Hilbert spektrum - Hilbert spectrum

Hilbert Spectrum av en frekvensmodulert bølgeform på skjemaet gitt av . ${\ displaystyle x (t) = (c_ {1} -c_ {2} t) \ cdot \ cos {\ big (} \ omega t + \ epsilon \ sin (2 \ omega t) {\ big)}}$

Den Hilbert-spektrum (noen ganger referert til som den Hilbert amplitudespektrum ), oppkalt etter David Hilbert , er en statistisk verktøy som kan hjelpe til å skille mellom en blanding av bevegelige signaler. Spekteret selv brytes ned i komponentkildene ved hjelp av uavhengig komponentanalyse . Separasjonen av de kombinerte effektene av uidentifiserte kilder ( blind signalseparasjon ) har anvendelser innen klimatologi , seismologi og biomedisinsk bildebehandling .

Konseptuell oppsummering

Hilbert-spekteret beregnes ved hjelp av en 2-trinns prosess som består av:

• Forbehandling av et signal skiller det ut til funksjoner i egen modus ved bruk av en matematisk nedbrytning, for eksempel singular value decomposition (SVD);
• Bruk av Hilbert-transformasjonen til resultatene av trinnet ovenfor for å oppnå det øyeblikkelige frekvensspekteret til hver av komponentene.

Den Hilbert-trans avgrenser den imaginære delen av funksjon for å gjøre det en analytisk funksjon (noen ganger referert til som en progressiv funksjon ), det vil si en funksjon hvis signalstyrken er null for alle frekvenskomponenter mindre enn null.

Med Hilbert-transformasjonen gir entallvektorene øyeblikkelige frekvenser som er tidsfunksjoner, slik at resultatet blir en energifordeling over tid og frekvens .

Resultatet er en evne til å fange lokalisering av tidsfrekvenser for å gjøre begrepet øyeblikkelig frekvens og tid relevant (begrepet øyeblikkelig frekvens er ellers abstrakt eller vanskelig å definere for alle unntatt monokomponentsignaler).

Definisjon

For et gitt signal dekomponert (med for eksempel Empirisk modus dekomponering ) til ${\ displaystyle x (t)}$

${\ displaystyle x (t) = r (t) + \ sum _ {j = 1} ^ {k} c_ {j} (t)}$

hvor er antall indre modusfunksjoner som består av og ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle x (t)}$

${\ displaystyle c_ {j} (t) = \ mathbb {R} {\ big \ {} a_ {j} (t) e ^ {- i \ theta _ {j} (t)} {\ big \}} = a_ {j} (t) \ cos {\ big (} \ theta _ {j} (t) {\ big)}}$

Den øyeblikkelige vinkelfrekvensen blir deretter definert som

${\ displaystyle \ omega _ {j} (t) = {\ frac {d \ theta _ {j} (t)} {dt}}}$

Fra dette kan vi definere Hilbert Spectrum for som ${\ displaystyle c_ {j} (t)}$

${\ displaystyle H_ {j} (\ omega, t) = {\ begin {cases} a_ {j} (t), & \ omega = \ omega _ {j} (t) \\ 0, & {\ text { ellers}} \ end {cases}}}$

Hilbert Spectrum of blir så gitt av ${\ displaystyle x (t)}$

${\ displaystyle H (\ omega, t) = \ sum _ {j = 1} ^ {k} H_ {j} (\ omega, t)}$

Marginal Hilbert Spectrum

En todimensjonal representasjon av et Hilbert Spectrum, kalt Marginal Hilbert Spectrum, er definert som

${\ displaystyle h (\ omega) = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} H (\ omega, t) dt}$

hvor er lengden på det samplede signalet . Marginal Hilbert Spectrum viser den totale energien som hver frekvensverdi bidrar med. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle x (t)}$

applikasjoner

Hilbert-spekteret har mange praktiske bruksområder. Et eksempel på en applikasjon som ble pionert av professor Richard Cobbold , er bruken av Hilbert-spekteret for analyse av blodstrømmen ved pulsdoppler- ultralyd . Andre anvendelser av Hilbert-spekteret inkluderer analyse av klimatiske trekk , vannbølger og lignende.

Se også

• Hilbert – Huang transform

Referanser

• Huang, et al., " The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis " Proc. R. Soc. Lond. (A) 1998
• Huang, NE; et al. (2016). "Om Holo-Hilbert spektralanalyse: en full informativ spektral representasjon for ikke-lineære og ikke-stasjonære data" . Phil. Trans. R. Soc. Lond. A . 374 : 20150206. Bibcode : 2016RSPTA.37450206H . doi : 10.1098 / rsta.2015.0206 . PMC   4792412 . PMID   26953180 .