Teoremet Hirzebruch – Riemann – Roch - Hirzebruch–Riemann–Roch theorem

I matematikk er Hirzebruch - Riemann - Roch -setningen , oppkalt etter Friedrich Hirzebruch , Bernhard Riemann og Gustav Roch , Hirzebruchs resultat fra 1954 som generaliserer det klassiske Riemann - Roch -teoremet på Riemann -overflater til alle komplekse algebraiske varianter av høyere dimensjoner. Resultatet banet vei for Grothendieck - Hirzebruch - Riemann - Roch -setningen som ble bevist omtrent tre år senere.

Uttalelse om Hirzebruch – Riemann – Roch -setningen

Hirzebruch - Riemann - Roch -teoremet gjelder for enhver holomorf vektorgruppe E på en kompakt kompleks manifold X , for å beregne den holomorfe Euler -egenskapen til E i skovkohomologi , nemlig den vekslende summen

${\ displaystyle \ chi (X, E) = \ sum _ {i = 0}^{n} (-1)^{i} \ dim _ {\ mathbb {C}} H^{i} (X, E )}$

av de dimensjoner som komplekse vektorrom, hvor n er den komplekse dimensjon X .

Hirzebruch teorem angir at χ ( X , E ) er beregnbar i form av Chernklasser c _k ( E ) av E , og Todd klasser av holomorfe tangentbunten av X . Disse ligger alle i kohomologi -ringen til X ; ved bruk av den grunnleggende klassen (eller med andre ord integrasjon over X ) kan vi få tall fra klasser i Hirzebruch -formelen hevder at ${\ displaystyle \ operatorname {td} _ {j} (X)}$${\ displaystyle H^{2n} (X).}$

${\ displaystyle \ chi (X, E) = \ sum \ operatorname {ch} _ {nj} (E) \ operatorname {td} _ {j} (X),}$

hvor summen er overtatt alle relevante j (altså 0 ≤ j ≤ n ), ved bruk av Chern -tegnet ch ( E ) i kohomologi. Med andre ord, produktene dannes i kohomologi -ringen av alle "matchende" grader som legger opp til 2 n . Formulert annerledes gir det likhet

${\ displaystyle \ chi (X, E) = \ int _ {X} \ operatorname {ch} (E) \ operatorname {td} (X)}$

hvor er Todd klassen av tangentbunten til X . ${\ displaystyle \ operatorname {td} (X)}$

Viktige spesialtilfeller er når E er en kompleks linjebunt , og når X er en algebraisk overflate ( Noeters formel ). Weils Riemann – Roch -teorem for vektorbunter på kurver, og Riemann – Roch -setningen for algebraiske overflater (se nedenfor), er inkludert i omfanget. Formelen uttrykker også på en presis måte den vage forestillingen om at Todd -klassene på en eller annen måte er gjensidige av karakteristiske klasser .

Riemann Roch -setning for kurver

For kurver er Hirzebruch - Riemann - Roch -setningen i hovedsak den klassiske Riemann - Roch -setningen . For å se dette huske at for hver divisor D på en kurve der er en inverterbar bunt O ( D ) (som svarer til en ledningsbunt), slik at det lineære system av D er mer eller mindre den plass av seksjoner av O ( D ) . For kurver er Todd -klassen og Chern -karakteren til en skive O ( D ) bare 1+ c ₁ (O ( D )), så Hirzebruch - Riemann - Roch -setningen sier at ${\ displaystyle 1+c_ {1} (T (X))/2,}$

${\ displaystyle h^{0} ({\ mathcal {O}} (D))-h^{1} ({\ mathcal {O}} (D)) = c_ {1} ({\ mathcal {O} } (D))+c_ {1} (T (X))/2 \ \ \}$(integrert over X ).

Men h ⁰ (O ( D )) er bare l ( D ), dimensjonen til det lineære systemet til D , og ved serialitet h ¹ (O ( D )) = h ⁰ (O ( K  -  D )) = l ( K  -  D ) hvor K er den kanoniske deleren . Videre er c ₁ (O ( D )) integrert over X graden av D , og c ₁ ( T ( X )) integrert over X er Euler -klassen 2 - 2 g av kurven X , hvor g er slekten. Så vi får den klassiske Riemann Roch -setningen

${\ displaystyle \ ell (D)-\ ell (KD) = {\ text {deg}} (D)+1-g.}$

For vektorbunter V er Chern -tegnet rang ( V ) + c ₁ ( V ), så vi får Weils Riemann Roch -setning for vektorbunter over kurver:

${\ displaystyle h^{0} (V) -h^{1} (V) = c_ {1} (V)+\ operatorname {rank} (V) (1-g).}$

Riemann Roch -setning for overflater

For overflater er teoremet Hirzebruch - Riemann - Roch i hovedsak Riemann - Roch -setningen for overflater

${\ displaystyle \ chi (D) = \ chi ({\ mathcal {O}})+((DD)-(DK))/2.}$

kombinert med Noether -formelen.

Hvis vi vil, kan vi bruke Serre dualitet til å uttrykke h ² (O ( D )) som h ⁰ (O ( K  -  D )), men i motsetning til kurver er det generelt ingen enkel måte å skrive h ¹ ( O ( D )) -begrepet i en form som ikke involverer skovkohomologi (selv om det i praksis ofte forsvinner).

Asymptotisk Riemann-Roch

La D være en god Cartier -divisor på en ureduserbar projektiv variant X av dimensjon n . Deretter

${\ displaystyle h^{0} \ left (X, {\ mathcal {O}} _ {X} (mD) \ right) = {\ frac {(D^{n})} {n!}}. m ^{n}+O (m^{n-1}).}$

Mer generelt, hvis det er en sammenhengende skive på X da ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle h^{0} \ left (X, {\ mathcal {F}} \ otimes {\ mathcal {O}} _ {X} (mD) \ right) = \ operatorname {rank} ({\ mathcal { F}}) {\ frac {(D^{n})} {n!}}. M^{n}+O (m^{n-1}).}$

Se også

• Grothendieck – Riemann – Roch teorem - inneholder mange beregninger og eksempler
• Hilbert polynom - HRR kan brukes til å beregne Hilbert polynom

Referanser

• Friedrich Hirzebruch , topologiske metoder i algebraisk geometri ISBN  3-540-58663-6

Eksterne linker

• The Hirzebruch-Riemann-Roch Theorem