Kervaire invariant - Kervaire invariant

I matematikk er Kervaire-invarianten en invariant av et innrammet dimensjonalt manifold som måler om manifolden kan omdannes kirurgisk til en sfære. Denne invarianten evalueres til 0 om manifolden kan konverteres til en sfære, og 1 ellers. Denne invarianten ble oppkalt etter Michel Kervaire som bygde videre på arbeidet til Cahit Arf . ${\ displaystyle (4k + 2)}$

Kervaire-invarianten er definert som Arf-invarianten til den skjev-kvadratiske formen på den midtdimensjonale homologigruppen . Det kan tenkes som den enkelt koblede kvadratiske L-gruppen , og dermed analog med de andre invarianter fra L-teorien: signaturen , en -dimensjonal invariant (enten symmetrisk eller kvadratisk ), og De Rham-invarianten , en - dimensjonal symmetrisk invariant . ${\ displaystyle L_ {4k + 2}}$${\ displaystyle 4k}$${\ displaystyle L ^ {4k} \ cong L_ {4k}}$${\ displaystyle (4k + 1)}$${\ displaystyle L ^ {4k + 1}}$

I en gitt dimensjon er det bare to muligheter: enten har alle manifoldene Arf – Kervaire invariant lik 0, eller halvparten har Arf – Kervaire invariant 0 og den andre halvparten har Arf – Kervaire invariant 1.

Det Kervaire invariant problem er problemet med å bestemme i hvilke dimensjoner de Kervaire invariant kan være forskjellig fra null. For differensierbare manifolder kan dette skje i dimensjoner 2, 6, 14, 30, 62 og muligens 126, og uten andre dimensjoner. Det endelige tilfellet av dimensjon 126 forblir åpent.

Definisjon

Kervaire-invarianten er Arf-invarianten av den kvadratiske formen bestemt av innrammingen på den midtdimensjonale - koeffisient homologigruppen ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle q \ colon H_ {2m + 1} (M; \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) \ to \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z},}$

og blir derfor noen ganger kalt Arf – Kervaire-invarianten . Den kvadratiske formen (riktig, skjev-kvadratisk form ) er en kvadratisk forbedring av den vanlige ε-symmetriske formen på den midtdimensjonale homologien til en (ikke innrammet) jevnt dimensjonal manifold; innrammingen gir kvadratisk raffinement.

Den kvadratiske formen q kan defineres av algebraisk topologi ved hjelp av funksjonelle Steenrod-firkanter , og geometrisk via selvskjæringspunktene for nedsenking bestemt av innrammingen, eller av trivialiteten / ikke-trivialiteten til de normale bunter av innbunning (for ) og mod 2 Hopf invariant av kart (for ). ${\ displaystyle S ^ {2m + 1}}$${\ displaystyle \ to}$ ${\ displaystyle M ^ {4m + 2}}$${\ displaystyle S ^ {2m + 1}}$${\ displaystyle \ to}$ ${\ displaystyle M ^ {4m + 2}}$${\ displaystyle m \ neq 0,1,3}$${\ displaystyle S ^ {4m + 2 + k} \ til S ^ {2m + 1 + k}}$${\ displaystyle m = 0,1,3}$

Historie

Kervaire-invarianten er en generalisering av Arf-invarianten av en innrammet overflate (det vil si et todimensjonalt manifold med stabilt trivialisert tangentbunt) som ble brukt av Lev Pontryagin i 1950 for å beregne homotopigruppen kart (for ), som er kobordismegruppen av overflater innebygd i trivialisert normalbunt . ${\ displaystyle \ pi _ {n + 2} (S ^ {n}) = \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle S ^ {n + 2}}$ ${\ displaystyle \ to}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$${\ displaystyle n \ geq 2}$${\ displaystyle S ^ {n + 2}}$

Kervaire (1960) brukte sin invariant for n  = 10 for å konstruere Kervaire manifold , en 10-dimensjonal PL manifold uten differensierbar struktur , det første eksemplet på en slik manifold, ved å vise at hans invariant ikke forsvinner på denne PL manifolden, men forsvinner på alle glatte manifolder av dimensjon 10.

Kervaire & Milnor (1963) beregner gruppen av eksotiske kuler (i dimensjon større enn 4), med ett trinn i beregningen, avhengig av Kervaire-invariantproblemet. Spesielt viser de at settet med eksotiske sfærer av dimensjon n - spesifikt monoiden av glatte strukturer på standard n -sfæren - er isomorf for gruppen av h- kobordismeklasser av orientert homotopi n- sfærer . De beregner dette sistnevnte i form av et kart ${\ displaystyle \ Theta _ {n}}$

${\ displaystyle \ Theta _ {n} / bP_ {n + 1} \ til \ pi _ {n} ^ {S} / J, \,}$

hvor er den sykliske undergruppe av n -spheres som bandt en paralell manifold av dimensjon , er den n- te stabil homotopiteori gruppe av kuler , og J er et bilde av den J-homomorfi , som også er en syklisk gruppe. Gruppene og har lett forstått sykliske faktorer, som er trivielle eller rekkefølge to, bortsett fra i dimensjon , i hvilket tilfelle de er store, med rekkefølge relatert til Bernoulli-tallene . Kvotientene er de vanskelige delene av gruppene. Kartet mellom disse kvotientgruppene er enten en isomorfisme eller er injiserende og har et bilde av indeks 2. Det er sistnevnte hvis og bare hvis det er en n- dimensjonalt innrammet mangfold av ikke-nul Kervaire invariant, og dermed avhenger klassifiseringen av eksotiske kuler opp til faktor 2 på Kervaire-invariantproblemet. ${\ displaystyle bP_ {n + 1}}$${\ displaystyle n + 1}$${\ displaystyle \ pi _ {n} ^ {S}}$${\ displaystyle bP_ {n + 1}}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle n = 4k + 3}$

Eksempler

For den standard innebygde torusen er den skew-symmetriske formen gitt av (med hensyn til det standard symplektiske grunnlaget ), og den skew-kvadratiske raffinementen er gitt av med hensyn til dette grunnlaget:: basiskurvene kobler ikke selv; og : a (1,1) selvlenker, som i Hopf-fibrering . Denne formen har altså Arf-invariant 0 (de fleste av elementene har norm 0; den har isotropiindeks 1), og dermed har standard innebygd torus Kervaire invariant 0. ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle Q (1,0) = Q (0,1) = 0}$${\ displaystyle Q (1,1) = 1}$

Kervaire invariant problem

Spørsmålet om i hvilke dimensjoner n det er n -dimensjonale innrammede manifolder av ikke-null Kervaire invariant kalles Kervaire invariant problem . Dette er bare mulig hvis n er 2 mod 4, og faktisk må man ha n er av formen (to mindre enn en styrke på to). Spørsmålet er nesten helt løst; fra og med 2019 er bare tilfelle av dimensjon 126 åpen: det er manifolder med ikke-null Kervaire invariant i dimensjon 2, 6, 14, 30, 62, og ingen i alle andre dimensjoner enn mulig 126. ${\ displaystyle 2 ^ {k} -2}$

Hovedresultatene er de fra William Browder  ( 1969 ), som reduserte problemet fra differensialtopologi til stabil homotopiteori og viste at de eneste mulige dimensjonene er , og de av Michael A. Hill, Michael J. Hopkins og Douglas C. Ravenel ( 2016 ), som viste at det ikke var slike manifolder for ( ). Sammen med eksplisitte konstruksjoner for lavere dimensjoner (til og med 62), etterlater dette bare dimensjon 126. ${\ displaystyle 2 ^ {k} -2}$${\ displaystyle k \ geq 8}$${\ displaystyle n \ geq 254}$

Det ble antatt av Michael Atiyah at det er en slik manifold i dimensjon 126, og at de høyere dimensjonale manifoldene med ikke-null Kervaire invariant er relatert til kjente eksotiske manifolds to dimensjoner høyere, i dimensjoner 16, 32, 64 og 128, nemlig Cayley-projeksjonsplanet (dimensjon 16, octonionic projective plane) og det analoge Rosenfeld-projective planet (det bi-octonionic projective planet i dimensjon 32, det quateroctonionic projiserende planet i dimensjon 64, og det octo-octonionic projeksjonsplanet i dimensjon 128), spesielt at det er en konstruksjon som tar disse projiserende flyene og produserer en manifold med ikke-null Kervaire invariant i to dimensjoner lavere. ${\ displaystyle \ mathbf {O} P ^ {2}}$

Historie

• Kervaire (1960) beviste at Kervaire-invarianten er null for mangfold av dimensjon 10, 18
• Kervaire & Milnor (1963) beviste at Kervaire-invarianten kan være nul for manifolder av dimensjon 6, 14
• Anderson, Brown & Peterson (1966) beviste at Kervaire-invarianten er null for manifolder av dimensjon 8 n +2 for n > 1harvtxt feil: ikke noe mål: CITEREFAndersonBrownPeterson1966 ( hjelp )
• Mahowald & Tangora (1967) beviste at Kervaire-invarianten kan være nul for manifolder av dimensjon 30
• Browder (1969) beviste at Kervaire-invarianten er null for manifolds av dimensjon n ikke av formen 2 ^k  -  2 .
• Barratt, Jones & Mahowald (1984) viste at Kervaire-invarianten ikke er null for noen mangfold av dimensjon 62. Et alternativt bevis ble gitt senere av Xu (2016) .
• Hill, Hopkins & Ravenel (2016) viste at Kervaire-invarianten er null for n -dimensjonale innrammede manifolder for n = 2 ^k - 2 med k ≥ 8. De konstruerte en kohomologiteori Ω med følgende egenskaper som resultatet deres følger umiddelbart:
  • Koeffisientgruppene Ω ⁿ (punkt) har periode 2 ⁸  = 256 i n
  • Koeffisientgruppene Ω ⁿ (punkt) har et "gap": de forsvinner for n = -1, -2 og -3
  • Koeffisientgruppene Ω ⁿ (punkt) kan oppdage ikke-forsvinnende Kervaire-invarianter: mer presist hvis Kervaire-invarianten for manifolder av dimensjon n ikke er null, har den et ikke-nullbilde i Ω ^{- n} (punkt)

Kervaire – Milnor invariant

Den Kervaire-Milnor invariant er en nært beslektet invariant av innrammet operasjon av en 2, 6 eller 14-dimensjonal ramme manifold, som gir isomorphisms fra den andre og sjette stabil homotopiteori gruppe av kuler til , og en homomorfi fra 14 stabil homotopi gruppe sfærer på . For n = 2, 6, 14 er det en eksotisk innramming med Kervaire – Milnor invariant 1. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle S ^ {n / 2} \ times S ^ {n / 2}}$

Se også

• Signatur , en 4 k- dimensjonal invariant
• De Rham-invariant , en (4 k  + 1) -dimensjonal invariant

Referanser

Eksterne linker

• Lysbilder og video av forelesning av Hopkins i Edinburgh 21. april 2009
• Arf-Kervaire hjemmeside til Doug Ravenel
• Harvard-MIT sommerseminar om Kervaire Invariant
• 'Kervaire Invariant One Problem' Løst 23. april 2009, blogginnlegg av John Baez og diskusjon, The n-Category Café
• Eksotiske kuler ved manifoldatlaset

Populære nyheter

• Hypersphere Exotica: Kervaire Invariant Problem har en løsning! Et 45 år gammelt problem på høyere dimensjonale sfærer er løst - sannsynligvis av Davide Castelvecchi, august 2009 Scientific American
• Ball, Philip (2009). "Skjult gåte med former løst". Natur . doi : 10.1038 / nyheter.2009.427 .
• Matematikere løser 45 år gamle Kervaire-invariante puslespill , Erica Klarreich, 20. juli 2009