Parallelliserbar manifold - Parallelizable manifold

I matematikk kalles en differensierbar manifold av dimensjon n parallelliserbar hvis det finnes glatte vektorfelt${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ {V_ {1}, \ prikker, V_ {n} \}}$

på manifolden, slik at på hvert punkt av de tangentvektorene${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ {V_ {1} (p), \ prikker, V_ {n} (p) \}}$

gi et grunnlag for det tangente rommet ved . Tilsvarende er tangentbunten en triviell bunt , slik at den tilknyttede hovedbunten med lineære rammer har en global seksjon om ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M.}$

Et bestemt valg av et slikt grunnlag for vektorfelt på kalles en parallellisering (eller en absolutt parallellisme ) av . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Eksempler

• Et eksempel med n = 1 er sirkelen : vi kan ta V ₁ som enhetens tangensvektorfelt, si peker mot urviseren. Den torus av dimensjon n er også paralell, som det kan sees ved å uttrykke den som en kartesisk produkt av sirkler. Ta for eksempel n = 2, og konstruer en torus fra et kvadrat med grafpapir med motsatte kanter limt sammen for å få en ide om de to tangentretningene på hvert punkt. Mer generelt er hver Lie-gruppe G parallelliserbar, siden et grunnlag for det tangente rommet ved identitetselementet kan beveges rundt ved handlingen av oversettelsesgruppen til G på G (hver oversettelse er en diffeomorfisme og derfor induserer disse oversettelsene lineære isomorfismer mellom tangente mellomrom av punkter i G ).
• En klassisk problem var å bestemme hvilke av kulene S ⁿ er paralell. Det nulldimensjonale tilfellet S ⁰ er trivielt parallelliserbart. Tilfellet S ¹ er sirkelen, som kan parallelliseres som allerede er forklart. Den hårete kulesetningen viser at S ² ikke er parallelliserbar. Imidlertid er S ³ parallelliserbar, siden det er Lie-gruppen SU (2) . Den eneste andre parallelliserbare sfæren er S ⁷ ; Dette ble bevist i 1958, av Michel Kervaire , og av Raoul Bott og John Milnor , i uavhengig arbeid. De parallelliserbare kulene samsvarer nøyaktig med elementene i enhetsnormen i den normerte divisjonsalgebraene av de reelle tallene, de komplekse tallene, kvaternionene og oktjonene , som gjør det mulig å konstruere en parallellitet for hver. Å bevise at andre sfærer ikke er parallelliserbare er vanskeligere, og krever algebraisk topologi .
• Produktet av parallelliserbare fordeler er parallelliserbart.
• Hver orienterbar tredimensjonal manifold kan parallelliseres.

Merknader

• Enhver parallelliserbar manifold er orienterbar .
• Begrepet innrammet manifold (av og til rigget manifold ) brukes vanligvis på en innebygd manifold med en gitt trivialisering av den normale bunten , og også for en abstrakt (dvs. ikke-innebygd) manifold med en gitt stabil trivialisering av tangentbunten .
• Et beslektet begrep er begrepet en π-manifold . En glatt manifold M kalles en π-manifold hvis den normale bunten er triviell når den er innebygd i et høyt dimensjonalt euklidisk rom. Spesielt er hver parallelliserbare manifold en π-manifold.

Se også

• Diagram (topologi)
• Differensierbar manifold
• Rammebunt
• Kervaire invariant
• Ortonnormal rammebunt
• Hovedpakke
• Tilkobling (matematikk)
• G-struktur

Merknader

Referanser

• Bishop, Richard L .; Goldberg, Samuel I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN   0-486-64039-6
• Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974), Karakteristiske klasser , Princeton University Press
• Milnor, John W. (1958), differensierbare manifolder som er homotopisfærer (PDF) , mimeografiske notater