Maxwell - Jüttner distribusjon - Maxwell–Jüttner distribution

I fysikken er Maxwell - Jüttner -fordelingen fordelingen av hastigheter på partikler i en hypotetisk gass av relativistiske partikler. I likhet med Maxwells distribusjon anser Maxwell - Jüttner -fordelingen en klassisk idealgass der partiklene er fortynnede og ikke påvirker hverandre signifikant. Skillet fra Maxwells tilfelle er at effekter av spesiell relativitet tas i betraktning. I grensen for lave temperaturer mye mindre enn (hvor er massen av typen partikkel som utgjør gassen, er lysets hastighet og er Boltzmanns konstante ), blir denne fordelingen identisk med Maxwell - Boltzmann -fordelingen. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle mc^{2}/k}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle k}$

Fordelingen kan tilskrives Ferencz Jüttner , som avledet den i 1911. Den har blitt kjent som Maxwell-Jüttner-fordelingen analogt med navnet Maxwell-Boltzmann-fordelingen som ofte brukes for å referere til Maxwells distribusjon.

Distribusjonsfunksjonen

Maxwell - Jüttner -fordeling over Lorentz -faktor (relativistisk Maxwellian), for en gass ved forskjellige temperaturer. Hastighet er representert når det gjelder Lorentz -faktoren .

Etter hvert som gassen blir varmere og nærmer seg eller overstiger , er sannsynlighetsfordelingen for i denne relativistiske Maxwell -gassen gitt av Maxwell - Jüttner -fordelingen: ${\ displaystyle kT}$${\ displaystyle mc^{2}}$${\ textstyle \ gamma = 1/{\ sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

${\ displaystyle f (\ gamma) = {\ frac {\ gamma ^{2} \ beta} {\ theta K_ {2} (1/\ theta)}} \ exp \ left (-{\ frac {\ gamma} {\ theta}} \ høyre)}$

hvor og er den modifiserte Bessel -funksjonen av den andre typen. ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}} = {\ sqrt {1-1/\ gamma ^{2}}},}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {kT} {mc^{2}}},}$${\ displaystyle K_ {2}}$

Alternativt kan dette skrives i form av momentum som

${\ displaystyle f (\ mathbf {p}) = {\ frac {1} {4 \ pi m^{3} c^{3} \ theta K_ {2} (1/\ theta)}} \ exp \ venstre (-{\ frac {\ gamma (p)} {\ theta}} \ høyre)}$

hvor . Maxwell - Jüttner -ligningen er kovariant, men ikke åpenbart , og temperaturen på gassen varierer ikke med bruttohastigheten til gassen. ${\ textstyle \ gamma (p) = {\ sqrt {1+ \ venstre ({\ frac {p} {mc}} \ høyre)^{2}}}}$

Juttner distribusjonsgraf

En visuell fremstilling av fordelingen i partikkelhastigheter for plasma ved fire forskjellige temperaturer:

Der vi har definert den termiske parameteren . ${\ displaystyle \ mu = mc^{2}/k_ {b} T}$

De fire generelle grensene er:

• ultrarelativistiske temperaturer μ << 1
• relativistiske temperaturer: μ <1,
• svakt (eller mildt) relativistiske temperaturer: μ > 1,
• lave temperaturer: μ >> 1,

Begrensninger

Noen begrensninger i Maxwell - Jüttner -distribusjonene deles med den klassiske ideelle gassen: neglisjering av interaksjoner og neglisjering av kvanteeffekter. En ytterligere begrensning (ikke viktig i den klassiske idealgassen) er at Maxwell - Jüttner -fordelingen neglisjerer antipartikler.

Hvis partikkel-antipartikkel opprettelse er tillatt, vil når partikelen-antipartikkel skapes når termisk energi er en betydelig brøkdel , begynne å øke antallet partikler mens det genereres antipartikler (antall partikler er ikke konservert, men i stedet den konserverte mengden er forskjellen mellom partikkelnummer og antipartikkelnummer). Den resulterende termiske fordelingen vil avhenge av det kjemiske potensialet knyttet til den konserverte partikkel-antipartikkel-tallforskjellen. En ytterligere konsekvens av dette er at det blir nødvendig å innarbeide statistisk mekanikk for partikler som ikke kan skilles, fordi okkupasjonssannsynlighetene for tilstander med lav kinetisk energi blir av ordenenhet. For fermioner er det nødvendig å bruke Fermi-Dirac statistikk og resultatet er analog til den termiske generering av elektron- hull -par i halvledere . For bosoniske partikler er det nødvendig å bruke Bose - Einstein -statistikken . ${\ displaystyle kT}$${\ displaystyle mc^{2}}$

Kanskje det viktigste er at den grunnleggende MB -fordelingen har to hovedproblemer: den strekker seg ikke til partikler som beveger seg med relativistiske hastigheter, og den antar anisotrop temperatur (hvor hver DOF ikke har samme translasjonelle kinetiske energi). Mens den klassiske Maxwell-Juttner-distribusjonen generaliserer når det gjelder spesiell relativitet, klarer den ikke å vurdere den anisotropiske beskrivelsen.

Avledning av MJ Distribusjon

Maxwell – Boltzmann (MB) -fordelingen P _M beskriver hastighetene u eller den kinetiske energien til partiklene ved termisk likevekt, langt fra grensen for lysets hastighet, dvs. ${\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {1} {2}} m \ mathbf {u} ^{2}}$

${\ displaystyle P _ {\ text {MB}} \ venstre (\ mathbf {p; \ theta} \ right) \ mathbf {= (\ pi} m ^{\ mathbf {2}} \ mathbf {\ theta} ^{ \ mathbf {2}} \ mathbf {)} ^{\ mathbf {-} {\ frac {\ mathbf {1}} {\ mathbf {2}}} \ mathbf {d}} \ exp \ left (-{\ frac {{\ frac {1} {2m}} \ mathbf {p} ^{2}} {k_ {b} T}} \ høyre). \ \ \ \ (1a)}$

${\ displaystyle \ theta \ equiv {\ sqrt {\ frac {2k_ {b} T} {m}}}, \ \ u \ ll c}$

Eller, når det gjelder kinetisk energi:

${\ displaystyle P_ {mb} (\ epsilon; T) = {\ frac {(k_ {b} T)^{-1/2d}} {\ Gamma ({\ frac {1} {2}} d)} } exp (-{\ frac {\ epsilon} {K_ {b} T}}) \ epsilon ^{{\ frac {1} {2}} d-1} (1b)}$

${\ displaystyle \ epsilon \ ll mc^{2}}$

hvor θ er temperaturen i hastighetsdimensjoner, kalt termisk hastighet, og d angir de kinetiske frihetsgrader for hver partikkel. (Vær oppmerksom på at temperaturen er definert i væskens hvilestativ, hvor bulkhastigheten u _b er null. I det ikke-relativistiske tilfellet kan dette vises ved å bruke ε = . ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} m (\ mathbf {u-} \ mathbf {u} _ {\ mathbf {b}})^{2}}$

Den relativistiske generaliseringen av Eq. (1a), det vil si Maxwell - Jüttner (MJ) -fordelingen, er gitt av:

${\ displaystyle P_ {MJ} (\ gamma) \ propto \ gamma ^{2} \ beta (\ gamma) \ bullet e ^{\ frac {-\ gamma} {\ Theta}}, \ Theta \ equiv {\ frac {k_ {b} T} {E_ {0}}}, \ E_ {0} = mc^{2} \ \ \ \ (2)}$

hvor β ≡ og γ (β) ≡ (1- . (Legg merke til at inversen av den enhetsløse temperaturen er den relativistiske kulden ζ, Rezzola og Zanotti, 2013.) Denne fordelingen (Eq. 2) kan utledes som følger. Iht. den relativistiske formalismen for partikkelmomentet og energien, har vi ${\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {u}} {\ mathbf {c}}}}$${\ displaystyle \ beta ^{2}) ^{-{\ frac {1} {2}}} \}$${\ displaystyle \ Theta}$

${\ displaystyle \ mathbf {p =} mc \ bullet \ gamma \ left (\ beta \ right) \ bullet \ mathbf {\ beta}, \ E \ left (\ beta \ right) = \ gamma (\ beta) \ bullet E_ {0} \ \ \ \ \ \ \ \ ((3) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}$

Mens den kinetiske energien er gitt av . Boltzmann -distibuisjonen til en Hamiltonian er P _mj (H) I fravær av en potensiell energi blir H ganske enkelt gitt av partikkelenergien E, således: ${\ displaystyle \ epsilon = E -E_ {0} = (\ gamma -1) \ bullet E_ {0}}$${\ displaystyle \ propto \ exp {\ left \ lbrack -{\ frac {H} {K_ {b} T}} \ right \ rbrack.}}$

${\ displaystyle P _ {\ text {MJ}} \ left (E \ right) \ operatorname {\ propto exp} \ left (-{\ frac {E} {k_ {b} T}} \ right) \ propto \ exp \ venstre (-{\ frac {\ gamma} {\ Theta}} \ høyre) \ \ \ \ \ (4a) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\$

(Legg merke til at E er summen av den kinetiske ε og treghetenergien ). Når vi så inkluderer den d-dimensjonale tettheten av tilstander: ${\ displaystyle E_ {0}, {\ frac {\ epsilon} {k_ {b} T}} = {\ frac {\ gamma -\ 1} {\ Theta}}}$

${\ displaystyle P _ {\ text {MJ}} \ left (\ gamma \ right) \ propto p \ left (\ gamma \ right)^{d-1} {\ frac {{\ text {dp}} \ left ( \ gamma \ right)} {\ text {dγ}}} \ bullet \ exp \ left (-{\ frac {\ gamma} {\ Theta}} \ right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ((4b) \\$

Så det:

${\ displaystyle {\ int _ {}^{} {P _ {\ text {MJ}} \ venstre (\ mathbf {p} \ høyre) dp_ {1} \ ldots .dp_ {d} \ propto} \ int _ { }^{} {\ exp \ left \ lbrack -{\ frac {E \ left (\ mathbf {p} \ right)} {k_ {b} T}} \ right \ rbrack dp_ {1} \ ldots .dp_ { d}}}}$

${\ displaystyle {= \ int _ {}^{} {\ exp \ left \ lbrack -{\ frac {E \ left ({\ text {γ.}} \ Omega _ {d} \ right)} {k_ { b} T}} \ right \ rbrack d \ Omega _ {d} p^{d-1} {\ text {dp}}}}}}$

${\ displaystyle {= \ int _ {\ Omega _ {d}}^{} {\ exp \ left \ lbrack -{\ frac {E \ left ({\ text {γ.}} \ Omega _ {d} \ høyre)} {k_ {b} T}} \ right \ rbrack \ bullet \ left \ lbrack p \ left (\ gamma \ right)^{d-1} {\ frac {{\ text {dp}} \ left ( \ gamma \ right)} {\ text {dγ}}} \ right \ rbrack d \ Omega _ {d} {\ text {dγ}}}}}}$

Hvor betegner den d-dimensjonale solide vinkelen. For isotrope distribusjoner har vi ${\ displaystyle d \ Omega _ {d} \}$

${\ displaystyle \ int P_ {MJ} (p) dp_ {1} .... dp_ {d} \ propto \ int exp [-{\ frac {E (p)} {K_ {b} T}}] \ ganger \ \ \ \ \ \ (5a)}$

${\ displaystyle [p (\ gamma)^{d-1} {\ frac {dp (\ gamma)} {d \ gamma}}] d \ Omega _ {d} d \ gamma \ equiv \ int _ {\ Omega _ {d}} d \ Omega _ {d} \ bullet \ int P_ {MJ} (\ gamma) d \ gamma,}$

eller

${\ displaystyle P_ {mj} (\ gamma) \ propto exp [-{\ frac {E (\ gamma)} {k_ {b} T}}] \ bullet p (\ gamma)^{d-1} {\ frac {dp (\ gamma)} {d \ gamma}} \ \ \ \ \ \ (5b)}$

Så, slik at: ${\ displaystyle d \ left ({\ text {γβ}} \ right) = \ gamma \ left (\ gamma ^{2} -1 \ right) ^{-{\ frac {1} {2}}} d \ gamma = \ beta ^{-1} {\ text {dγ}}}$

${\ displaystyle {p \ left (\ gamma \ right)^{d-1} {\ frac {{\ text {dp}} \ left (\ gamma \ right)} {\ text {dγ}}} = \ left ({\ text {mc}} \ right)^{d} \ left ({\ text {γβ}} \ right)^{d-1} {\ frac {d \ left ({\ text {γβ}} \ høyre)} {\ text {dγ}}}} \ \ \ \ \ \ \ ((6)}$

${\ displaystyle {= \ left ({\ text {mc}} \ right) ^{d} \ gamma ^{d-1} \ beta ^{d-2},}}$

Eller:

${\ displaystyle P_ {MJ} (\ gamma) \ propto \ gamma ^{d-1} \ beta ^{d-2}, e ^{-{\ frac {\ gamma} {\ Theta}}} \ propto \ gamma (\ gamma^{2} -1)^{{\ frac {d} {2}}-1} \ bullet e^{-{\ frac {\ gamma} {\ Theta}}} \ \ \ \ \ \ (7) \}$

Nå, fordi . Deretter normaliserer vi fordelingen Eq. (7). Vi setter ${\ displaystyle {\ frac {E} {k_ {b} T}} = {\ frac {\ gamma} {\ Theta}}}$

${\ displaystyle P_ {MJ} (p, \ Theta) dp_ {1} dp_ {2} .... dp_ {d} \ \ \ \ \ \ (8)}$

${\ displaystyle = N \ bullet e^{\ frac {-\ gamma (p)} {\ Theta}} dp_ {1} dp_ {2} .... dp_ {d}}$

Og den kantede integrasjonen:

${\ displaystyle {dp_ {1} dp_ {2} \ ldots dp_ {d} = B_ {d} p^{d-1} {\ text {dp}}}}}$

${\ displaystyle {= {\ frac {1} {2}} b_ {d} \ left ({\ text {mc}} \ right)^{d} \ left \ lbrack \ left ({\ frac {p} { \ text {mc}}} \ right) ^{2} \ right \ rbrack ^{{\ frac {d} {2}}-1} d \ left ({\ frac {p} {\ text {mc}} } \ høyre)^{2},}}$

Hvor er overflaten på enheten d-dimensjonal sfære. Deretter bruker vi identiteten vi har: ${\ displaystyle B_ {d} = 2 \ pi ^{\ frac {d} {2}}/\ Gamma \ venstre ({\ frac {d} {2}} \ høyre)}$${\ displaystyle \ gamma ^{2} = \ left ({\ frac {p} {\ text {mc}}} \ right) ^{2} +1}$

${\ displaystyle P _ {\ text {MJ}} (\ mathbf {p}}$;${\ displaystyle \ mathbf {\ Theta} \) dp_ {1} dp_ {2} \ ldots dp_ {d} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}$

${\ displaystyle = N \ bullet {\ frac {1} {2}} B_ {d} \ left ({\ text {mc}} \ right)^{d} \ bullet e^{-{\ frac {\ gamma } {\ Theta}}} \ venstre (\ gamma ^{2} -1 \ høyre) ^{{\ frac {d} {2}}-1 \} d \ venstre (\ gamma ^{2} -1 \ Ikke sant).}$

og

${\ displaystyle {1 = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} {P _ {\ text {MJ}} \ venstre (\ mathbf {p;} \ Theta \ right) dp_ {1} dp_ {2} \ ldots \ ldots dp_ {d}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10)}}$${\ displaystyle {= N \ bullet {\ frac {1} {2}} B_ {d} \ left ({\ text {mc}} \ right)^{d} \ bullet \ int _ {0}^{\ infty} {e^{-{\ frac {\ gamma} {\ Theta}}} \ venstre (\ gamma^{2} -1 \ høyre)^{{\ frac {d} {2}}-1}} d \ venstre (\ gamma ^{2} -1 \ høyre)}}$

${\ displaystyle {= N \ bullet {\ frac {1} {2}} B_ {d} \ left ({\ frac {d} {2}} \ right)^{-1} \ left ({\ text { mc}} \ høyre)^{d} \ Theta^{-1} \ bullet \ int _ {1}^{\ infty} {e^{-{\ frac {\ gamma} {\ Theta}}} \ venstre (\ gamma ^{2} -1 \ right) ^{\ frac {d} {2}}} {\ text {dγ}}}}$

${\ displaystyle {= N \ bullet {\ frac {1} {2}} B_ {d} \ left ({\ frac {d} {2}} \ right)^{-1} \ left ({\ text { mc}} \ right) ^{d} \ Theta ^{-1} \ bullet I_ {d},}}$

Der vi har definert integralet:

${\ displaystyle I_ {d} \ equiv \ int _ {1}^{\ infty} {e^{-{\ frac {\ gamma} {\ Theta}}} \ left (\ gamma^{2} -1 \ høyre)^{\ frac {d} {2}}} d \ gamma. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ((11) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}$

Macdonald -funksjonen (Avramovitz og Stegun, 1972, s. 376) er definert av:

${\ displaystyle K_ {n} (z) \ equiv {\ frac {\ pi ^{\ frac {1} {2}} ({\ frac {1} {2}} z) ^{n}} {\ Gamma (n+{\ frac {1} {2}})}} \ int _ {1}^{\ infty} e^{-zy} (\ gamma^{2} -1)^{n-{\ frac { 1} {2}}} d \ gamma \ \ \ \ \ \ ((12)}$

Slik at vi ved å sette opp får: ${\ displaystyle n = {\ frac {d+1} {2}}, \ z = {\ frac {1} {\ Theta}}}$

${\ displaystyle I_ {d} = \ Gamma ({\ frac {d} {2}}+1) \ pi ^{-{\ frac {1} {2}}} K _ {\ frac {d+1} { 2}} ({\ frac {1} {\ Theta}}) (2 \ Theta)^{\ frac {d+1} {2}} \ \ \ \ \ (13)}$

Derfor,

${\ displaystyle {N ^{-1} = {\ frac {\ pi ^{\ frac {d} {2}}} {\ Gamma \ venstre ({\ frac {d} {2}} \ høyre)}} \ venstre ({\ frac {d} {2}} \ høyre) ^{-1} \ Gamma \ venstre ({\ frac {d} {2}}+1 \ høyre) \ pi ^{-{\ frac { 1} {2}}} K _ {\ frac {d+1} {2}} \ venstre ({\ frac {1} {\ Theta}} \ høyre) \ venstre (2 \ Theta \ høyre)^{\ frac {d+1} {2}} \ backslash n} {= \ pi ^{\ frac {d-1} {2}} 2 ^{-{\ frac {d+1} {2}}} \ venstre ( {\ text {mc}} \ høyre) ^{d} \ bullet \ Theta ^{\ frac {d-1} {2}} K _ {\ frac {d+1} {2}} \ venstre ({\ frac {1} {\ Theta}} \ right), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (14a) \ \ \ \ \ \ \ \ \}}$

Eller

${\ displaystyle N = \ \ pi ^{\ frac {1-d} {2}} 2 ^{-{\ frac {d+1} {2}}} \ venstre ({\ text {mc}} \ høyre ) ^{-d} \ bullet \ Theta ^{\ frac {1-d} {2}} K _ {\ frac {d+1} {2}} \ venstre ({\ frac {1} {\ Theta}} \ høyre)^{-1} \, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ venstre (14b \ høyre)}$

Det omvendte av normaliseringskonstanten gir partisjonsfunksjonen ${\ displaystyle Z \ equiv {\ frac {1} {N}}:}$

${\ displaystyle Z = \ pi ^{\ frac {d-1} {2}} 2 ^{-{\ frac {d+1} {2}}} \ venstre ({\ text {mc}} \ høyre) ^{d} \ bullet \ Theta ^{\ frac {d-1} {2}} K _ {\ frac {d+1} {2}} \ venstre ({\ frac {1} {\ Theta}} \ høyre ), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ venstre (14c \ høyre)}$

Derfor er den normaliserte fordelingen:

${\ displaystyle P_ {MJ} (P; \ Theta) dp_ {1} dp_ {2} ... dp_ {d} \ \ \ \ \ (15a)}$

${\ displaystyle = \ pi ^{\ frac {1-d} {2}} 2 ^{-{\ frac {d+1} {2}}} (mc) ^{-d} \ bullet \ Theta ^{ \ frac {1-d} {2}} K _ {\ frac {d+1} {2}} ({\ frac {1} {\ Theta}})^{-1} \ ganger exp [-{\ frac {\ gamma (p)} {\ Theta}}] dp_ {1} dp_ {2} .... dp_ {d}}$

Eller vi kan få den normaliserte fordelingen når det gjelder:

${\ displaystyle P_ {mj} (\ gamma; \ Theta) d \ gamma \ \ \ \ \ \ \ \ (15b)}$

${\ displaystyle = {\ frac {\ pi ^{\ frac {1} {2}} 2 ^{\ frac {1-d} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {d} {2}} )}} K _ {\ frac {d+1} {2}} ({\ frac {1} {\ Theta}}) ^{-1} \ Theta ^{\ frac {1-d} {2}} e ^{-{\ frac {\ gamma} {\ Theta}}} (\ gamma ^{2} -1) ^{d/2-1} \ gamma d \ gamma}$

Vær oppmerksom på at det kan være sammenfallende med den termodynamiske definisjonen av temperatur. ${\ displaystyle \ Theta}$

Også nyttig er uttrykket for fordelingen i hastighetsrommet (Dunkel et al., 2007). Gitt det har vi: ${\ displaystyle {\ frac {d \ left ({\ text {βγ}} \ right)} {\ text {dβ}}} = \ gamma ^{3}}$

${\ displaystyle {dp_ {1} dp_ {2} \ ldots dp_ {d} = p^{d-1} {\ text {dpd}} \ Omega _ {d}} {= \ left ({\ text {mc }} \ right) ^{d} \ gamma ^{d-1} \ beta ^{d-1} {\ frac {d \ left ({\ text {βγ}} \ right)} {\ text {dβ} }} {\ text {dβd}} \ Omega _ {b}} {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}}$

${\ displaystyle {= \ left ({\ text {mc}} \ right) ^{d} \ gamma ^{d+2} \ beta ^{d-1} {\ text {dβd}} \ Omega _ {b }} {= \ venstre ({\ tekst {mc}} \ høyre) ^{d} \ gamma ^{d+2} d \ beta _ {1} \ ldots ..d \ beta _ {b}}}$

Derfor

${\ displaystyle {P _ {\ text {MJ}} \ venstre (\ mathbf {\ beta}; \ Theta \ right) d \ beta _ {1} d \ beta _ {2} \ ldots .d \ beta _ {d }} \ \ \ \ \ (15c)}$

${\ displaystyle {= \ pi ^{\ frac {1-d} {2}} 2 ^{-{\ frac {d+1} {2}}} \ bullet \ Theta ^{{\ frac {1-d } {2}} \} K _ {\ frac {d+1} {2}} \ venstre ({\ frac {1} {\ Theta}} \ høyre)^{-1}} {\ times \ exp {\ venstre \ lbrack \ -{\ frac {\ gamma \ left (\ beta \ right)} {\ Theta}} \ right \ rbrack \ gamma \ left (\ beta \ right)^{d+2} d \ beta _ { 1} d \ beta _ {2} \ ldots d \ beta _ {d}}}}$

Ta d = 3 (det "klassiske tilfellet" i vår verden):

${\ displaystyle P_ {MJ} (p; \ Theta) dp_ {1} dp_ {2} ..... dp_ {d} \ \ \ \ \ \ (16a)}$

${\ displaystyle = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ venstre ({\ text {mc}} \ høyre)^{-3} \ bullet {\ frac {1} {\ Theta}} K_ {2 } \ venstre ({\ frac {1} {\ Theta}} \ høyre)^{-1} \ bullet e^{-{\ frac {\ gamma (\ mathbf {p)} \} {\ Theta}}} dp_ {1} dp_ {2} dp_ {3}}$

Og

${\ displaystyle {P _ {\ text {MJ}} \ venstre (\ gamma; \ Theta \ høyre) d \ gamma =} \ \ \ \ \ (16b)}$

${\ displaystyle {{\ frac {1} {\ Theta}} K_ {2} \ venstre ({\ frac {1} {\ Theta}} \ høyre)^{-1} \ bullet e^{-{\ frac {\ gamma} {\ Theta}}} \ venstre (\ gamma ^{2} -1 \ høyre) ^{\ frac {1} {2}} {\ text {γdγ}}}}}$

${\ displaystyle {P _ {\ text {MJ}} \ venstre (\ mathbf {\ beta;} \ Theta \ right) d \ beta _ {1} d \ beta _ {2} d \ beta _ {3} = \ \ \ \ \ (16c)}}$

${\ displaystyle {\ frac {4} {\ pi}} \ bullet {\ frac {1} {\ Theta}} K_ {2} \ venstre ({\ frac {1} {\ Theta}} \ høyre)^{ -1} \ bullet \ exp \ left \ lbrack -{\ frac {\ gamma \ left (\ beta \ right)} {\ Theta}} \ \ right \ rbrack \ gamma \ left (\ beta \ right)^{5 } d \ beta _ {1} d \ beta _ {2} d \ beta _ {3}}$

Vær oppmerksom på at når MB -fordelingen tydelig avviker fra MJ -fordelingen med samme temperatur og dimensjonalitet, kan man feiltolke og utlede en annen MB -fordeling som vil gi en god tilnærming til MJ -fordelingen. Denne nye MB -fordelingen kan enten være (i) en konvertert MB -fordeling, det vil si en MB -fordeling med samme dimensjonalitet, men med forskjellig temperatur T _mb og massehastighet u _b (eller masseenergi ), eller (ii) en MB -fordeling med samme massehastighet, men med forskjellig temperatur T _MB og frihetsgrader d _MB . Disse to tilnærmingene er illustrert. ${\ displaystyle E_ {b} \ equiv {\ frac {1} {2}} mu+u_ {B}^{2}}$

Referanser

 Denne artikkelen inneholder tekst av George Livadiotis tilgjengelig under CC BY 3.0 -lisensen.