Øyeblikkskart - Moment map

I matematikk , spesielt i symplektisk geometri , er momentumkartet (eller, ved falsk etymologi, øyeblikkskart ) et verktøy assosiert med en Hamiltonian -handling av en Lie -gruppe på en symplektisk manifold , som brukes til å konstruere bevarte mengder for handlingen. Fremdriften kartet generaliserer de klassiske forestillinger om lineære og kantete momentum . Det er en vesentlig ingrediens i forskjellige konstruksjoner av symplektiske manifolder, inkludert symplektiske ( Marsden – Weinstein ) kvotienter , diskutert nedenfor, og symplektiske kutt og summer .

Formell definisjon

La M være en mangfold med symplektisk form ω. Anta at en Lie -gruppe G virker på M via symplektomorfismer (det vil si at virkningen av hver g i G bevarer ω). La være Lie -algebraen til G , dens dobbelte og ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}^{*}}$

${\ displaystyle \ langle, \ rangle: {\ mathfrak {g}}^{*} \ times {\ mathfrak {g}} \ to \ mathbf {R}}$

sammenkoblingen mellom de to. Enhver ξ in induserer et vektorfelt ρ (ξ) på M som beskriver den uendelige virkningen av ξ. For å være nøyaktig, ved et punkt x i M vektoren er ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ rho (\ xi) _ {x}}$

${\ displaystyle \ left. {\ frac {d} {dt}} \ right | _ {t = 0} \ exp (t \ xi) \ cdot x,}$

der er eksponentialkartet og betegner G -virkning på M . La oss betegne sammentrekningen av dette vektorfeltet med ω. Fordi G virker ved symplektomorfisme, følger det at det er lukket (for alle ξ in ). ${\ displaystyle \ exp: {\ mathfrak {g}} \ til G}$${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle \ iota _ {\ rho (\ xi)} \ omega \,}$${\ displaystyle \ iota _ {\ rho (\ xi)} \ omega \,}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Anta at det ikke bare er lukket, men også nøyaktig, slik at for noen funksjoner . Anta også at kartutsendelsen er en Lie algebra -homomorfisme. Da er et momentumskart for G -handlingen på ( M , ω) et kart slik at ${\ displaystyle \ iota _ {\ rho (\ xi)} \ omega \,}$${\ displaystyle \ iota _ {\ rho (\ xi)} \ omega = dH _ {\ xi}}$${\ displaystyle H _ {\ xi}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ til C^{\ infty} (M)}$${\ displaystyle \ xi \ mapsto H _ {\ xi}}$${\ displaystyle \ mu: M \ til {\ mathfrak {g}}^{*}}$

${\ displaystyle d (\ langle \ mu, \ xi \ rangle) = \ iota _ {\ rho (\ xi)} \ omega}$

for alle ξ in . Her er funksjonen fra M til R definert av . Momentumkartet er unikt definert opp til en additiv konstant for integrasjon. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ langle \ mu, \ xi \ rangle}$${\ displaystyle \ langle \ mu, \ xi \ rangle (x) = \ langle \ mu (x), \ xi \ rangle}$

Et momentumskart er ofte også påkrevd for å være G -ekvivalent, der G virker videre via den sammenhengende handlingen . Hvis gruppen er kompakt eller halvenkel, kan integrasjonskonstanten alltid velges for å gjøre momentumkartet til sammenhengende. Imidlertid må samhandlingshandlingen generelt modifiseres for å gjøre kartet likeverdig (dette er tilfellet for eksempel for den euklidiske gruppen ). Modifikasjonen er av en 1- syklus på gruppen med verdier i , som først beskrevet av Souriau (1970). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}^{*}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}^{*}}$

Hamiltonske gruppeaksjoner

Definisjonen av kartet momentum krever å bli stengt . I praksis er det nyttig å gjøre en enda sterkere antagelse. Den G -virkning sies å være Hamilton hvis og bare hvis følgende betingelser hold. Først, for hver ξ i ett-skjemaet er nøyaktig, noe som betyr at den er lik for noen glatt funksjon ${\ displaystyle \ iota _ {\ rho (\ xi)} \ omega}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ iota _ {\ rho (\ xi)} \ omega}$${\ displaystyle dH _ {\ xi}}$

${\ displaystyle H _ {\ xi}: M \ til \ mathbf {R}.}$

Hvis dette holder, kan man velge å gjøre kartet lineært. Det andre kravet for at G -handlingen skal være Hamiltonsk er at kartet er en Lie -algebra -homomorfisme fra til algebraen for glatte funksjoner på M under Poisson -braketten . ${\ displaystyle H _ {\ xi}}$${\ displaystyle \ xi \ mapsto H _ {\ xi}}$${\ displaystyle \ xi \ mapsto H _ {\ xi}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Hvis handlingen til G på ( M , ω) er Hamiltonian i denne forstand, så er et momentum -kart et kart slik at skriving definerer en Lie -algebra -homomorfisme som tilfredsstiller . Her er vektorfeltet til Hamiltonian , definert av ${\ displaystyle \ mu: M \ til {\ mathfrak {g}}^{*}}$${\ displaystyle H _ {\ xi} = \ langle \ mu, \ xi \ rangle}$${\ displaystyle \ xi \ mapsto H _ {\ xi}}$${\ displaystyle \ rho (\ xi) = X_ {H _ {\ xi}}}$${\ displaystyle X_ {H _ {\ xi}}}$${\ displaystyle H _ {\ xi}}$

${\ displaystyle \ iota _ {X_ {H _ {\ xi}}} \ omega = dH _ {\ xi}.}$

Eksempler på fartskart

Når det gjelder en Hamiltonian handling av sirkelen , er Lie algebra dual naturlig identifisert med , og momentum kartet er ganske enkelt den Hamiltonian funksjonen som genererer sirkel handlingen. ${\ displaystyle G = {\ mathcal {U}} (1)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}^{*}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Et annet klassisk tilfelle oppstår når er cotangent -pakken av og er den euklidiske gruppen generert av rotasjoner og oversettelser. Det vil si, er en seksdimensjonal gruppe, det semidirekte produktet av og . De seks komponentene i momentumkartet er da de tre vinkelmomentene og de tre lineære momentene. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle SO (3)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

La det være en jevn manifold og la den være en cotangent -pakke med projeksjonskart . La betegne den tautologiske 1-formen på . Anta handlinger på . Den induserte virkningen av den symplektiske manifolden , gitt av for er Hamiltonian med momentum -kart for alle . Her betegner sammentrekningen av vektorfeltet , den uendelige virkningen av , med 1-formen . ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle T^{*} N}$${\ displaystyle \ pi: T^{*} N \ høyre pil N}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle T^{*} N}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle (T^{*} N, \ mathrm {d} \ tau)}$${\ displaystyle g \ cdot \ eta: = (T _ {\ pi (\ eta)} g^{-1})^{*} \ eta}$${\ displaystyle g \ i G, \ eta \ i T^{*} N}$${\ displaystyle -\ iota _ {\ rho (\ xi)} \ tau}$${\ displaystyle \ xi \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ iota _ {\ rho (\ xi)} \ tau}$${\ displaystyle \ rho (\ xi)}$${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ tau}$

Fakta nevnt nedenfor kan brukes til å generere flere eksempler på fartskart.

Noen fakta om fartskart

La være Lie -grupper med henholdsvis Lie -algebraer . ${\ displaystyle G, H}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {h}}}$

1. La oss være en coadjoint bane . Deretter eksisterer det en unik symplektisk struktur slik at inkluderingskart er et momentum -kart.${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (F), F \ in {\ mathfrak {g}}^{*}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (F)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (F) \ hookrightarrow {\ mathfrak {g}}^{*}}$
2. La handle på en symplektisk mangfold med et momentum -kart for handlingen, og vær en Lie -gruppe -homomorfisme, som fremkaller en handling på . Da er handlingen av on også Hamiltonian, med momentumkart gitt av , hvor er det doble kartet til ( betegner identitetselementet til ). Et tilfelle av spesiell interesse er når er en Lie -undergruppe av og er inkluderingskartet.${\ displaystyle G}$${\ displaystyle (M, \ omega)}$${\ displaystyle \ Phi _ {G}: M \ rightarrow {\ mathfrak {g}}^{*}}$${\ displaystyle \ psi: H \ rightarrow G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle (\ mathrm {d} \ psi) _ {e}^{*} \ circ \ Phi _ {G}}$${\ displaystyle (\ mathrm {d} \ psi) _ {e}^{*}: {\ mathfrak {g}}^{*} \ rightarrow {\ mathfrak {h}}^{*}}$${\ displaystyle (\ mathrm {d} \ psi) _ {e}: {\ mathfrak {h}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ psi}$
3. La oss være en Hamiltonian -manifold og en Hamiltonian -manifold. Deretter er den naturlige virkningen av on Hamiltonian, med momentumkart den direkte summen av de to momentumkartene og . Her , hvor betegner projeksjonskartet.${\ displaystyle (M_ {1}, \ omega _ {1})}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle (M_ {2}, \ omega _ {2})}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G \ ganger H}$${\ displaystyle (M_ {1} \ ganger M_ {2}, \ omega _ {1} \ ganger \ omega _ {2})}$${\ displaystyle \ Phi _ {G}}$${\ displaystyle \ Phi _ {H}}$${\ displaystyle \ omega _ {1} \ times \ omega _ {2}: = \ pi _ {1}^{*} \ omega _ {1}+\ pi _ {2}^{*} \ omega _ { 2}}$${\ displaystyle \ pi _ {i}: M_ {1} \ ganger M_ {2} \ høyre pil M_ {i}}$
4. La oss være en Hamiltonian -manifold, og en submanifold av invariant under slik at begrensningen av den symplektiske formen til ikke er degenerert. Dette gir en symplektisk struktur på en naturlig måte. Da er handlingen av on også Hamiltonian, med momentum map sammensetningen av inkluderingskartet med momentum map.${\ displaystyle M}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$

Sympektiske kvotienter

Anta at virkningen av en kompakt Lie -gruppe G på den symplektiske manifolden ( M , ω) er Hamiltonian, som definert ovenfor, med momentum -kart . Fra Hamilton tilstand følger det at er invariant henhold G . ${\ displaystyle \ mu: M \ til {\ mathfrak {g}}^{*}}$${\ displaystyle \ mu ^{-1} (0)}$

Anta nå at 0 er en vanlig verdi på μ og at G virker fritt og riktig på . Dermed og kvoten er begge mangfoldige. Kvotienten arver en symplektisk form fra M ; det vil si at det er en unik symplektisk form på kvotienten hvis tilbaketrekking til tilsvarer begrensningen av ω til . Dermed er kvoten en symplektisk mangfold, kalt Marsden - Weinstein -kvotienten , symplektisk kvotient eller symplektisk reduksjon av M med G og er betegnet . Dens dimensjon lik dimensjon M minus to ganger dimensjonen av G . ${\ displaystyle \ mu ^{-1} (0)}$${\ displaystyle \ mu ^{-1} (0)}$ ${\ displaystyle \ mu ^{-1} (0)/G}$${\ displaystyle \ mu ^{-1} (0)}$${\ displaystyle \ mu ^{-1} (0)}$${\ displaystyle M/\! \!/G}$

Flate forbindelser på en overflate

Den plass av forbindelser på det trivielle bunten på en overflate bærer et uendelig dimensjonal symplectic skjema ${\ displaystyle \ Omega ^{1} (\ Sigma, {\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle \ Sigma \ ganger G}$

${\ displaystyle \ langle \ alpha, \ beta \ rangle: = \ int _ {\ Sigma} {\ text {tr}} (\ alpha \ wedge \ beta).}$

Målergruppen virker på forbindelser ved konjugering . Identifiser via integreringsparingen. Deretter kartet ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} = {\ text {Map}} (\ Sigma, G)}$${\ displaystyle g \ cdot A: = g^{-1} (dg)+g^{-1} Ag}$${\ displaystyle {\ text {Lie}} ({\ mathcal {G}}) = \ Omega ^{0} (\ Sigma, {\ mathfrak {g}}) = \ Omega ^{2} (\ Sigma, { \ mathfrak {g}})^{*}}$

${\ displaystyle \ mu: \ Omega ^{1} (\ Sigma, {\ mathfrak {g}}) \ rightarrow \ Omega ^{2} (\ Sigma, {\ mathfrak {g}}), \ qquad A \; \ mapsto \; F: = dA+{\ frac {1} {2}} [A \ kile A]}$

som sender en forbindelse til sin krumning, er et øyeblikkskart for målergruppens handling på forbindelser. Spesielt er modulirommet for flate forbindelser modulo gaugeekvivalens gitt ved symplektisk reduksjon. ${\ displaystyle \ mu ^{-1} (0)/{\ mathcal {G}} = \ Omega ^{1} (\ Sigma, {\ mathfrak {g}})/\! \!/{\ mathcal { G}}}$

Se også

• GIT -kvotient
• Kvantisering pendler med reduksjon .
• Poisson – Lie -gruppen
• Torisk manifold
• Geometrisk mekanikk
• Kirwan kart
• Kostants konveksitetsteorem

Merknader

Referanser

• J.-M. Souriau, Structure des systèmes dynamiques , Maîtrises de mathématiques, Dunod, Paris, 1970. ISSN  0750-2435 .
• SK Donaldson og PB Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds , Oxford Science Publications, 1990. ISBN  0-19-850269-9 .
• Dusa McDuff og Dietmar Salamon, Introduction to Symplectic Topology , Oxford Science Publications, 1998. ISBN  0-19-850451-9 .
• Choquet-Bruhat, Yvonne ; DeWitt-Morette, Cécile (1977), Analysis, Manifolds and Physics , Amsterdam: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
• Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor S. (2004). Momentum -kart og Hamiltonian reduksjon . Fremgang i matematikk. 222 . Birkhauser Boston. ISBN 0-8176-4307-9.
• Audin, Michèle (2004), Torus actions on symplectic manifolds , Progress in Mathematics, 93 (Second revised ed.), Birkhäuser, ISBN 3-7643-2176-8
• Guillemin, Victor ; Sternberg, Shlomo (1990), Symplectic techniques in physics (Andre utgave), Cambridge University Press, ISBN 0-521-38990-9
• Woodward, Chris (2010), Moment maps and geometric invariant theory , Les cours du CIRM, 1 , EUDML, s. 55–98, arXiv : 0912.1132 , Bibcode : 2009arXiv0912.1132W
• Bruguières, Alain (1987), "Propriétés de convexité de l'application moment" (PDF) , Astérisque , Séminaire Bourbaki, 145–146: 63–87