Variabel (matematikk) - Variable (mathematics)

I matematikk er en variabel et symbol som fungerer som en plassholder for uttrykk eller mengder som kan variere eller endres; brukes ofte til å representere argumentet til en funksjon eller et vilkårlig element i et sett . I tillegg til tall blir variabler ofte brukt for å representere vektorer , matriser og funksjoner .

Å lage algebraiske beregninger med variabler som om de var eksplisitte tall, lar en løse en rekke problemer i en enkelt beregning. Et typisk eksempel er den kvadratiske formelen , som lar en løse hver kvadratisk ligning - ved ganske enkelt å erstatte de numeriske verdiene for koeffisientene i den gitte ligningen med variablene som representerer dem.

I matematisk logikk er en variabel enten et symbol som representerer et uspesifisert begrep i teorien (dvs. metavariabel ), eller et grunnleggende objekt for teorien-som manipuleres uten å referere til den mulige intuitive tolkningen.

Etymologi

"Variabel" kommer fra et latinsk ord, variābilis , med " vari (us) " "som betyr" forskjellige "og" -ābilis "" som betyr "-able", som betyr "stand til å endre".

Genesis og evolusjon av konseptet

På 800 -tallet brukte Brahmagupta forskjellige farger for å representere de ukjente i algebraiske ligninger i Brāhmasphuṭasiddhānta . En del av denne boken kalles "Equations of flera farger".

På slutten av 1500 -tallet introduserte François Viète ideen om å representere kjente og ukjente tall med bokstaver, i dag kalt variabler, og ideen om å beregne dem som om de var tall - for å få resultatet ved en enkel erstatning. Viètes konvensjon var å bruke konsonanter for kjente verdier, og vokaler for ukjente.

I 1637 oppfant René Descartes "konvensjonen om å representere ukjente i ligninger med x , y og z , og kjenner med a , b og c ". I motsetning til Viètes konvensjon er Descartes fremdeles vanlig. Historien til bokstaven x i matte ble diskutert i en artikkel fra Scientific American fra 1887 .

Fra 1660 -årene utviklet Isaac Newton og Gottfried Wilhelm Leibniz uavhengig uendelig kalkulus , som i hovedsak består i å studere hvordan en uendelig variasjon av en variabel mengde induserer en tilsvarende variasjon av en annen størrelse som er en funksjon av den første variabelen. Nesten et århundre senere, fikset Leonhard Euler terminologien til uendelig kalkulus, og introduserte notasjonen $y = f (x)$ for en funksjon $f$ , dens variabel $x$ og verdien $y$ . Frem til slutten av det 19. århundre, ordet variable referert nesten utelukkende til argumenter og verdier funksjoner.

I andre halvdel av 1800 -tallet så det ut til at grunnlaget for uendelig kalkulus ikke var formalisert nok til å håndtere tilsynelatende paradokser som en ingensteds differensierbar kontinuerlig funksjon . For å løse dette problemet introduserte Karl Weierstrass en ny formalisme som består i å erstatte den intuitive begrepet grense med en formell definisjon. Den eldre begrepet grense var "når variabelen $x$ varierer og har $en$ tendens til $a$ , deretter $f (x)$ mot $L$ ", uten noen nøyaktig definisjon av "tendenser". Weierstrass erstattet denne setningen med formelen

{\ displaystyle (\ forall \ epsilon> 0) (\ exist \ eta> 0) (\ forall x) \; | xa | <\ eta \ Rightarrow | Lf (x) | <\ epsilon,}

der ingen av de fem variablene anses som varierende.

Denne statiske formuleringen førte til den moderne forestillingen om variabel, som ganske enkelt er et symbol som representerer et matematisk objekt som enten er ukjent, eller kan erstattes av et hvilket som helst element i et gitt sett (f.eks. Settet med reelle tall ).

Spesifikke typer variabler

Det er vanlig at variabler spiller forskjellige roller i den samme matematiske formelen, og navn eller kvalifiseringer har blitt introdusert for å skille dem. For eksempel den generelle kubikkligningen

{\ displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d = 0,}

tolkes som å ha fem variabler: fire, $a, b, c, d$ , som antas å bli gitt tall og den femte variabelen, $x,$ forstås å være et ukjent tall. For å skille dem, kalles variabelen $x$ en ukjent , og de andre variablene kalles parametere eller koeffisienter , eller noen ganger konstanter , selv om denne siste terminologien er feil for en ligning, og bør være reservert for funksjonen definert av venstre side av denne ligningen.

I funksjonskonteksten refererer begrepet variabel ofte til argumentene til funksjonene. Dette er vanligvis tilfellet i setninger som " funksjon av en ekte variabel ", " $x$ er variabelen til funksjonen $f : x \mapsto f (x)$ ", " $f$ er en funksjon av variabelen $x$ " (som betyr at argumentet til funksjonen refereres til av variabelen $x$ ).

I samme kontekst definerer variabler som er uavhengige av $x$ konstante funksjoner og kalles derfor konstante . For eksempel er en konstant av integrasjon en vilkårlig konstant funksjon som legges til et bestemt antiderivativ for å oppnå de andre antiderivativene. Fordi det sterke forholdet mellom polynomer og polynomfunksjoner , brukes begrepet "konstant" ofte for å angi koeffisientene til et polynom, som er konstante funksjoner til de ubestemte.

Denne bruken av "konstant" som forkortelse for "konstant funksjon" må skilles fra ordets normale betydning i matematikk. En konstant eller matematisk konstant er et godt og entydig definert tall eller et annet matematisk objekt, som for eksempel tallene 0, 1, $π$ og identitetselementet til en gruppe .

Andre spesifikke navn på variabler er:

En ukjent er en variabel i en ligning som må løses for.
En ubestemt er et symbol, ofte kalt variabel, som vises i et polynom eller en formell maktserie . Formelt sett er en ubestemt ikke en variabel, men en konstant i polynomringen eller ringen av formelle kraftserier . På grunn av det sterke forholdet mellom polynomer eller kraftserier og funksjonene de definerer, anser mange forfattere imidlertid ubestemte som en spesiell type variabler.
En parameter er en mengde (vanligvis et tall) som er en del av inngangen til et problem, og forblir konstant under hele løsningen av dette problemet. For eksempel, i mekanikk er massen og størrelsen på en solid kropp parametere for studiet av bevegelsen. I informatikk har parameteren en annen betydning og betegner et argument for en funksjon.
Gratis variabler og bundne variabler
En tilfeldig variabel er en slags variabel som brukes i sannsynlighetsteorien og dens anvendelser.

Alle disse variabler er av semantisk natur, og måten å beregne med dem ( syntaks ) er den samme for alle.

Avhengige og uavhengige variabler

I beregning og dens anvendelse på fysikk og andre vitenskaper er det ganske vanlig å vurdere en variabel, si $y$ , hvis mulige verdier avhenger av verdien til en annen variabel, si $x$ . I matematiske termer representerer den avhengige variabelen $y$ verdien av en funksjon på $x$ . For å forenkle formler er det ofte nyttig å bruke det samme symbolet for den avhengige variabelen $y$ og funksjonen kartlegge $x$ på $y$ . For eksempel avhenger tilstanden til et fysisk system av målbare størrelser som trykk , temperatur , romlig posisjon, ..., og alle disse størrelsene varierer når systemet utvikler seg, det vil si at de er funksjon av tiden. I formlene som beskriver systemet, er disse størrelsene representert med variabler som er avhengige av tiden, og dermed betraktes implisitt som funksjoner av tiden.

Derfor, i en formel, er en avhengig variabel en variabel som implisitt er en funksjon av en annen (eller flere andre) variabler. En uavhengig variabel er en variabel som ikke er avhengig.

Egenskapen til en variabel for å være avhengig eller uavhengig avhenger ofte av synspunktet og er ikke iboende. For eksempel i notasjonen $f (x, y, z)$ kan de tre variablene være alle uavhengige, og notasjonen representerer en funksjon av tre variabler. På den annen side, hvis $y$ og $z er$ avhengige av $x$ (er avhengige variabler ), representerer notasjonen en funksjon av den enkelt uavhengige variabelen $x$ .

Eksempler

Hvis man definerer en funksjon f fra de reelle tallene til de reelle tallene med

{\ displaystyle f (x) = x^{2}+\ sin (x+4)}

da er x en variabel som står for argumentet for funksjonen som defineres, som kan være et reelt tall.

I identiteten

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} i = {\ frac {n^{2}+n} {2}}}

variabelen i er en summeringsvariabel som på sin side angir hvert av heltallene 1, 2, ..., n (det kalles også indeks fordi variasjonen er over et diskret sett med verdier) mens n er en parameter (den gjør ikke varierer innenfor formelen).

I teorien om polynom er et polynom av grad 2 generelt betegnet som ax ² + bx + c , hvor a , b og c kalles koeffisienter (de antas å være fikserte, dvs. parametere for problemet som er vurdert) mens x er kalles en variabel. Når man studerer dette polynomet for dets polynomfunksjon, står dette x for funksjonsargumentet. Når man studerer polynomet som et objekt i seg selv, antas x å være et ubestemt, og ville ofte bli skrevet med en stor bokstav i stedet for å indikere denne statusen.

Notasjon

I matematikk er variablene vanligvis betegnet med en enkelt bokstav. Imidlertid blir denne bokstaven ofte etterfulgt av et abonnement, som i $x 2$ , og dette abonnementet kan være et tall, en annen variabel ( $x i$ ), et ord eller en forkortelse av et ord ( $x inn$ og $x ut$ ), og til og med en matematisk uttrykk . Under påvirkning av informatikk kan man i ren matematikk støte på noen variabelnavn som består av flere bokstaver og sifre.

Etter fransk filosof og matematiker fra 1600 -tallet, René Descartes , brukes bokstaver i begynnelsen av alfabetet, f.eks. A , b , c , ofte for kjente verdier og parametere, og bokstaver på slutten av alfabetet, f.eks. X , y , z , og t brukes ofte for ukjente og variabler av funksjoner. I trykt matematikk er normen å sette variabler og konstanter i kursiv skrift .

For eksempel er en generell kvadratisk funksjon konvensjonelt skrevet som:

{\ displaystyle ax^{2}+bx+c \ ,,}

hvor a , b og c er parametere (også kalt konstanter, fordi de er konstante funksjoner ), mens x er variabelen til funksjonen. En mer eksplisitt måte å betegne denne funksjonen er

{\ displaystyle x \ mapsto ax^{2}+bx+c \ ,,}

som gjør funksjonsargumentstatusen til x tydelig, og derved implisitt den konstante statusen til a , b og c . Siden c forekommer i et begrep som er en konstant funksjon av x , kalles det det konstante uttrykket .

Spesifikke grener og anvendelser av matematikk har vanligvis spesifikke navnekonvensjoner for variabler. Variabler med lignende roller eller betydninger tildeles ofte påfølgende bokstaver. For eksempel kalles de tre aksene i 3D -koordinatrom konvensjonelt x , y og z . I fysikken er navnene på variabler i stor grad bestemt av den fysiske mengden de beskriver, men det finnes forskjellige navnekonvensjoner. En konvensjon som ofte følges i sannsynlighet og statistikk er å bruke X , Y , Z for navnene på tilfeldige variabler , og beholde x , y , z for variabler som representerer tilsvarende faktiske verdier.

Det er mange andre notasjonelle bruksområder. Vanligvis er variabler som spiller en lignende rolle representert med påfølgende bokstaver eller med samme bokstav med forskjellig abonnement . Nedenfor er noen av de vanligste bruksområdene.

a , b , c og d (noen ganger utvidet til e og f ) representerer ofte parametere eller koeffisienter .
a ₀ , a ₁ , a ₂ , ... spiller en lignende rolle, hvis det ellers vil være behov for mange forskjellige bokstaver.
en _i eller u _i brukes ofte for å angi i -t -termen i en sekvens eller i -t -koeffisienten i en serie .
f og g (noen ganger h ) betegner vanligvis funksjoner .
i , j og k (noen ganger l eller h ) brukes ofte for å betegne varierende heltall eller indekser i en indeksert familie . De kan også brukes til å betegne enhetsvektorer .
l og w brukes ofte til å representere lengden og bredden på en figur.
l brukes også til å angi en linje. I tallteori betegner jeg ofte et primtall som ikke er lik p .
n betegner vanligvis et fast heltall, for eksempel en telling av objekter eller graden av en ligning .
- Når to heltall er nødvendig, for eksempel for dimensjonene til en matrise , bruker man vanligvis m og n .
p betegner ofte primtall eller sannsynlighet .
q betegner ofte en primakraft eller en kvotient
r betegner ofte en radius , en rest eller en korrelasjonskoeffisient .
t betegner ofte tid .
x , y og z betegner vanligvis de tre kartesiske koordinatene til et punkt i euklidisk geometri . I forlengelsen brukes de til å navngi de tilsvarende aksene .
z betegner vanligvis et komplekst tall , eller, i statistikk, en normal tilfeldig variabel .
α , β , γ , θ og φ vanligvis betegner vinkel tiltak.
ε representerer vanligvis et vilkårlig lite positivt tall.
- ε og δ betegner vanligvis to små positive.
λ brukes for egenverdier .
σ betegner ofte en sum, eller, i statistikk, standardavviket .
μ betegner ofte et gjennomsnitt .
$π$ brukes for pi .

Se også

Konstant med integrasjon
Konstant betegnelse på et polynom
Gratis variabler og bundne variabler (Bound -variabler er også kjent som dummy -variabler)
Ubestemt (variabel)
Lambda -beregning
Matematisk uttrykk
Observerbar variabel
Fysisk konstant
Variabel (informatikk)

Bibliografi

Edwards (1892). Differensialberegning . London: MacMillan og Co. s. 1 ff.
Karl Menger, "On Variables in Mathematics and in Natural Science", The British Journal for Philosophy of Science 5 : 18: 134–142 (august 1954) JSTOR 685170
Jaroslav Peregrin, " Variabler i naturspråk: Hvor kommer de fra? ", I M. Boettner, W. Thümmel, red., Variable-Free Semantics , 2000, s. 46–65.
WV Quine , " Variables Explained Away ", Proceedings of the American Philosophical Society 104 : 343–347 (1960).

Languages

In other projects