Todd klasse - Todd class

I matematikk er Todd-klassen en viss konstruksjon som nå betraktes som en del av teorien i algebraisk topologi av karakteristiske klasser . Todd-klassen til et vektorpakke kan defineres ved hjelp av teorien om Chern-klasser , og oppstår der Chern-klasser eksisterer - spesielt innen differensialtopologi , teorien om komplekse manifolder og algebraisk geometri . I grove termer fungerer en Todd-klasse som en gjensidighet av en Chern-klasse, eller står i forhold til den som en normal pakke gjør med en normal pakke .

Todd-klassen spiller en grunnleggende rolle i generaliseringen av den klassiske Riemann – Roch-teoremet til høyere dimensjoner i setningen Hirzebruch – Riemann – Roch og Grothendieck – Hirzebruch – Riemann – Roch-teoremet .

Historie

Den er oppkalt etter JA Todd , som introduserte et spesielt tilfelle av konseptet i algebraisk geometri i 1937, før Chern-klassene ble definert. Den geometriske ideen som er involvert kalles noen ganger Todd-Eger-klassen . Den generelle definisjonen i høyere dimensjoner skyldes Friedrich Hirzebruch .

Definisjon

For å definere Todd-klassen hvor det er en kompleks vektorpakke på et topologisk rom , er det vanligvis mulig å begrense definisjonen til tilfellet med en Whitney-sum av linjebunter , ved hjelp av en generell enhet med karakteristisk klasseteori, bruk av Chern røtter (aka, splittelsesprinsippet ). For definisjonen, la ${\ displaystyle \ operatorname {td} (E)}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle Q (x) = {\ frac {x} {1-e ^ {- x}}} = 1 + {\ dfrac {x} {2}} + \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {i-1} B_ {2i}} {(2i)!}} x ^ {2i} = 1 + {\ dfrac {x} {2}} + {\ dfrac {x ^ {2}} {12}} - {\ dfrac {x ^ {4}} {720}} + \ cdots}

være den formelle kraftserien med egenskapen som koeffisienten i er 1, der betegner -th Bernoulli-tallet . Vurder koeffisienten til i produktet ${\ displaystyle x ^ {n}}$ ${\ displaystyle Q (x) ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle B_ {i}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle x ^ {j}}$

{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {m} Q (\ beta _ {i} x) \}

for noen . Dette er symmetrisk i s og homogent i vekt : så kan uttrykkes som et polynom i de elementære symmetriske funksjonene til s. Deretter definerer Todd polynomer : de danner en multiplikativ sekvens med som karakteristisk potensrekke. ${\ displaystyle m> j}$ ${\ displaystyle \ beta _ {i}}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle \ operatorname {td} _ {j} (p_ {1}, \ ldots, p_ {j})}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ beta _ {i}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {td} _ {j}}$ ${\ displaystyle Q}$

Hvis har det som sine Chern-røtter , så er Todd-klassen ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$

{\ displaystyle \ operatorname {td} (E) = \ prod Q (\ alpha _ {i})}

som skal beregnes i kohomologiringen til (eller når den er ferdig hvis man vil vurdere uendelig-dimensjonale manifolder). ${\ displaystyle X}$

Todd-klassen kan gis eksplisitt som en formell maktserie i Chern-klassene som følger:

{\ displaystyle \ operatorname {td} (E) = 1 + {\ frac {c_ {1}} {2}} + {\ frac {c_ {1} ^ {2} + c_ {2}} {12}} + {\ frac {c_ {1} c_ {2}} {24}} + {\ frac {-c_ {1} ^ {4} + 4c_ {1} ^ {2} c_ {2} + c_ {1} c_ {3} + 3c_ {2} ^ {2} -c_ {4}} {720}} + \ cdots}

der kohomologikursene er Chern-klassene til , og ligger i kohomologigruppen . Hvis det er endedimensjonalt, forsvinner de fleste termer og er et polynom i Chern-klassene. ${\ displaystyle c_ {i}}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle H ^ {2i} (X)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {td} (E)}$

Egenskaper for Todd-klassen

Todd-klassen er multiplikativ:

{\ displaystyle \ operatorname {td} (E \ oplus F) = \ operatorname {td} (E) \ cdot \ operatorname {td} (F).}

La være den grunnleggende klassen til hyperplan-delen. Fra multiplikativitet og Eulers eksakte sekvens for den tangente bunten av ${\ displaystyle \ xi \ i H ^ {2} ({\ mathbb {C}} P ^ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {C}} P ^ {n}}$

{\ displaystyle 0 \ til {\ mathcal {O}} \ til {\ mathcal {O}} (1) ^ {n + 1} \ til T {\ mathbb {C}} P ^ {n} \ til 0, }

en oppnår

{\ displaystyle \ operatorname {td} (T {\ mathbb {C}} P ^ {n}) = \ left ({\ dfrac {\ xi} {1-e ^ {- \ xi}}} \ right) ^ {n + 1}.}

Beregninger av Todd Class

For enhver algebraisk kurve er Todd-klassen rettferdig . Siden det er prosjektivt, kan det bygges inn i noen, og vi kan finne det ved å bruke den normale sekvensen ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ operatorname {td} (X) = 1 + c_ {1} (T_ {X})}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle c_ {1} (T_ {X})}$

${\ displaystyle 0 \ til T_ {X} \ til T _ {\ mathbb {P}} ^ {n} | _ {X} \ til N_ {X / \ mathbb {P} ^ {n}} \ til 0}$

og egenskaper til cherneklasser. For eksempel, hvis vi har en gradeplankurve i , finner vi den totale kjerneklassen er ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} c (T_ {C}) & = {\ frac {c (T _ {\ mathbb {P} ^ {2}} | _ {C})} {c (N_ {C / \ mathbb {P} ^ {2}})}} \\ & = {\ frac {1 + 3 [H]} {1 + d [H]}} \\ & = (1 + 3 [H]) ( 1-d [H]) \\ & = 1+ (3-d) [H] \ end {justert}}}$