Lineær funksjon - Linear function

I matematikk refererer begrepet lineær funksjon til to forskjellige, men beslektede forestillinger:

• I kalkulator og relaterte områder er en lineær funksjon en funksjon hvis graf er en rett linje , det vil si en polynomfunksjon av grad null eller en. For å skille en slik lineær funksjon fra det andre konseptet, brukes ofte begrepet affin funksjon .
• I lineær algebra , matematisk analyse og funksjonell analyse er en lineær funksjon et lineært kart .

Som en polynomfunksjon

Grafer over to lineære funksjoner.

I kalkulus, analytisk geometri og relaterte områder er en lineær funksjon et polynom av grad ett eller mindre, inkludert null polynom (sistnevnte anses ikke å ha grad null).

Når funksjonen bare har én variabel , har den formen

${\ displaystyle f (x) = ax + b,}$

der a og b er konstanter , ofte reelle tall . Den graf av en slik funksjon av en variabel er en ikke-vertikale linje. a blir ofte referert til som linjens skråning, og b som skjæringspunktet.

For en funksjon av et begrenset antall variabler, er den generelle formelen ${\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {k})}$

${\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) = b + a_ {1} x_ {1} + \ cdots + a_ {k} x_ {k},}$

og grafen er et hyperplan av dimensjon k .

En konstant funksjon blir også betraktet som lineær i denne sammenheng, da den er et polynom av grad null eller er null polynom. Grafen, når det bare er en variabel, er en horisontal linje.

I denne sammenheng kan en funksjon som også er et lineært kart (den andre betydningen) refereres til som en homogen lineær funksjon eller en lineær form . I sammenheng med lineær algebra er polynomfunksjonene til grad 0 eller 1 de skalarverdierte affinekartene .

Som et lineært kart

Den integral av en funksjon er et lineært kart fra vektorrommet av integrerbare funksjoner til de reelle tall.

I lineær algebra er en lineær funksjon et kart f mellom to vektorrom St.

${\ displaystyle f (\ mathbf {x} + \ mathbf {y}) = f (\ mathbf {x}) + f (\ mathbf {y})}$

${\ displaystyle f (a \ mathbf {x}) = af (\ mathbf {x}).}$

Her et betegner en konstant som tilhører noen felt K av skalarene (for eksempel de reelle tall ) og x og y er elementer av en vektor plass , noe som kan være K selv.

Med andre ord bevarer den lineære funksjonen vektortilsetning og skalar multiplikasjon .

Noen forfattere bruker "lineær funksjon" bare for lineære kart som tar verdier i skalarfeltet; disse kalles oftere lineære former .

De "lineære funksjonene" til kalkulasjonen kvalifiserer som "lineære kart" når (og bare når) f (0, ..., 0) = 0 , eller, ekvivalent, når ovennevnte konstant b er lik null. Geometrisk må grafen til funksjonen passere gjennom opprinnelsen.

Se også

• Homogen funksjon
• Ikke-lineært system
• Delvis lineær funksjon
• Lineær tilnærming
• Lineær interpolering
• Diskontinuerlig lineært kart
• Lineære minste firkanter

Merknader

Referanser

• Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Forelesninger om lineær algebra , Interscience Publishers, Inc., New York. Gjengitt av Dover, 1989. ISBN  0-486-66082-6
• Thomas S. Shores (2007), Anvendt lineær algebra og matriksanalyse , Undergraduate Texts in Mathematics , Springer. ISBN  0-387-33195-6
• James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals , utgave 7E, Brooks / Cole. ISBN  978-0-538-49790-9
• Leonid N. Vaserstein (2006), "Lineær programmering", i Leslie Hogben , red., Håndbok for lineær algebra , diskret matematikk og dens applikasjoner, Chapman og Hall / CRC, kap. 50. ISBN  1-584-88510-6