Høydefunksjon - Height function

En høydefunksjon er en funksjon som kvantifiserer kompleksiteten til matematiske objekter. I Diophantine geometri kvantifiserer høydefunksjoner størrelsen på løsningene til Diophantine -ligninger og er vanligvis funksjoner fra et sett med punkter på algebraiske varianter (eller et sett med algebraiske varianter) til de reelle tallene .

For eksempel er den klassiske eller naive høyden over de rasjonelle tallene vanligvis definert til å være maksimum for tellerne og nevnerne til koordinatene (f.eks. 3 for koordinatene (3/9, 1/2) ), men i en logaritmisk skala .

Betydning

Høydefunksjoner lar matematikere telle objekter, for eksempel rasjonelle punkter , som ellers er uendelige i mengde. For eksempel er settet med rasjonelle tall for naiv høyde (maksimum for teller og nevner når det uttrykkes i laveste termer ) under en gitt konstant begrenset til tross for at settet av rasjonelle tall er uendelig. I denne forstand kan høydefunksjoner brukes til å bevise asymptotiske resultater som Bakers teorem i transcendental tallteori som ble påvist av Alan Baker  ( 1966 , 1967a , 1967b ).

I andre tilfeller kan høydefunksjoner skille noen objekter ut fra kompleksiteten. For eksempel viser delromsetningen vist av Wolfgang M. Schmidt  ( 1972 ) at punkter med liten høyde (dvs. liten kompleksitet) i projektivt rom ligger i et begrenset antall hyperplaner og generaliserer Siegels teorem om integrerte punkter og løsning av S-enheten ligning .

Høydefunksjoner var avgjørende for bevisene på henholdsvis Mordell - Weil -setningen og Faltings teorem av Weil  ( 1929 ) og Faltings  ( 1983 ). Flere enestående uløste problemer om høyden til rasjonelle punkter på algebraiske varianter, som Manin-antagelsen og Vojtas formodning , har vidtrekkende implikasjoner for problemer i Diophantine-tilnærming , Diophantine-ligninger , aritmetisk geometri og matematisk logikk .

Høydefunksjoner i Diophantine geometri

Historie

Heights in Diophantine geometry ble opprinnelig utviklet av André Weil og Douglas Northcott fra 1920 -tallet. Innovasjoner på 1960 -tallet var Néron - Tate -høyden og erkjennelsen av at høyder var knyttet til projektive representasjoner på omtrent samme måte som mange linjebunter er i andre deler av algebraisk geometri . På 1970 -tallet utviklet Suren Arakelov Arakelov -høyder i Arakelov -teorien . I 1983 utviklet Faltings sin teori om Faltings høyder i sitt bevis på Faltings teorem.

Naiv høyde

Klassisk eller naiv høyde er definert i form av vanlig absolutt verdi på homogene koordinater . Det er vanligvis en logaritmisk skala og kan derfor sees på som proporsjonal med den "algebraiske kompleksiteten" eller antallet biter som trengs for å lagre et punkt. Det er vanligvis definert som logaritmen for maksimal absoluttverdi for vektoren av koprime -heltall oppnådd ved å multiplisere med en laveste fellesnevner . Dette kan brukes til å definere høyde på et punkt i projiserende rom over Q , eller av et polynom, betraktet som en vektor av koeffisienter eller et algebraisk tall, fra høyden på det minimale polynomet.

Den naive høyden til et rasjonelt tall x = p / q (i laveste termer) er

• multiplikativ høyde ${\ displaystyle H (p/q) = \ max \ {| p |, | q | \}}$
• logaritmisk høyde: ${\ displaystyle h (p/q) = \ log H (p/q)}$

Derfor er de naive multiplikative og logaritmiske høyder på 4/10 for eksempel 5 og log (5) .

Den naive høyden H til en elliptisk kurve E gitt av y ² = x ³ + Ax + B er definert som H (E) = log max (4 | A | ³ , 27 | B | ² ) .

Néron - Tate høyde

Den Néron-Tate høyde , eller kanoniske høyde , er en kvadratisk form på den Mordell-Weil gruppe av rasjonelle punkter av en abelsk variasjon definert over et globalt felt . Det er oppkalt etter André Néron , som først definerte det som en sum av lokale høyder, og John Tate , som definerte det globalt i et upublisert verk.

Weil høyde

Den Weil høyde er definert på en projeksjons rekke X over et antall felt K utstyrt med en ledningsbunten L på X . Gitt et veldig stort linjebunt L ₀ på X , kan man definere en høydefunksjon ved hjelp av den naive høydefunksjonen h . Siden L ₀ ' er veldig god, gir det komplette lineære systemet et kart ϕ fra X til det projiserende rommet. Deretter definerer du for alle punktene p på X${\ displaystyle h_ {L_ {0}} (p): = h (\ phi (p)).}$

Man kan skrive en vilkårlig linjebunt L på X som forskjellen på to veldig store bunker L ₁ og L ₂ på X , opp til Serres vridningsskive O (1) , så man kan definere Weil -høyden h _L på X med respekt til L via (opptil O (1) ). ${\ displaystyle h_ {L}: = h_ {L_ {1}}-h_ {L_ {2}},}$

Arakelov høyde

Den Arakelov høyde på en projeksjonsrommet over feltet av algebraiske tall er en global høyde funksjon med lokale bidrag kommer fra Fubini-Study beregninger på Arkimedes felt og den vanlige metriske på ikke-Archimedean felt . Det er den vanlige Weil -høyden utstyrt med en annen beregning.

Faltings høyde

Den Faltings Høyden av en abelsk variasjon er definert over et antall felt er et mål på dens aritmetiske kompleksitet. Det er definert i form av høyden på en målet linjebunt . Den ble introdusert av Faltings  ( 1983 ) i hans bevis på Mordell -formodningen .

Høyde fungerer i algebra

Høyden på et polynom

For et polynom P av grad n gitt av

${\ displaystyle P = a_ {0}+a_ {1} x+a_ {2} x^{2}+\ cdots+a_ {n} x^{n},}$

den høyde H ( P ) er definert til å være den maksimale av størrelsene av sine koeffisienter:

${\ displaystyle H (P) = {\ undersett {i} {\ max}} \, | a_ {i} |.}$

Man kan på samme måte definere lengden L ( P ) som summen av størrelsene til koeffisientene:

${\ displaystyle L (P) = \ sum _ {i = 0}^{n} | a_ {i} |.}$

Forhold til Mahler -tiltak

Den Mahler mål M ( P ) av P er også et mål for kompleksiteten av P . De tre funksjonene H ( P ), L ( P ) og M ( P ) henger sammen med ulikhetene

${\ displaystyle {\ binom {n} {\ lfloor n/2 \ rfloor}}^{-1} H (P) \ leq M (P) \ leq H (P) {\ sqrt {n+1}}; }$

${\ displaystyle L (p) \ leq 2^{n} M (p) \ leq 2^{n} L (p);}$

${\ displaystyle H (p) \ leq L (p) \ leq (n+1) H (p)}$

hvor er binomialkoeffisienten . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ binom {n} {\ lfloor n/2 \ rfloor}}}$

Høydefunksjoner i automorfe former

En av betingelsene i definisjonen av en automorf form på den generelle lineære gruppen i en adelisk algebraisk gruppe er moderat vekst , som er en asymptotisk tilstand for veksten av en høydefunksjon på den generelle lineære gruppen sett på som en affin variasjon .

Se også

• abc formodning
• Birch og Swinnerton-Dyer formodning
• Elliptisk Lehmer -formodning
• Heath-Brown-Moroz konstant
• Høyden på en formell gruppelov
• Høyde zeta -funksjon
• Raynauds isogeneteorem
• Trehøyde

Referanser

Kilder

• Baker, Alan (1966). "Lineære former i logaritmene til algebraiske tall. I". Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics . 13 (2): 204–216. doi : 10.1112/S0025579300003971 . ISSN  0025-5793 . MR  0220680 .
• Baker, Alan (1967a). "Lineære former i logaritmene til algebraiske tall. II". Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics . 14 : 102–107. doi : 10.1112/S0025579300008068 . ISSN  0025-5793 . MR  0220680 .
• Baker, Alan (1967b). "Lineære former i logaritmene til algebraiske tall. III". Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics . 14 (2): 220–228. doi : 10.1112/S0025579300003843 . ISSN  0025-5793 . MR  0220680 .
• Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007). Logaritmiske former og diofantisk geometri . Nye matematiske monografier. 9 . Cambridge University Press . s. 3. ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl  1145.11004 .
• Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Høyder i Diophantine Geometry . Nye matematiske monografier. 4 . Cambridge University Press . doi : 10.2277/0521846153 . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl  1130.11034 .
• Borwein, Peter (2002). Beregningsutflukter i analyse og tallteori . CMS bøker i matematikk. Springer-Verlag . s.  2 , 3, 14148. ISBN 0-387-95444-9. Zbl  1020.12001 .
• Bump, Daniel (1998). Automorfe skjemaer og representasjoner . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 55 . Cambridge University Press. s. 300. ISBN 9780521658188.
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. (1986). Aritmetisk geometri . New York: Springer. ISBN 0387963111.→ Inneholder en engelsk oversettelse av Faltings (1983)
• Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Endelighetsteoremer for abelske varianter over tallfelt]. Inventiones Mathematicae (på tysk). 73 (3): 349–366. doi : 10.1007/BF01388432 . MR  0718935 . S2CID  121049418 .
• Faltings, Gerd (1991). "Diofantisk tilnærming til abelske varianter". Annals of Mathematics . 123 (3): 549–576. doi : 10.2307/2944319 . JSTOR  2944319 . MR  1109353 .
• Fili, Paul; Petsche, Clayton; Pritsker, Igor (2017). "Energiintegraler og små punkter for Arakelov -høyden". Archiv der Mathematik . 109 (5): 441–454. arXiv : 1507.01900 . doi : 10.1007/s00013-017-1080-x . S2CID  119161942 .
• Mahler, K. (1963). "På to ekstreme egenskaper av polynomer" . Illinois J. Math . 7 (4): 681–701. doi : 10.1215/ijm/1255645104 . Zbl  0117.04003 .
• Néron, André (1965). "Quasi-fonctions et hauteurs sur les variétés abéliennes". Ann. av matematikk. (på fransk). 82 (2): 249–331. doi : 10.2307/1970644 . JSTOR  1970644 . MR  0179173 .
• Schinzel, Andrzej (2000). Polynomer med spesiell hensyn til reduserbarhet . Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 77 . Cambridge: Cambridge University Press . s. 212 . ISBN 0-521-66225-7. Zbl  0956.12001 .
• Schmidt, Wolfgang M. (1972). "Normform -ligninger". Annals of Mathematics . Andre serie. 96 (3): 526–551. doi : 10.2307/1970824 . JSTOR  1970824 . MR  0314761 .
• Lang, Serge (1988). Introduksjon til Arakelov -teorien . New York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-96793-1. MR  0969124 . Zbl  0667.14001 .
• Lang, Serge (1997). Undersøkelse av diofantisk geometri . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl  0869.11051 .
• Weil, André (1929). "L'arithmétique sur les courbes algébriques" . Acta Mathematica . 52 (1): 281–315. doi : 10.1007/BF02592688 . MR  1555278 .
• Silverman, Joseph H. (1994). Avanserte emner i aritmetikken for elliptiske kurver . New York: Springer. ISBN 978-1-4612-0851-8.
• Vojta, Paul (1987). Diofantiske tilnærminger og verdifordelingsteori . Forelesningsnotater i matematikk. 1239 . Berlin, New York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/BFb0072989 . ISBN 978-3-540-17551-3. MR  0883451 . Zbl  0609.14011 .

Eksterne linker

• Polynomhøyde på Mathworld