Vend (matematikk) - Flip (mathematics)
I algebraisk geometri , knipser og flopper er codimension-2 kirurgiske operasjoner som oppstår i den minimale modellprogram som , gitt ved å blåse opp langs en relativ kanonisk ring . I dimensjon 3 brukes flips for å konstruere minimale modeller, og to birationally ekvivalente minimale modeller er forbundet med en sekvens av flops. Det antas at det samme gjelder i høyere dimensjoner.
Det minimale modellprogrammet
Det minimale modellprogrammet kan oppsummeres veldig kort som følger: gitt en variasjon konstruerer vi en sekvens av sammentrekninger , som hver trekker noen kurver som den kanoniske skillelinjen er negativ på. Til slutt skal det bli nef (i det minste i tilfelle ikke-negativ Kodaira-dimensjon ), som er ønsket resultat. Det største tekniske problemet er at sorten på et eller annet tidspunkt kan bli "for enestående", i den forstand at den kanoniske deleren ikke lenger er en Cartier-deler , så skjæringsnummeret med en kurve er ikke engang definert.
Den (formodede) løsningen på dette problemet er flippen . Gitt en problematisk som ovenfor, er flippen av et birasjonskart (faktisk en isomorfisme i kodimensjon 1) til en variasjon hvis singulariteter er 'bedre' enn de av . Så vi kan sette i gang , og fortsette prosessen.
To store problemer angående flips er å vise at de eksisterer og å vise at man ikke kan ha en uendelig sekvens av flips. Hvis begge disse problemene kan løses, kan det minimale modellprogrammet gjennomføres. Eksistensen av flips for 3 ganger ble bevist av Mori (1988) . Eksistensen av loggflips, en mer generell type flip, i dimensjon tre og fire ble bevist av Shokurov ( 1993 , 2003 ) hvis arbeid var grunnleggende for løsningen på eksistensen av loggflips og andre problemer i høyere dimensjon. Eksistensen av tømmerflips i høyere dimensjoner er avgjort av (Caucher Birkar, Paolo Cascini & Christopher D. Hacon et al. 2010 ). På den annen side er problemet med avslutning - å bevise at det ikke kan være noen uendelig rekkefølge av flips - fremdeles åpent i dimensjoner større enn 3.
Definisjon
Dersom er en morphism, og K er den kanoniske bunt av X , da den relative kanoniske ring av f er
og er en bunt gradert algebras over bunke av vanlige funksjoner på Y . Sprengningen
av Y langs den relative kanoniske ringen er en morphism til Y . Hvis den relative kanoniske ringen er endelig generert (som en algebra over ), kalles morfismen flippen for hvis er relativt god, og floppen for hvis K er relativt triviell. (Noen ganger kalles den induserte fødselsmorfismen fra til en flip eller flop.)
I applikasjoner er det ofte en liten sammentrekning av en ekstremstråle, noe som innebærer flere ekstra egenskaper:
- De eksepsjonelle settene til begge kartene og har kodedimensjon minst 2,
- og har bare milde singulariteter, for eksempel terminale singulariteter .
- og er birasjonsmorfiser på Y , noe som er normalt og prosjektivt.
- Alle kurver i fibrene til og er numerisk proporsjonale.
Eksempler
Det første eksemplet på en flopp, kjent som Atiyah-floppen , ble funnet i ( Atiyah 1958 ). La Y være nullene til in , og la V være sprengningen av Y ved opprinnelsen. Det eksepsjonelle stedet for denne sprengningen er isomorf og kan blåses ned på to forskjellige måter, noe som gir varianter og . Det naturlige birational-kartet fra til er Atiyah-floppen.
Reid (1983) introduserte Reids pagode , en generalisering av Atiyahs flopp som erstattet Y med nullene til .
Referanser
- Atiyah, Michael Francis (1958), "On analytic overflates with double points", Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences , 247 (1249): 237–244, Bibcode : 1958RSPSA.247..237A , doi : 10.1098 / rspa.1958.0181 , MR 0095974
- Birkar, Caucher ; Cascini, Paolo; Hacon, Christopher D .; McKernan, James (2010), "Existence of minimal models for varias of log general type", Journal of the American Mathematical Society , 23 (2): 405–468, arXiv : math.AG/0610203 , Bibcode : 2010JAMS ... 23..405B , doi : 10.1090 / S0894-0347-09-00649-3 , ISSN 0894-0347 , MR 2601039 CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
- Corti, Alessio (desember 2004), "Hva er ... en flip?" ( PDF ) , merknader i American Mathematical Society , 51 (11): 1350-1351 , hentet 2008-01-17 CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
- Kollár, János (1991), "Flip and flop", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I, II (Kyoto, 1990) , Tokyo: Matematikk. Soc. Japan, s. 709–714, MR 1159257 CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
- Kollár, János (1991), "Flips, flops, minimal models, etc", Surveys in different geometry (Cambridge, MA, 1990) , Bethlehem, PA: Lehigh Univ., S. 113–199, MR 1144527 CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
- Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), Birational Geometry of Algebraic Varieties , Cambridge University Press , ISBN 0-521-63277-3 CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
- Matsuki, Kenji (2002), Introduksjon til Mori-programmet , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98465-0 , MR 1875410
- Mori, Shigefumi (1988), "Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds", Journal of the American Mathematical Society , 1 (1): 117–253, doi : 10.1090 / s0894-0347-1988-0924704- x , JSTOR 1990969 , MR 0924704 CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
- Morrison, David (2005), Flops, flips, and matrix factorization (PDF) , Algebraic Geometry and Beyond, RIMS, Kyoto University CS1 maint: motløs parameter ( lenke )
- Reid, Miles (1983), "Minimal models of canonical $ 3 $ -folds", algebraiske varianter og analytiske varianter (Tokyo, 1981) , adv. Stud. Ren matematikk., 1 , Amsterdam: Nord-Holland, s. 131–180, MR 0715649
- Shokurov, Vyacheslav V. (1993), Tredimensjonale tømmerflips. Med et vedlegg på engelsk av Yujiro Kawamata , 1 , Russian Acad. Sci. Izv. Matte. 40, s. 95–202.
- Shokurov, Vyacheslav V. (2003), Prelimiting flips , Proc. Steklov Inst. Matte. 240, s. 75–213.