Mangfold (matematikk) - Multiplicity (mathematics)

I matematikk er mangfoldet av et medlem av et multisett antall ganger det vises i multisettet. For eksempel er antallet ganger et gitt polynom har en rot på et gitt punkt multiplisiteten til den roten.

Begrepet mangfold er viktig for å kunne telle riktig uten å angi unntak (for eksempel doble røtter talt to ganger). Derav uttrykket "regnet med mangfold".

Hvis mangfoldet ignoreres, kan dette understrekes ved å telle antall forskjellige elementer, som i "antall forskjellige røtter". Når et sett (i motsetning til multisett) dannes, ignoreres imidlertid mangfoldet automatisk, uten at det er nødvendig å bruke begrepet "distinkt".

Mangfold av en hovedfaktor

Ved primær faktorisering , for eksempel,

60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5,

multiplisiteten til primfaktoren 2 er 2, mens multipliteten til hver av primfaktorene 3 og 5 er 1. Dermed har 60 fire primfaktorer som tillater multiplikasjoner, men bare tre forskjellige primfaktorer.

Mangfold av en rot av et polynom

La være et felt og være et polynom i en variabel med koeffisienter i . Et element er en rot av mangfoldet av hvis det er et polynom slik at og . Hvis , da en kalles en enkel rot . Hvis , så kalles en multiple root . ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle p (x)}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle a \ i F}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle p (x)}$ ${\ displaystyle s (x)}$ ${\ displaystyle s (a) \ neq 0}$ ${\ displaystyle p (x) = (xa)^{k} s (x)}$ ${\ displaystyle k = 1}$ ${\ displaystyle k \ geq 2}$ ${\ displaystyle a}$

For eksempel har polynomet 1 og -4 som røtter , og kan skrives som . Dette betyr at 1 er en rot av multiplisitet 2, og −4 er en enkel rot (av multiplicity 1). Mangfoldet av en rot er antall forekomster av denne roten i fullstendig faktorisering av polynomet, ved hjelp av den grunnleggende teoremet om algebra . ${\ displaystyle p (x) = x^{3}+2x^{2} -7x+4}$ ${\ displaystyle p (x) = (x+4) (x-1)^{2}}$

Hvis er en rot av multipelen til et polynom, så er det en rot av mangfoldigheten av dets derivat , bortsett fra hvis egenskapen til feltet er en divisor av $k$ , i så fall er en rot av multiplisitet i det minste av derivatet. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k-1}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle k}$

Den diskriminant av et polynom er null hvis og bare hvis polynomet har et multiplum rot.

Oppførsel av en polynomfunksjon nær en flere rot

Graf over x ³ + 2 x ² - 7 x + 4 med en enkel rot (multiplisitet 1) ved x = −4 og en rot med multiplisitet 2 ved x = 1. Grafen krysser x -aksen ved den enkle roten. Den tangerer x -aksen ved multiple rot og krysser den ikke, siden multiplisiteten er jevn.

Den graf av en polynomisk funksjon f berører den x -aksen på de virkelige røttene i polynomet. Grafen er tangent til den ved flere røtter av f og ikke tangent ved de enkle røttene. Grafen krysser x -aksen ved røtter med ulik multiplisitet og krysser den ikke ved røtter med jevn multiplisitet.

En ikke-null polynomfunksjon er overalt ikke-negativ hvis og bare hvis alle røttene har jevn mangfold og det eksisterer en slik . ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle f (x_ {0})> 0}$

Kryssende mangfold

I algebraisk geometri er skjæringspunktet mellom to sub-varianter av en algebraisk variant en begrenset forening av ureduserbare varianter . Til hver komponent i et slikt kryss er det knyttet et kryss mangfold . Denne oppfatningen er lokal i den forstand at den kan defineres ved å se på hva som skjer i nærheten av et hvilket som helst generisk punkt i denne komponenten. Det følger at uten tap av generalitet kan vi vurdere, for å definere kryssingsmultiplikiteten, krysset mellom to affinesorter (sub-varianter av et affint rom).

Gitt to affine varianter V ₁ og V ₂ , bør du derfor vurdere en irreduserbar komponent W i krysset mellom V ₁ og V ₂ . La d være den dimensjon av W , og P være en hvilken som helst generisk punkt av W . Skjæringspunktet for W med d hyperplanes i generell stilling som passerer gjennom P har et ikke-reduserbare komponent som er redusert til en enkelt punkt P . Derfor har den lokale ringen ved denne komponenten av koordinatringen i krysset bare ett hovedideal , og er derfor en artinsk ring . Denne ringen er dermed et endelig dimensjonalt vektorrom over bakken. Dens dimensjon er skjæringspunktet mellom multiplisiteten av V- ₁ og V- ₂ på W .

Denne definisjonen lar oss presisere Bézouts teorem og generaliseringer.

Denne definisjonen generaliserer mangfoldet av en rot av et polynom på følgende måte. Røttene til et polynom f er punkter på affinelinjen , som er komponentene i det algebraiske settet definert av polynomet. Koordinatringen til dette affinesettet er hvor K er et algebraisk lukket felt som inneholder koeffisientene til f . Dersom er faktorisering av f , da den lokale ring av R ved prime ideelle er Dette er en vektor rommet over K , som har en mangfoldighet av roten som en dimensjon. ${\ displaystyle R = K [X]/\ langle f \ rangle,}$ ${\ displaystyle f (X) = \ prod _ {i = 1}^{k} (X- \ alpha _ {i})^{m_ {i}}}$ ${\ displaystyle \ langle X- \ alpha _ {i} \ rangle}$ ${\ displaystyle K [X]/\ langle (X- \ alpha)^{m_ {i}} \ rangle.}$ ${\ displaystyle m_ {i}}$

Denne definisjonen av kryssmultiplikitet, som hovedsakelig skyldes Jean-Pierre Serre i boken Local Algebra , fungerer bare for de settteoretiske komponentene (også kalt isolerte komponenter ) i krysset, ikke for de innebygde komponentene . Teorier er utviklet for å håndtere den innebygde saken (se Intersection theory for detaljer).

I kompleks analyse

La z ₀ være en rot av en holomorf funksjon f , og la n være det minst positive heltallet slik at n ^th -derivatet av f evaluert ved z _{0 er} forskjellig fra null. Da kraften serie av f ca z ₀ begynner med den n- ^te sikt, og f sies å ha en rot av multiplisitet (eller “orden”) n . Hvis n = 1, kalles roten en enkel rot.

Vi kan også definere mangfoldet av nuller og poler i en meromorf funksjon slik: Hvis vi har en meromorf funksjon, ta Taylor-utvidelsene av g og h om et punkt z ₀ , og finn det første ikke-null-uttrykket i hver (betegne rekkefølgen på begrepene henholdsvis m og n ). hvis m = n , har punktet en verdi som ikke er null. Hvis punktet er et null av multiplisitet Hvis , så har punktet en pol av multiplisitet ${\ textstyle f = {\ frac {g} {h}},}$ ${\ displaystyle m> n,}$ ${\ displaystyle mn.}$ ${\ displaystyle m <n}$ ${\ displaystyle nm.}$