L ^p plass - L^p space

I matematikk , de L ^p mellomrom er funksjon mellomrom som er definert ved hjelp av en naturlig generalisering av p -norm for endelig-dimensjonale vektorrom . De kalles noen ganger Lebesgue -rom , oppkalt etter Henri Lebesgue ( Dunford & Schwartz 1958 , III.3), selv om de ifølge Bourbaki -gruppen ( Bourbaki 1987 ) først ble introdusert av Frigyes Riesz ( Riesz 1910 ). L ^p mellomrom danner en viktig klasse Banach mellomrom ifunksjonell analyse , og av topologiske vektorrom . På grunn av sin nøkkelrolle i den matematiske analysen av mål og sannsynlighetsrom, brukes Lebesgue -rom også i den teoretiske diskusjonen om problemer innen fysikk, statistikk, økonomi, ingeniørfag og andre disipliner.

applikasjoner

Statistikk

I statistikk er mål på sentral tendens og statistisk spredning , som gjennomsnitt , median og standardavvik , definert i form av L ^p -metrikk, og mål på sentral tendens kan karakteriseres som løsninger på variasjonsproblemer .

I straffet regresjon refererer "L1 -straff" og "L2 -straff" til å straffe enten L ¹ -normen for en løsnings vektor av parameterverdier (dvs. summen av dens absolutte verdier), eller dens L ² -norm (dens euklidiske lengde ). Teknikker som bruker en L1 -straff , som LASSO , oppmuntrer til løsninger der mange parametere er null. Teknikker som bruker en L2 -straff, som ryggeregresjon , oppmuntrer til løsninger der de fleste parameterverdiene er små. Elastisk nettregularisering bruker et straffetegn som er en kombinasjon av L ¹ -normen og L ² -normen til parametervektoren.

Hausdorff - Ung ulikhet

Den Fourier-transformasjonen til den reelle linje (eller, for periodiske funksjoner , se Fourier-serie ), tilordner L ^p ( R ) til L- ^Q ( R ) (eller L- ^p ( t ) til ℓ ^q ) henholdsvis, hvor en ≤ p ≤ 2 og 1/s + 1/q= 1 . Dette er en konsekvens av Riesz - Thorin interpolasjonsteoremet , og blir presisert med Hausdorff - Young -ulikheten .

Derimot, hvis p > 2 , kartlegger ikke Fourier -transformasjonen til L ^q .

Hilbert mellomrom

Hilbertrom er sentrale for mange bruksområder, fra kvantemekanikk til stokastisk beregning . Mellomrommene L ² og ℓ ² er begge Hilbert -mellomrom. Faktisk, ved å velge et Hilbert -grunnlag (dvs. en maksimal ortonormal delmengde av L ² eller et hvilket som helst Hilbert -rom), ser man at alle Hilbert -mellomrom er isometriske til ℓ ² ( E ) , hvor E er et sett med en passende kardinalitet.

Den p -norm i endelige dimensjoner

Lengden av en vektor x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) i det n -dimensjonale reelle vektorrommet R ⁿ er vanligvis gitt ved den euklidske norm :

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {2} = \ left ({x_ {1}}^{2}+{x_ {2}}^{2}+\ dotsb+{x_ {n} }^{2} \ høyre)^{1/2}.}$

Den euklidiske avstanden mellom to punkter x og y er lengden || x - y || ₂ på den rette linjen mellom de to punktene. I mange situasjoner er den euklidiske avstanden utilstrekkelig for å fange de faktiske avstandene i et gitt rom. En analogi til dette foreslås av drosjesjåfører i et rutenettplan som ikke bør måle avstanden i forhold til lengden på den rette linjen til destinasjonen, men når det gjelder den rettlinjede avstanden , som tar hensyn til at gatene enten er ortogonale eller parallelt med hverandre. Klassen p -normer generaliserer disse to eksemplene og har en overflod av applikasjoner i mange deler av matematikk , fysikk og informatikk .

Definisjon

For et reelt tall p ≥ 1 er p -norm eller L ^p -norm på x definert av

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} |^{p}+| x_ {2} |^{p}+\ dotsb+| x_ {n} |^{p} \ høyre)^{1/s}.}$

De absolutte verdistolpene er unødvendige når p er et rasjonelt tall og i redusert form har en jevn teller.

Den euklidiske normen ovenfra faller inn i denne klassen og er 2 -normen, og 1 -normen er normen som tilsvarer den rettlinjede avstanden .

Den L ^∞ -norm eller maksimum norm (eller uniform norm) er grensen for L ^p -norms for p → ∞ . Det viser seg at denne grensen tilsvarer følgende definisjon:

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {\ infty} = \ max \ left \ {| x_ {1} |, | x_ {2} |, \ dotsc, | x_ {n} | \ right \ }}$

Se L -uendelig .

For alle p ≥ 1 , er p -norms og maksimal norm som definert ovenfor høyst tilfredsstillende egenskapene til en "lengde-funksjon" (eller norm ), som er at:

• bare nullvektoren har null lengde,
• lengden på vektoren er positiv homogen med hensyn til multiplikasjon med en skalar ( positiv homogenitet ), og
• lengden på summen av to vektorer er ikke større enn summen av vektene ( triangel ulikhet ).

Abstrakt sett betyr dette at R ⁿ sammen med p -norm er et Banach -rom . Dette Banach -rommet er L ^p -rommet over R ⁿ .

Forholdet mellom p -normer

Nettavstanden eller den rettlinjede avstanden (noen ganger kalt " Manhattan -avstanden ") mellom to punkter er aldri kortere enn lengden på linjesegmentet mellom dem (den euklidiske eller "i luftlinje" -avstanden). Formelt betyr dette at den euklidiske normen for en hvilken som helst vektor er begrenset av dens 1-norm:

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {2} \ leq \ left \ | x \ right \ | _ {1}.}$

Dette faktum generaliserer til p -normer ved at p -normen || x || _p av en gitt vektor x vokser ikke med p :

|| x || _{p + a} ≤ || x || _p for alle vektorer x og reelle tall p ≥ 1 og a ≥ 0 . (Faktisk er dette sant for 0 < p <1 og a ≥ 0. )

For motsatt retning er følgende forhold mellom 1 -norm og 2 -norm kjent:

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {1} \ leq {\ sqrt {n}} \ left \ | x \ right \ | _ {2}.}$

Denne ulikheten avhenger av dimensjonen n til det underliggende vektorrommet og følger direkte fra Cauchy - Schwarz -ulikheten .

Generelt for vektorer i C ⁿ hvor 0 < r < p :

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {p} \ leq \ left \ | x \ right \ | _ {r} \ leq n^{{\ frac {1} {r}}-{\ frac {1} {p}}} \ venstre \ | x \ høyre \ | _ {p}.}$

Dette er en konsekvens av Hölders ulikhet .

Når 0 < p <1

I R ⁿ for n > 1 , formelen

${\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} |^{p}+| x_ {2} |^{p}+\ cdots+| x_ {n} |^{p } \ høyre)^{1/s}}$

definerer en absolutt homogen funksjon for 0 < p <1 ; den resulterende funksjonen definerer imidlertid ikke en norm, fordi den ikke er subadditiv . På den annen side, formelen

${\ displaystyle | x_ {1} |^{p}+| x_ {2} |^{p}+\ dotsb+| x_ {n} |^{p}}$

definerer en subadditiv funksjon på bekostning av å miste absolutt homogenitet. Det definerer imidlertid en F-norm , som er homogen av grad p .

Derfor funksjonen

${\ displaystyle d_ {p} (x, y) = \ sum _ {i = 1}^{n} | x_ {i} -y_ {i} |^{p}}$

definerer en beregning . Det metriske rommet ( R ⁿ , d _p ) er angitt med ℓ _n ^p .

Selv om p- -unit ballen B _n ^p rundt origo i denne beregningen er "konkav", topologien definert for R ⁿ etter beregningen d _p er vanlig vektorrommet topologien av R ⁿ , derav ℓ _n ^p er en lokalt konveks topologisk vektorrom. Utover denne kvalitative uttalelsen er en kvantitativ måte å måle mangelen på konveksitet av ℓ _n ^p å markere med C _p ( n ) den minste konstanten C slik at multiple C B _n ^p av p -enhetskulen inneholder det konvekse skroget av B _n ^p , lik B _n ¹ . Det faktum at for fast p <1 har vi

${\ displaystyle C_ {p} (n) = n^{{\ frac {1} {p}}-1} \ to \ infty, \ quad {\ text {as}} n \ to \ infty}$

viser at det uendelige dimensjonale sekvensrommet ℓ ^p definert nedenfor, ikke lenger er lokalt konveks.

Når p = 0

Det er en ℓ ₀ -norm og en annen funksjon som kalles ℓ ₀ "normen" (med anførselstegn).

Den matematiske definisjonen av ℓ ₀ -normen ble etablert av Banach 's Theory of Linear Operations . Den plass av sekvenser har en komplett metrisk topologi gitt av F-norm

${\ displaystyle (x_ {n}) \ mapsto \ sum _ {n} 2^{-n} {\ frac {| x_ {n} |} {1+ | x_ {n} |}},}$

som diskuteres av Stefan Rolewicz i Metric Linear Spaces . Den ℓ ₀ -normed plass er studert i funksjonell analyse, sannsynlighetsteori, og harmonisk analyse.

En annen funksjon ble kalt ℓ ₀ "norm" av David Donoho- hvis anførselstegn advarer om at denne funksjonen ikke er en skikkelig norm-er antallet ikke-null oppføringer i vektoren x . Mange forfattere misbruker terminologi ved å utelate anførselstegn. Ved å definere 0 ⁰ = 0 er null "norm" for x lik

${\ displaystyle | x_ {1} |^{0}+| x_ {2} |^{0}+\ cdots+| x_ {n} |^{0}.}$

Dette er ikke en norm fordi det ikke er homogent . For eksempel, endring av vektoren x med en positiv konstant endrer ikke "normen". Til tross for disse defektene som en matematisk norm, har "normen" som ikke teller, bruk i vitenskapelig databehandling , informasjonsteori og statistikk- særlig i komprimert sensing i signalbehandling og beregningsmessig harmonisk analyse . Til tross for at det ikke er en norm, er den tilhørende metriken, kjent som Hamming -avstand , en gyldig avstand, siden homogenitet ikke er nødvendig for avstander.

Den p -norm i uendelige dimensjoner og ℓ ^p områder

Sekvensen plass ℓ ^p

Den p -norm kan utvides til vektorer som har et uendelig antall av komponentene ( sekvenser ), som gir den plass ℓ ^p . Dette inneholder som spesielle tilfeller:

• ℓ ¹ , plassen av sekvenser hvis serie er absolutt konvergent ,
• ℓ ² , plassen til kvadratiske summerbare sekvenser, som er et Hilbert-mellomrom , og
• ℓ ^∞ , plassen til begrensede sekvenser .

Plassen av sekvenser har en naturlig vektorromstruktur ved å bruke addisjon og skalarmultiplikasjon koordinat for koordinat. Eksplisitt er vektorsummen og skalarvirkningen for uendelige sekvenser av virkelige (eller komplekse ) tall gitt av:

${\ displaystyle {\ begynne {justert} & (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, x_ {n+1}, \ ldots)+(y_ {1}, y_ {2} , \ ldots, y_ {n}, y_ {n+1}, \ ldots) \\ = {} & (x_ {1}+y_ {1}, x_ {2}+y_ {2}, \ ldots, x_ {n}+y_ {n}, x_ {n+1}+y_ {n+1}, \ ldots), \\ [6pt] & \ lambda \ cdot \ venstre (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, x_ {n+1}, \ ldots \ right) \\ = {} & (\ lambda x_ {1}, \ lambda x_ {2}, \ ldots, \ lambda x_ {n} , \ lambda x_ {n+1}, \ ldots). \ ende {justert}}}$

Definer p -norm:

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} |^{p}+| x_ {2} |^{p}+\ cdots+| x_ {n} |^{p}+| x_ {n+1} |^{p}+\ cdots \ right)^{1/p}}$

Her oppstår en komplikasjon, nemlig at serien til høyre ikke alltid er konvergent, så for eksempel vil sekvensen som består av bare en, (1, 1, 1, ...) , ha en uendelig p -norm for 1 ≤ p <∞ . Mellomrom ℓ ^p blir deretter definert som settet med alle uendelige sekvenser av virkelige (eller komplekse) tall slik at p -normen er endelig.

Man kan kontrollere at når p øker, blir settet ℓ ^p større. For eksempel sekvensen

${\ displaystyle \ left (1, {\ frac {1} {2}}, \ ldots, {\ frac {1} {n}}, {\ frac {1} {n+1}}, \ ldots \ right )}}$

er ikke i ℓ ¹ , men det er in ℓ ^p for p > 1 , som serien

${\ displaystyle 1^{p}+{\ frac {1} {2^{p}}}+\ cdots+{\ frac {1} {n^{p}}}+{\ frac {1} {( n+1)^{p}}}+\ cdots,}$

divergerer for p = 1 (den harmoniske serien ), men er konvergent for p > 1 .

Man definerer også ∞ -normen ved å bruke supremum :

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {\ infty} = \ sup (| x_ {1} |, | x_ {2} |, \ dotsc, | x_ {n} |, | x_ {n+ 1} |, \ ldots)}$

og den tilsvarende plass pl ^{∞ for} alle bundne sekvenser. Det viser seg at

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {\ infty} = \ lim _ {p \ to \ infty} \ left \ | x \ right \ | _ {p}}$

hvis høyre side er begrenset, eller venstre side er uendelig. Dermed vil vi vurdere ℓ ^p mellomrom for 1 ≤ p ≤ ∞ .

Den p -norm således definert på ℓ ^p er faktisk en norm, og ℓ ^p sammen med denne norm er en Banachrom . Den fullt generelle L ^p rom oppnås-som vist nedenfor ved å betrakte-vektorer, ikke bare med finitely eller countably-uendelig mange komponenter, men med " vilkårlig mange komponenter "; med andre ord funksjoner . En integral i stedet for en sum brukes til å definere p -norm.

Generelt ℓ ^p -rom

I fullstendig analogi med den foregående definisjonen kan man definere mellomrommet over et generelt indekssett (og ) som ${\ displaystyle \ ell ^{p} (I)}$ ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$

${\ displaystyle \ ell ^{p} (I) = \ left \ {(x_ {i}) _ {i \ in I} \ in \ mathbb {K} ^{I}: \ sum _ {i \ in I } | x_ {i} |^{p} <\ infty \ right \} \,}$,

der konvergens til høyre betyr at bare utallige mange summen er null (se også Ubetinget konvergens ). Med normen

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {p} = \ left (\ sum _ {i \ in I} | x_ {i} |^{p} \ right)^{1/p}}$

plassen blir et Banach -rom. I tilfellet hvor det er begrenset med elementer, gir denne konstruksjonen R ⁿ med -norm definert ovenfor. Hvis det er uendelig, er dette nøyaktig sekvensrommet definert ovenfor. For utallige sett er dette et ikke -separerbart Banach -rom som kan sees på som den lokalt konvekse direkte grensen for sekvensrom. ${\ displaystyle \ ell ^{p} (I)}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ ell ^{p}}$${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle \ ell ^{p}}$

Indekssettet kan gjøres om til et målrom ved å gi det den diskrete σ-algebraen og tellemålet . Da er plassen bare et spesielt tilfelle av det mer generelle rommet (se nedenfor). ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ ell ^{p} (I)}$${\ displaystyle L^{p}}$

L ^p mellomrom og Lebesgue integraler

Et Lp ^-rom kan defineres som et mellomrom av målbare funksjoner som -th -kraften til den absolutte verdien er Lebesgue -integrerbar , der funksjoner som er enige nesten overalt, identifiseres. Mer generelt, la 1 ≤ p <∞ og ( S , Σ, μ ) være et målrom . Tenk på settet med alle målbare funksjoner fra S til C eller R hvis absolutte verdi hevet til p -effekt har en endelig integral, eller tilsvarende, at ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ | f \ | _ {p} \ equiv \ left (\ int _ {S} | f |^{p} \; \ mathrm {d} \ mu \ right)^{1/p} <\ infty}$

Settet med slike funksjoner danner et vektorrom , med følgende naturlige operasjoner:

${\ displaystyle {\ begynne {justert} (f+g) (x) & = f (x)+g (x), \\ (\ lambda f) (x) & = \ lambda f (x) \ end { justert}}}$

for hver skalar λ .

At summen av to p -t integrerte funksjoner igjen er p -t makt integrerbar følger av ulikheten

${\ displaystyle \ | f+g \ | _ {p}^{p} \ leq 2^{p-1} \ venstre (\ | f \ | _ {p}^{p}+\ | g \ | _ {p}^{p} \ høyre).}$

(Dette kommer fra konveksiteten til for .) ${\ displaystyle t \ mapsto t^{p}}$${\ displaystyle p \ geq 1}$

Faktisk er mer sant. Minkowskis ulikhet sier at trekanten ulikhet holder for || · || _s . Dermed settet med p -t effekt integrerbare funksjoner, sammen med funksjonen || · || _p , er et seminormert vektorrom, som er betegnet med . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}^{p} (S, \, \ mu)}$

For p = ∞ , plassen er rommet av målbare funksjoner avgrenset nesten overalt, med den vesentlige supremum av dets absoluttverdi som norm: ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}^{\ infty} (S, \ mu)}$

${\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} \ equiv \ inf \ {C \ geq 0: | f (x) | \ leq C {\ text {for nesten alle}} x \}.}$

Som i det diskrete tilfellet, hvis det eksisterer q <∞ slik at f   ∈ L ^∞ ( S , μ ) ∩ L ^q ( S , μ ) , så  

${\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ lim _ {p \ to \ infty} \ | f \ | _ {p}.}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}}^{p} (S, \, \ mu)}$kan gjøres til et normert vektorrom på en standard måte; man tar ganske enkelt kvoterommet med hensyn til kjernen til || · || _s . Siden for enhver målbar funksjon f , har vi det || f  || _p = 0 hvis og bare hvis f   = 0 nesten overalt , kjernen til || · || _p er ikke avhengig av p ,    

${\ displaystyle {\ mathcal {N}} \ equiv \ {f: f = 0 \ \ mu {\ text {-nesten overalt}} \} = \ ker (\ | \ cdot \ | _ {p}) \ qquad \ forall \ 1 \ leq p <\ infty}$

I kvotrommet identifiseres to funksjoner f og g hvis f   = g nesten overalt. Det resulterende normerte vektorrommet er per definisjon    

${\ displaystyle L^{p} (S, \ mu) \ equiv {\ mathcal {L}}^{p} (S, \ mu)/{\ mathcal {N}}}$

Generelt kan denne prosessen ikke reverseres: det er ingen konsekvent måte å definere en "kanonisk" representant for hver coset av in . For det er imidlertid en teori om heiser som muliggjør slik gjenoppretting. ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle L^{p}}$${\ displaystyle L^{\ infty}}$

Når det underliggende målerommet S forstås, blir L ^p ( S , μ ) ofte forkortet L ^p ( μ ) , eller bare L ^p .

For 1 ≤ p ≤ ∞ er L ^p ( S , μ ) et banachrom . Det faktum at L ^p er komplett, blir ofte referert til som Riesz-Fischer-setningen , og kan bevises ved bruk av konvergenssetninger for Lebesgue-integraler .

Definisjonene ovenfor generaliserer til Bochner -mellomrom .

Spesielle tilfeller

I likhet med ℓ ^p -mellomrom er L ² den eneste Hilbert -plassen blant L ^p -mellomrom. I det komplekse tilfellet er det indre produktet på L ² definert av

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {S} f (x) {\ overline {g (x)}} \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

Den ekstra indre produktstrukturen gir rom for en rikere teori, med applikasjoner til for eksempel Fourier -serier og kvantemekanikk . Funksjoner i L ² kalles noen ganger kvadratisk ikke-integrerbare funksjoner , kvadratisk-integrerbare funksjoner eller kvadrat-summable funksjoner , men noen ganger er disse begrepene forbeholdt funksjoner som er kvadratintegrerbare i en annen forstand, for eksempel i betydningen av et Riemann-integral ( Titchmarsh 1976 ).

Hvis vi bruker komplekse verdifunksjoner, er mellomrommet L ^∞ en kommutativ C*-algebra med punktvis multiplikasjon og konjugering. For mange målerom, inkludert alle sigma-endelige, er det faktisk en kommutativ von Neumann-algebra . Et element av L ^∞ definerer en avgrenset operator på et hvilket som helst L ^p -rom ved multiplikasjon .

For en ≤ p ≤ ∞ den ℓ ^p mellomrom er et spesialtilfelle av L ^p mellomrom, når S = N , og μ er den telle mål på N . Mer generelt hvis man betrakter et sett S med telle tiltak, den resulterende L ^p er plass betegnet ℓ ^p ( S ) . For eksempel er mellomrommet ℓ ^p ( Z ) mellomrommet for alle sekvenser indeksert av heltallene, og når du definerer p -normen på et slikt mellomrom, summerer du over alle heltallene. Plassen ℓ ^p ( n ) , hvor n er settet med n elementer, er R ⁿ med sin p -norm som definert ovenfor. Som ethvert Hilbert -rom er hvert mellomrom L ² lineært isometrisk til et passende ℓ ² ( I ) , hvor kardinaliteten til settet I er kardinaliteten til et vilkårlig Hilbert -grunnlag for denne spesielle L ² .

Egenskaper for L ^p mellomrom

Doble mellomrom

Den doble plass (den Banachrom alle kontinuerlige lineære functionals) av L ^p ( μ ) for 1 < p <∞ har en naturlig isomorfi med L ^q ( μ ) , hvor q er slik at 1/s + 1/q= 1 (dvs. q =s/p - 1). Denne isomorfismen forbinder g ∈ L ^q ( μ ) med den funksjonelle κ _p ( g ) ∈ L ^p ( μ ) ^∗ definert av

${\ displaystyle f \ mapsto \ kappa _ {p} (g) (f) = \ int fg \, \ mathrm {d} \ mu \}$ for hver ${\ displaystyle f \ i L^{p} (\ mu)}$

Det faktum at κ _p ( g ) er veldefinert og kontinuerlig følger av Hölders ulikhet . κ _p  : L ^q ( μ ) → L ^p ( μ ) ^∗ er en lineær kartlegging som er en isometri av ekstremfallet av Hölders ulikhet. Det er også mulig å vise (for eksempel med Radon – Nikodym -setningen , se) at enhver G ∈ L ^p ( μ ) ^∗ kan uttrykkes på denne måten: dvs. at κ _p er på . Siden κ _p er på og isometrisk, er det en isomorfisme av Banach -mellomrom . Med denne (isometriske) isomorfismen i tankene er det vanlig å si ganske enkelt at L ^q er det doble Banach -rommet til L ^p .

For 1 < p <∞ , avstanden L ^p ( μ ) er refleksiv . La κ _p være som ovenfor og la κ _q  : L ^p ( μ ) → L ^q ( μ ) ^∗ være den tilsvarende lineære isometrien. Vurder kartet fra L ^p ( μ ) til L ^p ( μ ) ^∗∗ , oppnådd ved å komponere κ _q med transponeringen (eller tilstøtende) av inversen av κ _p :

${\ displaystyle j_ {p}: L^{p} (\ mu) \ mathrel {\ overset {\ kappa _ {q}} {\ longrightarrow}} L^{q} (\ mu)^{*} \ mathrel {\ oversett {\ venstre (\ kappa _ {p}^{-1} \ høyre)^{*}} {\ longrightarrow}} L^{p} (\ mu)^{**}}$

Dette kartet sammenfaller med den kanoniske innebyggingen av J av L ^p ( μ ) i sin tokant. Videre er kartet j _p på, som sammensetning av to på isometrier, og dette beviser refleksivitet.

Hvis målingen μ på S er sigma-endelig , er dual av L ¹ ( μ ) isometrisk isomorf til L ^∞ ( μ ) (mer presist, kartet κ _{1 som} tilsvarer p = 1 er en isometri fra L ^∞ ( μ ) på L ¹ ( μ ) ^∗ ).

Dualen til L ^∞ er subtilere. Elementer av L ^∞ ( μ ) ^∗ kan identifiseres med begrensede signerte endelig additive tiltak på S som er absolutt kontinuerlige med hensyn til μ . Se ba space for flere detaljer. Hvis vi antar aksiomet til valget, er dette rommet mye større enn L ¹ ( μ ) bortsett fra i noen trivielle tilfeller. Imidlertid beviste Saharon Shelah at det er relativt konsekvente utvidelser av Zermelo - Fraenkel -setteteorien (ZF + DC + "Hver delmengde av de reelle tallene har Baire -egenskapen ") der dobbelten av ℓ ^∞ er ℓ ¹ .

Innebygd

Til daglig, hvis 1 ≤ p < q ≤ ∞ , inneholder L ^p ( S , μ ) funksjoner som er mer lokalt entall, mens elementer av L ^q ( S , μ ) kan spres mer. Tenk på Lebesgue -målet på halvlinjen (0, ∞) . En kontinuerlig funksjon i L ¹ kan sprenge nær 0, men må forfalle tilstrekkelig raskt mot uendelig. På den annen side, kontinuerlige funksjoner i L ^∞ trenger ikke råtner i det hele tatt, men ingen slag-up er tillatt. Det nøyaktige tekniske resultatet er følgende. Anta at 0 < p < q ≤ ∞ . Deretter:

1. L ^q ( S , μ ) ⊂ L ^p ( S , μ ) iff S inneholder ikke sett med begrenset, men vilkårlig stort mål, og
2. L ^p ( S , μ ) ⊂ L ^q ( S , μ ) iff S inneholder ikke sett med ikke-null, men vilkårlig lite mål.

Ingen av betingelsene gjelder for den virkelige linjen med Lebesgue -tiltaket. I begge tilfeller er innbyggingen kontinuerlig, ved at identitetsoperatoren er et begrenset lineært kart fra L ^q til L ^p i det første tilfellet, og L ^p til L ^q i det andre. (Dette er en konsekvens av den lukkede grafsetningen og egenskapene til L ^p -mellomrom.) Hvis domenet S har et endelig mål, kan man faktisk gjøre følgende eksplisitte beregning ved å bruke Hölders ulikhet

${\ displaystyle \ \ | \ mathbf {1} f^{p} \ | _ {1} \ leq \ | \ mathbf {1} \ | _ {q/(qp)} \ | f^{p} \ | _ {q/p}}$

fører til

${\ displaystyle \ \ | f \ | _ {p} \ leq \ mu (S)^{1/p-1/q} \ | f \ | _ {q}}$.

Konstanten som vises i ulikheten ovenfor er optimal, i den forstand at operatørnormen for identiteten I  : L ^q ( S , μ ) → L ^p ( S , μ ) er nøyaktig

${\ displaystyle \ | I \ | _ {q, p} = \ mu (S)^{1/p-1/q}}$

når likhet oppnås nøyaktig når f   = 1 μ -nesten overalt.  

Tette underrom

Gjennom denne delen antar vi at: 1 ≤ p <∞ .

La ( S , Σ, μ ) være et målrom. En integrerbar enkel funksjon f på S er en av formene   

${\ displaystyle f = \ sum _ {j = 1}^{n} a_ {j} \ mathbf {1} _ {A_ {j}}}$

hvor a _j er skalar, har A _j ∈ Σ begrenset mål og er indikatorfunksjonen til settet , for j = 1, ..., n . Ved konstruksjon av integralet er vektorrommet for integrerbare enkle funksjoner tett i L ^p ( S , Σ, μ ) . ${\ displaystyle {\ mathbf {1}} _ {A_ {j}}}$${\ displaystyle A_ {j}}$

Mer kan sies når S er et normalt topologisk rom og Σ dets Borel σ –algebra , dvs. den minste σ –algebraen av undersett av S som inneholder de åpne settene .

Anta at V ⊂ S er et åpent sett med μ ( V ) <∞ . Det kan bevises at for hvert borelsett A ∈ Σ som finnes i V , og for hvert ε > 0 , finnes det et lukket sett F og et åpent sett U slik at

${\ displaystyle F \ delsett A \ delsett U \ delsett V \ quad {\ tekst {og}} \ quad \ mu (U)-\ mu (F) = \ mu (U \ setminus F) <\ varepsilon}$

Det følger at det eksisterer en kontinuerlig Urysohn -funksjon 0 ≤ φ ≤ 1 på S som er 1 på F og 0 på S ∖ U , med

${\ displaystyle \ int _ {S} | \ mathbf {1} _ {A}-\ varphi | \, \ mathrm {d} \ mu <\ varepsilon \.}$

Hvis S kan dekkes av en økende sekvens ( V _n ) av åpne sett som har begrenset mål, så er plassen for p –integrerbare kontinuerlige funksjoner tett i L ^p ( S , Σ, μ ) . Mer presist kan man bruke begrensede kontinuerlige funksjoner som forsvinner utenfor et av de åpne settene V _n .

Dette gjelder spesielt når S = R ^d og når μ er Lebesgue -målet. Plassen for kontinuerlige og kompakt støttede funksjoner er tett i L ^p ( R ^d ) . På samme måte er rommet med integrerbare trinnfunksjoner tett i L ^p ( R ^d ) ; dette rommet er det lineære spennet av indikatorfunksjoner for begrensede intervaller når d = 1 , av begrensede rektangler når d = 2 og mer generelt av produkter med begrensede intervaller.

Flere egenskaper for generelle funksjoner i L ^p ( R ^d ) er først bevist for kontinuerlige og kompakt støttede funksjoner (noen ganger for trinnfunksjoner), deretter utvidet med tetthet til alle funksjoner. For eksempel er det bevist at oversettelser er kontinuerlige på L ^p ( R ^d ) , i følgende betydning:

${\ displaystyle \ forall f \ in L ^{p} \ left (\ mathbf {R} ^{d} \ right): \ quad \ left \ | \ tau _ {t} ff \ right \ | _ {p} \ to 0, \ quad {\ text {as}} \ mathbf {R} ^{d} \ ni t \ to 0,}$

hvor

${\ displaystyle (\ tau _ {t} f) (x) = f (xt).}$

L ^p (0 < p <1)

La ( S , Σ, μ ) være et målrom. Hvis 0 < p <1 , kan L ^p ( μ ) defineres som ovenfor: det er vektorrommet til de målbare funksjonene f slik at   

${\ displaystyle N_ {p} (f) = \ int _ {S} | f |^{p} \, d \ mu <\ infty.}$

Som før kan vi introdusere p -norm || f  || _p = N _p (  f  ) ^{1/ p} , men || · || _p tilfredsstiller ikke ulikheten i trekanten i dette tilfellet, og definerer bare en kvasi-norm . Ulikheten ( a + b ) ^p ≤ a ^p + b ^p , gyldig for a , b ≥ 0 innebærer at ( Rudin 1991 , §1.47)

${\ displaystyle N_ {p} (f+g) \ leq N_ {p} (f)+N_ {p} (g)}$

og så funksjonen

${\ displaystyle d_ {p} (f, g) = N_ {p} (fg) = \ | fg \ | _ {p}^{p}}$

er en beregning på L ^p ( μ ) . Det resulterende metriske rommet er komplett ; verifiseringen ligner det kjente tilfellet når p ≥ 1 .

I denne innstillingen tilfredsstiller L ^p en omvendt Minkowski -ulikhet , det vil si for u , v i L ^s

${\ displaystyle {\ Big \ |} | u |+| v | {\ Big \ |} _ {p} \ geq \ | u \ | _ {p}+\ | v \ | _ {p}}$

Dette resultatet kan brukes til å bevise Clarksons ulikheter , som igjen brukes til å fastslå den ensartede konveksiteten til mellomrommene L ^p for 1 < p <∞ ( Adams & Fournier 2003 ).

Plassen L ^p for 0 < p <1 er et F-mellomrom : den innrømmer en fullstendig translasjon-invariant beregning for hvilken vektorromoperasjonene er kontinuerlige. Det er også lokalt avgrenset , omtrent som tilfellet p ≥ 1 . Det er det prototypiske eksemplet på et F-mellomrom som for de rimeligste målerommene ikke er lokalt konveks : i ℓ ^p eller L ^p ([0, 1]) er hvert åpent konveks sett som inneholder 0- funksjonen ubegrenset for p -kvasi-norm; derfor har ikke 0 -vektoren et grunnleggende system med konvekse nabolag. Nærmere bestemt er dette sant hvis målerommet S inneholder en uendelig familie av usammenhengbare målbare sett med endelig positivt mål.

Det eneste nonempty konvekse åpne settet i L ^p ([0, 1]) er hele rommet ( Rudin 1991 , §1.47). Som en spesiell konsekvens er det ingen ikke -null lineære funksjoner på L ^p ([0, 1]) : dobbeltrommet er nullrommet. Når det gjelder tellemålet på de naturlige tallene (som produserer sekvensrommet L ^p ( μ ) = ℓ ^p ), er de begrensede lineære funksjonene på ℓ ^p nøyaktig de som er begrenset til ℓ ¹ , nemlig de som er gitt av sekvenser i ℓ ^∞ . Selv om contain ^p inneholder ikke-trivielle konvekse åpne sett, klarer det ikke å ha nok av dem til å gi en base for topologien.

Situasjonen med å ikke ha lineære funksjoner er svært uønsket for analyseformål. Når det gjelder Lebesgue -mål på R ⁿ , i stedet for å jobbe med L ^p for 0 < p <1 , er det vanlig å jobbe med Hardy -rommet H ^p når det er mulig, da dette har ganske mange lineære funksjoner: nok til å skille poeng fra hverandre. Imidlertid Hahn-Banachs teorem fremdeles ikke i H ^p for p <1 ( Duren 1970 , §7.5).

L ⁰ , rommet til målbare funksjoner

Vektorrommet til (ekvivalensklasser av) målbare funksjoner på ( S , Σ, μ ) er betegnet L ⁰ ( S , Σ, μ ) ( Kalton, Peck & Roberts 1984 ). Per definisjon inneholder den alle L ^p , og er utstyrt med konvergens topologi i mål . Når μ er et sannsynlighetsmål (dvs. μ ( S ) = 1 ), kalles denne konvergensmåten konvergens i sannsynlighet .

Beskrivelsen er lettere når μ er begrenset. Hvis μ er et endelig mål på ( S , Σ) , innrømmer 0 -funksjonen for konvergens i mål følgende grunnleggende system for nabolag

${\ displaystyle V _ {\ varepsilon} = {\ Bigl \ {} f: \ mu {\ bigl (} \ {x: | f (x) |> \ varepsilon \} {\ bigr)} <\ varepsilon {\ Bigr \}}, \ qquad \ varepsilon> 0}$

Topologien kan defineres av en hvilken som helst metrisk d av skjemaet

${\ displaystyle d (f, g) = \ int _ {S} \ varphi {\ bigl (} | f (x) -g (x) | {\ bigr)} \, \ mathrm {d} \ mu (x )}$

hvor φ er avgrenset kontinuerlig konkav og ikke-reduserende på [0, ∞) , med φ (0) = 0 og φ ( t )> 0 når t > 0 (for eksempel φ ( t ) = min ( t , 1) ) . En slik metrikk kalles Lévy -metrisk for L ⁰ . Under denne metriken er mellomrommet L ⁰ komplett (det er igjen et F-mellomrom). Plassen L ⁰ er generelt ikke lokalt avgrenset, og ikke lokalt konveks.

For det uendelige Lebesgue -målet λ på R ⁿ , kan definisjonen av det grunnleggende systemet i nabolag endres som følger

${\ displaystyle W _ {\ varepsilon} = \ left \ {f: \ lambda \ left (\ left \ {x: | f (x) |> \ varepsilon {\ text {and}} | x | <{\ frac { 1} {\ varepsilon}} \ right \} \ right) <\ varepsilon \ right \}}$

Det resulterende rommet L ⁰ ( R ⁿ , λ ) sammenfaller som topologisk vektorrom med L ⁰ ( R ⁿ , g ( x ) d λ (x)) , for enhver positiv λ –integrerbar tetthet g .

Generaliseringer og utvidelser

Svak L ^s

La ( S , Σ , μ ) være et mål plass, og f en målbar funksjon med reelle eller komplekse verdier på S . Den fordelingsfunksjonen av f er definert for t ≥ 0 etter

${\ displaystyle \ lambda _ {f} (t) = \ mu \ venstre \ {x \ i S: | f (x) |> t \ høyre \}}$

Hvis f er i L ^p ( S , μ ) for noen p med 1 ≤ p <∞ , så ved Markovs ulikhet ,

${\ displaystyle \ lambda _ {f} (t) \ leq {\ frac {\ | f \ | _ {p}^{p}} {t^{p}}}}$

En funksjon f sies å være i rommet svak L ^p ( S , μ ) , eller L ^{p , w} ( S , μ ) , hvis det er en konstant C > 0 slik at for alle t > 0 ,

${\ displaystyle \ lambda _ {f} (t) \ leq {\ frac {C^{p}} {t^{p}}}}$

Den beste konstante C for denne ulikheten er L ^{p , w} -norm for f , og er betegnet med

${\ displaystyle \ | f \ | _ {p, w} = \ sup _ {t> 0} ~ t \ lambda _ {f}^{1/p} (t).}$

Den svake L ^p sammenfaller med Lorentz -mellomrommene L ^{p , ∞} , så denne notasjonen brukes også for å betegne dem.

The L ^{p , w} -norm er ikke en ekte norm, siden trekantulikheten ikke klarer å holde. Likevel, for f i L ^p ( S , μ ) ,

${\ displaystyle \ | f \ | _ {p, w} \ leq \ | f \ | _ {p}}$

og spesielt L ^p ( S , μ ) ⊂ L ^{p , w} ( S , μ ) .

Faktisk har man det

${\ displaystyle \ | f \ | _ {L^{p}}^{p} = \ int | f (x) |^{p} d \ mu (x) \ geq \ int _ {\ {| f ( x) |> t \}} t^{p}+\ int _ {\ {| f (x) | \ leq t \}} | f |^{p} \ geq t^{p} \ mu (\ {| f |> t \})}$,

og heve seg til makten 1/ p og ta overmakten i t man har

${\ displaystyle \ | f \ | _ {L^{p}} \ geq \ sup _ {t> 0} t \; \ mu (\ {| f |> t \})^{1/p} = \ | f \ | _ {L^{p, w}}.}$

Under konvensjonen om at to funksjoner er like hvis de er like μ nesten overalt, så er mellomrommene L ^{p , w} komplette ( Grafakos 2004 ).

For alle 0 < r < p uttrykket

${\ displaystyle ||| f ||| _ {L^{p, \ infty}} = \ sup _ {0 <\ mu (E) <\ infty} \ mu (E)^{-1/r+1 /p} \ venstre (\ int _ {E} | f |^{r} \, d \ mu \ høyre)^{1/r}}$

er sammenlignbar med L ^{p , w} -norm. Videre i tilfellet p > 1 , definerer dette uttrykket en norm hvis r = 1 . Derav for p > 1 den svake L ^p mellomrom er banachrom ( Grafakos 2004 ).

Et viktig resultat som bruker L ^{p , w} -mellomrom er Marcinkiewicz interpolasjonsteorem , som har brede anvendelser for harmonisk analyse og studiet av entallintegraler .

Vektede L ^p mellomrom

Som før, vurder et målrom ( S , Σ, μ ) . La w  : S → [0, ∞) være en målbar funksjon. Den w - vektede L ^p plass er definert som L ^p ( S , w  d μ ) , hvor w  d μ midler tiltaket ν definert av

${\ displaystyle \ nu (A) \ equiv \ int _ {A} w (x) \, \ mathrm {d} \ mu (x), \ qquad A \ in \ Sigma,}$

eller, når det gjelder Radon - Nikodym -derivatet , w =d ν/d μ den norm for L ^p ( S , w  d μ ) er eksplisitt

${\ displaystyle \ | u \ | _ {L^{p} (S, w \, \ mathrm {d} \ mu)} \ equiv \ left (\ int _ {S} w (x) | u (x) |^{p} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ høyre)^{1/p}}$

Som L ^p -mellomrom har de veide mellomrommene ikke noe spesielt, siden L ^p ( S , w  d μ ) er lik L ^p ( S , d ν ) . Men de er den naturlige rammen for flere resultater i harmonisk analyse ( Grafakos 2004 ); de vises for eksempel i Muckenhoupt -setningen : for 1 < p <∞ er den klassiske Hilbert -transformasjonen definert på L ^p ( T , λ ) hvor T betegner enhetssirkelen og λ Lebesgue -målet; den (ikke -lineære) Hardy – Littlewood maksimal operator er avgrenset til L ^p ( R ⁿ , λ ) . Muckenhoupt teorem beskriver vektene w slik at den Hilbert-trans restene avgrenset på L ^p ( T , w  d λ ) og den maksimale operatøren på L ^p ( R ⁿ , w  d λ ) .

L ^p mellomrom på manifolder

Man kan også definere mellomrom L ^p ( M ) på en manifold, kalt de iboende L ^p mellomrommene i manifolden, ved å bruke tettheter .

Vector-verdsatt L ^p mellomrom

Gitt et målrom ( X , Σ, μ ) og et lokalt konveks mellomrom E , kan man også definere et mellomrom med p- integrerbare E-verdifulle funksjoner på en rekke måter. Den vanligste av disse er mellomrommene til Bochner integrerbare og Pettis-integrerbare funksjoner. Ved bruk av tensorproduktet av lokalt konvekse mellomrom kan disse henholdsvis defineres som og ; hvor og henholdsvis angir de projektive og injiserende tensorproduktene til lokalt konvekse mellomrom. Når E er et kjernefysisk plass , Grothendieck viste at disse to konstruksjoner er utvisket. ${\ displaystyle L _ {\ mu}^{p} \ left (X, \ Sigma, \ mu \ right) \ otimes _ {\ pi} E}$${\ displaystyle L _ {\ mu}^{p} \ venstre (X, \ Sigma, \ mu \ right) \ otimes _ {\ epsilon} E}$${\ displaystyle \ otimes _ {\ pi}}$${\ displaystyle \ otimes _ {\ epsilon}}$

Se også

Merknader

Referanser

• Adams, Robert A .; Fournier, John F. (2003), Sobolev Spaces (andre utg.), Academic Press, ISBN 978-0-12-044143-3.
• Bourbaki, Nicolas (1987), Topologiske vektorrom , Elementer av matematikk, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
• DiBenedetto, Emmanuele (2002), Real analysis , Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Lineære operatører, bind I , Wiley-Interscience.
• Duren, P. (1970), Theory of H ^p -Spaces , New York: Academic Press
• Grafakos, Loukas (2004), Classical and Modern Fourier Analysis , Pearson Education, Inc., s. 253–257, ISBN 0-13-035399-X.
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis , Springer-Verlag.
• Kalton, Nigel J .; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), An F-space sampler , London Mathematical Society Lecture Note Series, 89 , Cambridge: Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511662447 , ISBN 0-521-27585-7, MR  0808777
• Riesz, Frigyes (1910), "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen" , Mathematische Annalen , 69 (4): 449–497, doi : 10.1007/BF01457637 , S2CID  120242933
• Rudin, Walter (1991). Funksjonell analyse . Internasjonal serie i ren og anvendt matematikk. 8 (andre utg.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3. utg.), New York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, MR  0924157
• Titchmarsh, EC (1976), Theory of functions , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853349-8

Eksterne linker

• "Lebesgue space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Bevis på at L ^p mellomrom er fullstendige