Likebent trapes - Isosceles trapezoid

Likebenet trapes
Likebenet trapes med symmetriakse
Type	firkant , trapes
Kanter og hjørner	4
Symmetri gruppe	Dih 2 , [], (*), rekkefølge 2
Dobbel polygon	Drage
Egenskaper	konveks , syklisk

I euklidisk geometri er et likebent trapes ( isosceles trapezium på britisk engelsk ) en konveks firkant med en symmetri linje som deler ett par motsatte sider. Det er et spesielt tilfelle av en trapes . Alternativt kan den defineres som en trapes der begge ben og begge grunnvinkler har samme mål. Vær oppmerksom på at et ikke-rektangulært parallellogram ikke er et likebent trapesformet grunn av den andre tilstanden, eller fordi den ikke har noen symmetri. I enhver likebenet trapes er to motsatte sider (basene) parallelle , og de to andre sidene (beina) er like lange (egenskaper deles med parallellogrammet ). Diagonalene er også like lange. Grunnvinklene til et likbenet trapesform er like i mål (det er faktisk to par like grunnvinkler, hvor den ene grunnvinkelen er tilleggsvinkelen til en grunnvinkel ved den andre basen).

Spesielle tilfeller

Rektangler og firkanter blir vanligvis ansett for å være spesielle tilfeller av likebent trapes, selv om noen kilder vil utelukke dem.

Et annet spesialtilfelle er en 3- sidig sidetrapez , noen ganger kjent som en trilateral trapezoid eller en trisosceles trapezoid . De kan også sees dissekert fra vanlige polygoner på 5 sider eller mer som en avkortning av 4 sekvensielle hjørner.

Selvkryss

Enhver ikke-selvkryssende firkant med nøyaktig en symmetriakse må enten være en likebent trapes eller en drage . Men hvis kryssinger er tillatt, må settet med symmetriske firkanter utvides til også å omfatte de kryssede likebenede trapesene, kryssede firkanter der de kryssede sidene er like lange og de andre sidene er parallelle, og antiparallelogrammene , kryssede firkanter der motsatte sidene er like lange.

Hvert antiparallelogram har et likebent trapesformet som sitt konvekse skrog , og kan dannes av diagonaler og ikke-parallelle sider av et likebent trapes.

Konveks likebent trapes	Krysset likeben trapes	antiparallelogram

Karakteriseringer

Hvis en firkant er kjent for å være en trapes , er det ikke tilstrekkelig å bare kontrollere at beina har samme lengde for å vite at det er et likbenet trapes, siden en rombe er et spesielt tilfelle av en trapes med ben av like lengde , men er ikke en likebent trapes da den mangler en symmetri linje gjennom midtpunktene på motsatte sider.

En av de følgende egenskapene skiller en likebent trapes fra andre trapes:

• Diagonalene har samme lengde.
• Basevinklene har samme mål.
• Segmentet som forbinder midtpunktene til parallelle sider er vinkelrett på dem.
• Motsatte vinkler er supplerende, noe som igjen innebærer at likebent trapes er sykliske firkanter .
• Diagonalene deler hverandre i segmenter med lengder som er parvis like; når det gjelder bildet nedenfor, AE = DE , BE = CE (og AE ≠ CE hvis man ønsker å ekskludere rektangler).

Vinkler

I en likebent trapes har grunnvinklene samme mål parvis. På bildet nedenfor, vinkler ∠ ABC og ∠ DCB er stumpe vinkler av samme mål, mens vinkler ∠ BAD og ∠ CDA er spisse vinkler , også av samme tiltaket.

Siden linjene AD og BC er parallelle, er vinkler ved siden av motsatte baser supplerende , det vil si vinkler ∠ ABC + ∠ BAD = 180 °.

Diagonaler og høyde

De diagonaler som en likebenet trapes har samme lengde; det vil si at hver likebeint trapes er en equidiagonal firkant . Dessuten deler diagonalene hverandre i samme proporsjoner. Som vist har diagonalene AC og BD samme lengde ( AC = BD ) og deler hverandre i segmenter av samme lengde ( AE = DE og BE = CE ).

Den Forholdet hvori hver diagonal er oppdelt er lik forholdet mellom lengdene av de parallelle sider for at de krysser hverandre, det vil

${\ displaystyle {\ frac {AE} {EC}} = {\ frac {DE} {EB}} = {\ frac {AD} {BC}}.}$

Lengden på hver diagonal er ifølge Ptolemaios teorem gitt av

${\ displaystyle p = {\ sqrt {ab+c^{2}}}}$

hvor a og b er lengden på parallelsidene AD og BC , og c er lengden på hvert ben AB og CD .

Høyden er ifølge Pythagoras teorem gitt av

${\ displaystyle h = {\ sqrt {p^{2}-\ left ({\ frac {a+b} {2}} \ right)^{2}}} = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {4c^{2}-(ab)^{2}}}.}$

Avstanden fra punkt E til base AD er gitt av

${\ displaystyle d = {\ frac {ah} {a+b}}}$

hvor a og b er lengden på parallelsidene AD og BC , og h er trapezoidens høyde.

Område

Arealet til en likbenet (eller hvilken som helst) trapezform er lik gjennomsnittet av lengden på basen og toppen ( parallelle sider ) ganger høyden. I det tilstøtende diagrammet, hvis vi skriver AD = a , og BC = b , og høyden h er lengden på et linjestykke mellom AD og BC som er vinkelrett på dem, så er området K gitt som følger:

${\ displaystyle K = {\ frac {h} {2}} \ venstre (a+b \ høyre).}$

Hvis stedet for høyden på trapezoid, den vanlige lengden på bena AB = CD = c er kjent, kan området beregnes ved hjelp av Brahmaguptas formel for arealet til en syklisk firkant, som med to sider er like forenkler til

${\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc)^{2}}},}$

-hvor er halvperimeteren til trapes. Denne formelen er analog med Herons formel for å beregne arealet av en trekant. Den forrige formelen for område kan også skrives som ${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a+b+2c)}$

${\ displaystyle K = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a+b)^{2} (a-b+2c) (b-a+2c)}}.}$

Circumradius

Radiusen i den omskrevne sirkelen er gitt av

${\ displaystyle R = c {\ sqrt {\ frac {ab+c^{2}} {4c^{2}-(ab)^{2}}}}.}$

I et rektangel der a = b er dette forenklet til . ${\ displaystyle R = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {a^{2}+c^{2}}}}$

Se også

• Likebenet tangentiell trapez

Referanser

Eksterne linker

• Noen ingeniørformler som involverer likebent trapes