisk obstruksjonskart blir samlet i den eksakte operasjonsrekkefølgen . Denne sekvensen gjør det mulig å bestemme struktursettet til et Poincaré -kompleks når kirurgisk obstruksjonskart (og en relativ versjon av det) er forstått. I viktige tilfeller kan det glatte eller topologiske struktursettet beregnes ved hjelp av den eksakte operasjonssekvensen. Eksempler er klassifisering av eksotiske sfærer og bevisene for Borel -antagelsen for negativt buede manifolder og manifolder med hyperbolsk grunnleggende gruppe.

I den topologiske kategorien er den eksakte operasjonssekvensen den lange eksakte sekvensen indusert av en fibrasjonssekvens av spektre . Dette innebærer at alle settene som er involvert i sekvensen faktisk er abelske grupper. På spektrumnivå er kirurgi -obstruksjonskartet et forsamlingskart hvis fiber er blokkstrukturerommet til den tilsvarende manifolden.

Se også

Sitater

Referanser

Milnor, John (2007). Samlede artikler om John Milnor III differensialtopologi . AMS . ISBN 978-0-8218-4230-0.
Browder, William (1972), Surgery on simply-connected manifolds , Berlin, New York: Springer-Verlag , MR 0358813
Cappell, Sylvain ; Ranicki, Andrew ; Rosenberg, Jonathan , red. (2000), Surveys on surgery theory. Vol. 1 (PDF) , Annals of Mathematics Studies, 145 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04938-0, MR 1746325
Cappell, Sylvain; Ranicki, Andrew; Rosenberg, Jonathan, red. (2001), Surveys on surgery theory. Vol. 2 (PDF) , Annals of Mathematics Studies, 149 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08815-0, MR 1818769
Kervaire, Michel A .; Milnor, John W. (1963), "Groups of homotopy spheres: I", Annals of Mathematics , 77 (3): 504–537, doi : 10.2307/1970128 , JSTOR 1970128 , MR 0148075
Milnor, John Willard (1961), "En prosedyre for å drepe homotopigrupper med differensierbare manifolder.", Proc. Sympos. Pure Math., Vol. III , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 39–55, MR 0130696
Milnor, John Willard (1965), Forelesninger om h-cobordism teorem , Notater av Laurent Siebenmann og Jonathan Sondow, Princeton University Press , MR 0190942
Postnikov, Mikail M .; Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], "Morse surgery" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Ranicki, Andrew (1980), "The algebraic theory of surgery. I. Foundations" (PDF) , Proceedings of the London Mathematical Society , 40 (3): 87–192, CiteSeerX 10.1.1.309.4753 , doi : 10.1112/plms /s3-40.1.87
Ranicki, Andrew (1980), "The algebraic theory of surgery. II. Applications to topology" (PDF) , Proceedings of the London Mathematical Society , 40 (2): 193–283, doi : 10.1112/plms/s3-40.2. 193
Ranicki, Andrew (2002), Algebraic and Geometric Surgery , Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, MR 2061749
Wall, CTC (1999) [1970], Ranicki, Andrew (red.), Surgery on compact manifolds (PDF) , Mathematical Surveys and Monographs, 69 (2. utg.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0942-6, MR 1687388

Languages

In other projects