Liste over relativistiske ligninger - List of relativistic equations

Følgende er en liste over de ofte forekommende ligningene i teorien om spesiell relativitet .

Postulater av spesiell relativitet

For å utlede ligningene for spesiell relativitet, må man starte med to postulater:

1. Fysikkens lover er uforanderlige under transformasjoner mellom treghetsrammer. Med andre ord vil fysikkens lover være de samme enten du tester dem i en ramme 'i ro', eller i en ramme som beveger seg med en konstant hastighet i forhold til 'hvile-rammen.
2. Lysets hastighet i et perfekt klassisk vakuum ( ) måles til å være den samme av alle observatører i treghetsrammer og er dessuten endelig, men ikke-nul. Denne hastigheten fungerer som et overordnet mål for hastigheten til lokal overføring av informasjon i universet. ${\ displaystyle c_ {0}}$

I denne sammenhengen refererer "lysets hastighet" virkelig til hastigheten over informasjonsoverføring eller for bevegelsen av vanlig (ikke-negativ masse) materie, lokalt, som i et klassisk vakuum. Dermed vil en mer nøyaktig beskrivelse referere til heller enn lysets hastighet i seg selv. Imidlertid beveger lys og andre masseløse partikler seg teoretisk under vakuumbetingelser, og eksperiment har ikke forfalsket denne forestillingen med ganske høy presisjon. Uansett om lyset selv beveger seg på , virker det som et overlegen, og det er antagelsen som betyr noe for relativiteten. ${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle c_ {0}}$

Fra disse to postulatene følger all spesiell relativitet.

I det følgende er den relative hastigheten v mellom to treghetsrammer fullstendig begrenset til x- retningen til et kartesisk koordinatsystem .

Kinematikk

Lorentz transformasjon

Følgende notasjoner brukes veldig ofte i spesiell relativitetsteori:

Lorentz-faktor

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}$

hvor β = og v er den relative hastigheten mellom to treghetsrammer . ${\ displaystyle {\ frac {v} {c}}}$

For to rammer i hvile, γ = 1, og øker med relativ hastighet mellom de to treghetsrammer. Når den relative hastigheten nærmer seg lysets hastighet, γ → ∞.

Tidsdilatasjon (forskjellige tider t og t ' på samme posisjon x i samme treghetsramme)

${\ displaystyle t '= \ gamma t}$

Utledning av tidsutvidelse

Når du bruker ovennevnte postulater, bør du vurdere innsiden av et hvilket som helst kjøretøy (vanligvis eksemplifisert av et tog) som beveger seg med en hastighet v med hensyn til noen som står på bakken når kjøretøyet passerer. Innvendig skinner et lys oppover til et speil i taket, hvor lyset reflekteres ned igjen. Hvis speilhøyden er h , og lysets hastighet c , er tiden det tar for lyset å gå opp og komme ned igjen: ${\ displaystyle t = {\ frac {2h} {c}}}$ For observatøren på bakken er situasjonen imidlertid veldig annerledes. Siden toget beveger seg av observatøren på bakken, ser det ut til at lysstrålen beveger seg diagonalt i stedet for rett opp og ned. For å visualisere dette, se for deg lyset som sendes ut på et tidspunkt, og la kjøretøyet bevege seg til lyset treffer speilet på toppen av kjøretøyet, og la toget kjøre enda mer til lysstrålen kommer tilbake til bunnen av kjøretøyet . Det vil se ut til at lysstrålen har beveget seg diagonalt oppover med toget, og deretter diagonalt nedover. Denne banen hjelper til med å danne to-høyre sidede trekanter, med høyden som en av sidene, og de to rette delene av stien er de respektive hypotenusene: ${\ displaystyle c ^ {2} \ left ({\ frac {t '} {2}} \ right) ^ {2} = h ^ {2} + v ^ {2} \ left ({\ frac {t' } {2}} \ høyre) ^ {2}}$ Omorganisere for å få : ${\ displaystyle t '}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {t '} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {h ^ {2}} {c ^ {2} -v ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {t '} {2}} = {\ frac {h} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle t '= {\ frac {2h} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}}}$ Å ta ut faktoren c , og deretter plugge inn for t , finner man: ${\ displaystyle t '= {\ frac {2h} {c}} {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = {\ frac {t} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}$ Dette er formelen for tidsutvidelse: ${\ displaystyle t '= \ gamma t}$

I dette eksemplet er tiden målt i rammen på kjøretøyet, t , kjent som riktig tid . Riktig tid mellom to hendelser - for eksempel hendelsen med lys som sendes ut på kjøretøyet og lyset som mottas på kjøretøyet - er tiden mellom de to hendelsene i en ramme der hendelsene skjer på samme sted. Så ovenfor skjedde både utslipp og mottak av lyset i kjøretøyets ramme, noe som gjorde tiden som en observatør i bilens ramme ville måle riktig tid.

Lengdekontraksjon (forskjellige posisjoner x og x ' i samme øyeblikk t i samme treghetsramme)

${\ displaystyle \ ell '= {\ frac {\ ell} {\ gamma}}}$

Utledning av lengdekontraksjon

Tenk på et langt tog, som beveger seg med hastighet v i forhold til bakken, og en observatør på toget og en på bakken, som står ved siden av en stolpe. Observatøren på toget ser fronten av toget passere stolpen, og så, en tid senere ′ , ser slutten av toget passere den samme stolpen. Deretter beregner han lengden på toget som følger: ${\ displaystyle \ ell = vt '\,}$ Imidlertid kommer observatøren på bakken, som gjør den samme målingen, til en annen konklusjon. Denne observatøren finner at tiden t gikk mellom fronten av toget som passerte posten, og baksiden av toget som passerte posten. Fordi de to hendelsene - passering av hver ende av toget med posten - skjedde på samme sted i bakken observatørens ramme, er tiden denne observatøren målte riktig tid. Så: ${\ displaystyle \ ell '= vt = v \ left ({\ frac {t'} {\ gamma}} \ right) = {\ frac {\ ell} {\ gamma}}}$

Dette er formelen for lengdesammentrekning. Siden det eksisterte en riktig tid for tidsutvidelse, eksisterer det en riktig lengde for lengdekontraksjon, som i dette tilfellet er ℓ . Den riktige lengden på et objekt er lengden på objektet i rammen objektet hviler i. Dessuten påvirker denne sammentrekningen bare dimensjonene til objektet som er parallelle med den relative hastigheten mellom objektet og observatøren. Dermed blir lengder vinkelrett på bevegelsesretningen upåvirket av lengdekontraksjon.

Lorentz transformasjon

${\ displaystyle x '= \ gamma \ left (x-vt \ right)}$

${\ displaystyle y '= y \,}$

${\ displaystyle z '= z \,}$

${\ displaystyle t '= \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right)}$

Derivasjon av Lorentz-transformasjon ved bruk av tidsdilatasjon og lengdekontraksjon

Nå som vi erstatter lengdekontraksjonsresultatet i den galileiske transformasjonen (dvs. x = ℓ ), har vi: ${\ displaystyle {\ frac {x '} {\ gamma}} = x-vt}$ det er: ${\ displaystyle x '= \ gamma \ left (x-vt \ right)}$ og går fra den primede rammen til den ikke-primede rammen: ${\ displaystyle x = \ gamma \ left (x '+ vt' \ right)}$ Å gå fra den primede rammen til den ikke-primede rammen ble oppnådd ved å gjøre v i den første ligningen negativ, og deretter utveksle primede variabler for uprimede, og omvendt. Ettersom lengdekontraksjon ikke påvirker de objektenes vinkelrette dimensjoner, forblir følgende det samme som i den galileiske transformasjonen: ${\ displaystyle y '= y \,}$ ${\ displaystyle z '= z \,}$ Til slutt, for å bestemme hvor t og t ' transform, idet man benytter x ↔ x' omdannelse til dens inverse: ${\ displaystyle x = \ gamma \ left (\ gamma \ left (x-vt \ right) + vt '\ right)}$ ${\ displaystyle x = \ gamma \ left (\ gamma x- \ gamma vt + vt '\ right)}$ ${\ displaystyle x = \ gamma ^ {2} x- \ gamma ^ {2} vt + \ gamma vt '\,}$ ${\ displaystyle \ gamma vt '= \ gamma ^ {2} vt- \ gamma ^ {2} x + x \,}$ ${\ displaystyle \ gamma vt '= \ gamma ^ {2} vt + x \ left (1- \ gamma ^ {2} \ right)}$ Koble inn verdien for γ: ${\ displaystyle \ gamma vt '= \ gamma ^ {2} vt + x \ left (1 - {\ frac {1} {1- \ beta ^ {2}}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ gamma vt '= \ gamma ^ {2} vt + x \ left ({\ frac {1- \ beta ^ {2}} {1- \ beta ^ {2}}} - {\ frac {1 } {1- \ beta ^ {2}}} \ høyre)}$ ${\ displaystyle \ gamma vt '= \ gamma ^ {2} vt-x \ left ({\ frac {\ beta ^ {2}} {1- \ beta ^ {2}}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ gamma vt '= \ gamma ^ {2} vt- \ gamma ^ {2} \ beta ^ {2} x \,}$ Til slutt, dele gjennom med γ v : ${\ displaystyle t '= \ gamma \ left (t- \ beta {\ frac {x} {c}} \ right)}$ Eller oftere: ${\ displaystyle t '= \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right)}$ Og det omvendte kan igjen oppnås ved å endre tegnet på v , og bytte de uprimede variablene for deres primede variabler, og omvendt. Disse transformasjonene sammen er Lorentz-transformasjonen: ${\ displaystyle x '= \ gamma \ left (x-vt \ right)}$ ${\ displaystyle y '= y \,}$ ${\ displaystyle z '= z \,}$ ${\ displaystyle t '= \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right)}$

Velocity tillegg

${\ displaystyle V '_ {x} = {\ frac {V_ {x} -v} {1 - {\ frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}}}}$

${\ displaystyle V '_ {y} = {\ frac {V_ {y}} {\ gamma \ left (1 - {\ frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}} \ right)}} }$

${\ displaystyle V '_ {z} = {\ frac {V_ {z}} {\ gamma \ left (1 - {\ frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}} \ right)}} }$

Utledning av hastighetstilsetning

Lorentz-transformasjonene gjelder også for differensialer , så: ${\ displaystyle dx '= \ gamma \ left (dx-vdt \ right)}$ ${\ displaystyle dy '= dy \,}$ ${\ displaystyle dz '= dz \,}$ ${\ displaystyle dt '= \ gamma \ left (dt - {\ frac {vdx} {c ^ {2}}} \ right)}$ Hastigheten er dx / dt , altså ${\ displaystyle {\ frac {dx '} {dt'}} = {\ frac {\ gamma \ left (dx-vdt \ right)} {\ gamma \ left (dt - {\ frac {vdx} {c ^ { 2}}} \ høyre)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dx '} {dt'}} = {\ frac {dx-vdt} {dt - {\ frac {vdx} {c ^ {2}}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dx '} {dt'}} = {\ frac {{\ frac {dx} {dt}} - v} {1 - {\ frac {dx} {dt}} {\ frac { v} {c ^ {2}}}}}$ Erstatter nå: ${\ displaystyle V_ {x} = {\ frac {dx} {dt}} \, \ quad V '_ {x} = {\ frac {dx'} {dt '}}}$ gir hastighetsaddisjonen (faktisk nedenfor er subtraksjon, addisjon er bare å reversere tegnene på V x , V y og V z rundt): ${\ displaystyle V '_ {x} = {\ frac {V_ {x} -v} {1 - {\ frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle V '_ {y} = {\ frac {V_ {y}} {\ gamma \ left (1 - {\ frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}} \ right)}} }$ ${\ displaystyle V '_ {z} = {\ frac {V_ {z}} {\ gamma \ left (1 - {\ frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}} \ right)}} }$ Også hastighetene i retningene vinkelrett på rammeforandringene påvirkes, som vist ovenfor. Dette skyldes tidsdilatasjon, som innkapslet i dt / dt ' transformasjonen. Den V ' y og v' z ligninger ble begge utledet ved å dividere den passende plass differensial (f.eks dy ' eller dz' ) ved tidsforskjellen.

Metriske og fire vektorer

I det følgende brukes fet sans serif for 4-vektorer mens normal fet roman brukes til vanlige 3-vektorer.

Indre produkt (dvs. lengdeforestilling )

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {a}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mathsf {b}}} = \ eta ({\ boldsymbol {\ mathsf {a}}}, {\ boldsymbol {\ mathsf { b}}})}$

hvor er kjent som metrisk tensor . I spesiell relativitet er metriske tensor Minkowski-metriske : ${\ displaystyle \ eta}$

${\ displaystyle \ eta = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

Romtidsintervall

${\ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -c ^ {2} dt ^ {2} = {\ begin {pmatrix} cdt & dx & dy & dz \ end {pmatrix} } {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} cdt \\ dx \\ dy \\ dz \ end {pmatrix}}}$

I det ovennevnte er ds ² kjent som romtidintervallet. Dette indre produktet er uforanderlig under Lorentz-transformasjonen, det vil si

${\ displaystyle \ eta ({\ boldsymbol {\ mathsf {a}}} ', {\ boldsymbol {\ mathsf {b}}}') = \ eta \ left (\ Lambda {\ boldsymbol {\ mathsf {a}} }, \ Lambda {\ boldsymbol {\ mathsf {b}}} \ right) = \ eta ({\ boldsymbol {\ mathsf {a}}}, {\ boldsymbol {\ mathsf {b}}})}$

Tegn på beregningen og plasseringen av ct , ct ' , cdt og cdt' tidsbaserte termer kan variere avhengig av forfatterens valg. For eksempel er de tidsbaserte begrepene mange ganger plassert først i firvektorene, med de romlige begrepene som følger. Noen ganger blir η også erstattet med - η , noe som gjør at de romlige begrepene gir negative bidrag til punktproduktet eller romtidsintervallet, mens tidsperioden gir et positivt bidrag. Disse forskjellene kan brukes i en hvilken som helst kombinasjon, så lenge valg av standarder følges fullstendig gjennom beregningene som utføres.

Lorentz forvandler seg

Det er mulig å uttrykke ovennevnte koordinatransformasjon via en matrise. For å forenkle ting kan det være best å erstatte t , t ′ , dt og dt ′ med ct , ct ' , cdt og cdt ′ , som har dimensjonene avstand. Så:

${\ displaystyle x '= \ gamma x- \ gamma \ beta ct \,}$

${\ displaystyle y '= y \,}$

${\ displaystyle z '= z \,}$

${\ displaystyle ct '= \ gamma ct- \ gamma \ beta x \,}$

deretter i matriseform:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma & - \ gamma \ beta & 0 & 0 \\ - \ gamma \ beta & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}$

Vektorene i transformasjonsligningen ovenfor er kjent som firvektorer, i dette tilfellet er de spesifikt posisjonen firvektorer. Generelt, i spesiell relativitet, kan fire vektorer transformeres fra en referanseramme til en annen som følger:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {a}}} '= \ Lambda {\ boldsymbol {\ mathsf {a}}}}$

I ovennevnte, og er henholdsvis firevektoren og den transformerte firevektoren, og Λ er transformasjonsmatrisen, som for en gitt transformasjon er den samme for alle firevektorene man kanskje vil transformere. Så kan være en firvektor som representerer posisjon, hastighet eller momentum, og den samme Λ kan brukes når man transformerer mellom de samme to rammene. Den mest generelle Lorentz-transformasjonen inkluderer boost og rotasjoner; komponentene er kompliserte og transformasjonen krever spinorer . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {a}}} '}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {a}}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {a}}} '}$

4-vektorer og ramme-invariante resultater

Invarians og forening av fysiske størrelser stammer begge fra fire vektorer . Det indre produktet av en 4-vektor med seg selv er lik en skalar (per definisjon av det indre produktet), og siden 4-vektorene er fysiske størrelser, tilsvarer deres størrelser også fysiske størrelser.

Eiendom / effekt	3-vektor	4-vektor	Invariant resultat
Space-time events	3-posisjon: r = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r} \ equiv r ^ {2} \ equiv x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} \, \!}$	4-posisjon: X = ( ct , x 1 , x 2 , x 3 )	${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {X}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mathsf {X}}} = \ left (c \ tau \ right) ^ {2} \, \!}$ ${\ displaystyle {\ begin {justert} og \ venstre (ct \ høyre) ^ {2} - \ venstre (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2 } \ høyre) \\ & = \ venstre (ct \ høyre) ^ {2} -r ^ {2} \\ & = - \ chi ^ {2} = \ venstre (c \ tau \ høyre) ^ {2} \ end {align}} \, \!}$ τ = riktig tid χ = riktig avstand
Momentum-energi invarians	${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ gamma m \ mathbf {u} \, \!}$ 3-momentum: p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p} \ equiv p ^ {2} \ equiv p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} \, \!}$	4-momentum: P = ( E / c , p 1 , p 2 , p 3 ) ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {P}}} = m {\ boldsymbol {\ mathsf {U}}} \, \!}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {P}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mathsf {P}}} = \ left (mc \ right) ^ {2} \, \!}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} & \ left ({\ frac {E} {c}} \ right) ^ {2} - \ left (p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2 } + p_ {3} ^ {2} \ høyre) \\ & = \ venstre ({\ frac {E} {c}} \ høyre) ^ {2} -p ^ {2} \\ & = \ venstre ( mc \ right) ^ {2} \ end {align}} \, \!}$ som leder til: ${\ displaystyle E ^ {2} = \ left (pc \ right) ^ {2} + \ left (mc ^ {2} \ right) ^ {2} \, \!}$ E = total energi m = invariant masse
Hastighet	3-hastighet: u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) ${\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} \, \!}$	4-hastighet: U = ( U 0 , U 1 , U 2 , U 3 ) ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {U}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ mathsf {X}}}} {\ mathrm {d} \ tau}} = \ gamma \ venstre (c, \ mathbf {u} \ høyre)}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {U}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mathsf {U}}} = c ^ {2} \, \!}$
Akselerasjon	3-akselerasjon: a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) ${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u}} {\ mathrm {d} t}} \, \!}$	4-akselerasjon: A = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {A}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ mathsf {U}}}} {\ mathrm {d} \ tau}} = \ gamma \ venstre (c {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma} {\ mathrm {d} t}}, {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u } + \ gamma \ mathbf {a} \ right)}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {A}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mathsf {U}}} = 0 \, \!}$
Makt	3-kraft: f = ( f 1 , f 2 , f 3 ) ${\ displaystyle \ mathbf {f} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} \, \!}$	4-kraft: F = ( F 0 , F 1 , F 2 , F 3 ) ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {F}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ mathsf {P}}}} {\ mathrm {d} \ tau}} = \ gamma m \ left (c {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma} {\ mathrm {d} t}}, {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf { u} + \ gamma \ mathbf {a} \ right)}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {F}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mathsf {U}}} = 0 \, \!}$

Doppler-skift

Generelt dopplerskifte:

${\ displaystyle \ nu '= \ gamma \ nu \ left (1- \ beta \ cos \ theta \ right)}$

Dopplerforskyvning for emitter og observatør som beveger seg rett mot hverandre (eller rett bort):

${\ displaystyle \ nu '= \ nu {\ frac {\ sqrt {1- \ beta}} {\ sqrt {1+ \ beta}}}}$

Dopplerforskyvning for emitter og observatør som beveger seg i en retning vinkelrett på linjen som forbinder dem:

${\ displaystyle \ nu '= \ gamma \ nu}$

Derivasjon av det relativistiske dopplerforskyvningen

Hvis et objekt avgir en lysstråle eller stråling, vil frekvensen, bølgelengden og energien til det lyset eller strålingen se annerledes ut for en bevegelse i bevegelse enn for en i ro i forhold til emitteren. Hvis man antar at observatøren beveger seg i forhold til emitteren langs x-aksen, blir standard Lorentz-transformasjonen av firemomentet, som inkluderer energi,: ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {E '} {c}} \\ p' _ {x} \\ p '_ {y} \\ p' _ {z} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma & - \ gamma \ beta & 0 & 0 \\ - \ gamma \ beta & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ frac {E } {c}} \\ p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {E '} {c}} = \ gamma {\ frac {E} {c}} - \ gamma \ beta p_ {x}}$ Nå, hvis ${\ displaystyle p_ {x} = \ | p \ | \ cos \ theta}$ hvor θ er vinkelen mellom p x og , og plugger inn formlene for frekvensens forhold til momentum og energi: ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {h \ nu '} {c}} = \ gamma {\ frac {h \ nu} {c}} - \ gamma \ beta \ left \ Vert p \ right \ | \ cos \ theta = \ gamma {\ frac {h \ nu} {c}} - \ gamma \ beta {\ frac {h \ nu} {c}} \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle \ nu '= \ gamma \ nu - \ gamma \ beta \ nu \ cos \ theta = \ gamma \ nu \ left (1- \ beta \ cos \ theta \ right)}$ Dette er formelen for det relativistiske dopplerskiftet der forskjellen i hastighet mellom emitter og observatør ikke er på x-aksen. Det er to spesielle tilfeller av denne ligningen. Den første er tilfelle der hastigheten mellom emitter og observatør er langs x-aksen. I så fall θ = 0, og cos θ = 1, som gir: ${\ displaystyle {\ begin {align} \ nu '& = \ gamma \ nu \ left (1- \ beta \ right) \\ & = \ nu {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ { 2}}}} \ venstre (1- \ beta \ høyre) \\ & = \ nu {\ frac {1} {\ sqrt {\ venstre (1- \ beta \ høyre) \ venstre (1+ \ beta \ høyre )}}} \ venstre (1- \ beta \ høyre) \\ & = \ nu {\ frac {\ sqrt {1- \ beta}} {\ sqrt {1+ \ beta}}} \ slutt {justert}} }$ Dette er ligningen for dopplerforskyvning i tilfelle hvor hastigheten mellom emitteren og observatøren er langs x-aksen. Det andre spesielle tilfellet er at der den relative hastigheten er vinkelrett på x-aksen, og dermed θ = π / 2, og cos θ = 0, som gir: ${\ displaystyle \ nu '= \ gamma \ nu}$ Dette er faktisk helt analogt med tidsutvidelse, da frekvens er gjensidig av tid. Så, doppler-skift for sendere og observatører som beveger seg vinkelrett på linjen som forbinder dem, er helt på grunn av effekten av tidsutvidelse.

Se også

Referanser

Kilder

• Encyclopaedia of Physics (2. utgave) , RG Lerner , GL Trigg, VHC utgivere, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Dynamics and Relativity , JR Forshaw, AG Smith, Wiley, 2009, ISBN   978-0-470-01460-8
• Relativitet DeMystified , D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN   0-07-145545-0
• Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN   978-0-521-57507-2 .
• En introduksjon til mekanikk , D. Kleppner, RJ Kolenkow, Cambridge University Press, 2010, ISBN   978-0-521-19821-9