Poyntings teorem - Poynting's theorem

I elektrodynamikk er Poyntings teorem en uttalelse om bevaring av energi for det elektromagnetiske feltet ,, i form av en delvis differensialligning utviklet av den britiske fysikeren John Henry Poynting . Poyntings teorem er analogt med arbeidsenergisetningen i klassisk mekanikk , og matematisk lik kontinuitetsligningen , fordi den relaterer energien som er lagret i det elektromagnetiske feltet til arbeidet utført på en ladningsfordeling (dvs. et elektrisk ladet objekt), gjennom energi fluks .

Uttalelse

Generell

Med ord er teoremet en energibalanse:

Den grad av energioverføring (per volum) fra en region av plass er lik frekvensen av arbeid utført på en ladningsfordeling pluss energifluksen forlate dette området.

En annen uttalelse kan også forklare teoremet - "Nedgangen i elektromagnetisk energi per tidsenhet i et bestemt volum er lik summen av arbeidet utført av feltkreftene og netto utoverstrømning per tidsenhet".

Matematisk,

der ∇ • S er divergensen av Poynting -vektoren (energistrøm) og J • E er hastigheten som feltene jobber med et ladet objekt ( J er strømtettheten som tilsvarer ladningens bevegelse, E er det elektriske feltet , og • er prikkproduktet ). Den energitettheten u , forutsatt at ingen elektrisk eller magnetisk polarisasjonsevne , er gitt ved:

${\ displaystyle u = {\ frac {1} {2}} \ venstre (\ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {E} +{\ frac {1} {\ mu _ {0} }} \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {B} \ right)}$

hvor B er den magnetiske fluks -tettheten . Ved å bruke divergenssetningen kan Poyntings teorem skrives om i integrert form :

der er grensen for et volum V . Formen på volumet er vilkårlig, men fast for beregningen. ${\ displaystyle \ delvis V \!}$

Elektroteknikk

I elektroteknisk sammenheng blir teoremet vanligvis skrevet med energitetthetsterminalen u utvidet på følgende måter, som ligner kontinuitetsligningen :

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {S} +\ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ partiell \ mathbf {E}} {\ delvis t}} +{\ frac {\ mathbf {B}} {\ mu _ {0}}} \ cdot {\ frac {\ partiell \ mathbf {B}} {\ delvis t}}+\ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {E} = 0, }$

hvor

• ε ₀ er den elektriske konstanten og μ ₀ er den magnetiske konstanten .
• ${\ displaystyle \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partiell t}}}$er tettheten av reaktiv kraft som driver oppbyggingen av elektrisk felt,
• ${\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {B}} {\ mu _ {0}}} \ cdot {\ frac {\ partiell \ mathbf {B}} {\ delvis t}}}$er tettheten av reaktiv effekt som driver oppbygging av magnetfelt, og
• ${\ displaystyle \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {E}}$er tettheten av elektrisk kraft spredt av Lorentz -kraften som virker på ladningsbærere.

Avledning

Mens bevaring av energi og Lorentz -kraftloven kan gi den generelle formen for teoremet, kreves det også Maxwells ligninger for å utlede uttrykket for Poynting -vektoren og dermed fullføre utsagnet.

Poyntings teorem

Med tanke på utsagnet med ordene ovenfor - er det tre elementer i teoremet, som innebærer å skrive energioverføring (per tidsenhet) som volumintegraler :

1. Siden u er energitettheten, gir integrering over volumet i regionen den totale energien U som er lagret i regionen, og tar (delvis) tidderivatet gir endringshastigheten for energi:
   $${\ displaystyle U = \ int _ {V} u \, dV \ \ rightarrow \ {\ frac {\ partiell U} {\ delvis t}} = {\ frac {\ partial} {\ delvis t}} \ int _ {V} u \, dV = \ int _ {V} {\ frac {\ partiell u} {\ delvis t}} dV.}$$

   
2. Energifluksen som forlater regionen er overflateintegralen til Poynting -vektoren, og ved hjelp av divergenssetningen kan dette skrives som et volumintegral:
   $${\ displaystyle \ oint _ {\ delvis V} \ mathbf {S} \ cdot d \ mathbf {A} = \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {S} dV.}$$

   
3. Den Lorentz-kraften tetthet f på en ladningsfordeling, integrert over volumet for å få den totale kraft F , er
   $${\ displaystyle \ mathbf {f} = \ rho \ mathbf {E} +\ mathbf {J} \ times \ mathbf {B} \ \ rightarrow \ \ int _ {V} \ mathbf {f} dV = \ mathbf {F } = \ int _ {V} (\ rho \ mathbf {E} +\ mathbf {J} \ times \ mathbf {B}) dV,}$$

   
   hvor ρ er ladningstettheten til fordelingen og v dens hastighet . Siden er hastigheten på arbeidet utført av styrken${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ rho \ mathbf {v}}$
   $${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} = \ int _ {V} \ left (\ rho \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {v} +\ rho \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {v} \ right) dV \ \ rightarrow \ \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} = \ int _ {V} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {J} dV.}$$

   

Så ved bevaring av energi er balanseligningen for energistrømmen per tidsenhet den integrerte formen for teoremet:

${\ displaystyle -\ int _ {V} {\ frac {\ partiell u} {\ delvis t}} dV = \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {S} dV+\ int _ {V} \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {E} dV,}$

og siden bind V er vilkårlig, gjelder dette for alle bind, noe som betyr

${\ displaystyle -{\ frac {\ partiell u} {\ delvis t}} = \ nabla \ cdot \ mathbf {S} +\ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {E},}$

som er Poyntings teorem i differensiell form.

Poynting vektor

Fra teorem, den faktiske formen av Poynting vektor S kan bli funnet. Tidsderivatet av energitettheten (ved å bruke produktregelen for vektorpunktprodukter ) er

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell u} {\ delvis t}} = {\ frac {1} {2}} \ venstre (\ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ partiell \ mathbf {D}} {\ delvis t}}+\ mathbf {D} \ cdot {\ frac {\ partiell \ mathbf {E}} {\ delvis t}}+\ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ delvis \ mathbf {B }} {\ delvis t}}+\ mathbf {B} \ cdot {\ frac {\ partiell \ mathbf {H}} {\ delvis t}} \ høyre) = \ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ delvis \ mathbf {D}} {\ delvis t}}+\ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ delvis \ mathbf {B}} {\ delvis t}},}$

bruker de konstituerende forholdene

${\ displaystyle \ mathbf {D} = \ epsilon _ {0} \ mathbf {E}, \ quad \ mathbf {H} = {\ frac {\ mathbf {B}} {\ mu _ {0}}}}$

Deltidsderivatene foreslår å bruke to av Maxwells ligninger . Tar prikkproduktet av Maxwell - Faraday -ligningen med H :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partiell t}} =-\ nabla \ times \ mathbf {E} \ \ rightarrow \ \ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ partiell \ mathbf {B}} {\ delvis t}} =-\ mathbf {H} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {E},}$

tar neste prikkprodukt av Maxwell - Ampère -ligningen med E :

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell \ mathbf {D}} {\ delvis t}}+\ mathbf {J} = \ nabla \ times \ mathbf {H} \ \ rightarrow \ \ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ partiell \ mathbf {D}} {\ delvis t}}+\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {J} = \ mathbf {E} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {H}.}$

Å samle resultatene så langt gir:

${\ displaystyle {\ begynne {justert}-\ nabla \ cdot \ mathbf {S} & = {\ frac {\ partiell u} {\ delvis t}}+\ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {E} \\ & = \ venstre (\ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ partiell \ mathbf {B}} {\ delvis t}}+\ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ partiell \ mathbf {D}} {\ delvis t}} \ høyre)+\ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {E} \\ & = \ mathbf {E} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {H} -\ mathbf {H} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {E}, \\\ ende {justert}}}$

deretter, ved hjelp av vektorkalkulusidentiteten :

${\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {H}) = \ mathbf {H} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {E})-\ mathbf {E} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {H}),}$

gir et uttrykk for Poynting -vektoren:

${\ displaystyle \ mathbf {S} = \ mathbf {E} \ times \ mathbf {H},}$

som fysisk betyr at energioverføringen på grunn av tidsvarierende elektriske og magnetiske felt er vinkelrett på feltene

Poynting -vektor i makroskopiske medier

I et makroskopisk medium beskrives elektromagnetiske effekter av romlige gjennomsnitt (makroskopiske) felt. Poynting-vektoren i et makroskopisk medium kan defineres selvkonsistent med mikroskopisk teori, på en slik måte at den romlig gjennomsnittlige mikroskopiske Poynting-vektoren er nøyaktig forutsagt av en makroskopisk formalisme. Dette resultatet er strengt gyldig i grensen for lavt tap og gir mulighet for entydig identifisering av Poynting-vektorformen i makroskopisk elektrodynamikk.

Alternative former

Det er mulig å utlede alternative versjoner av Poyntings teorem. I stedet for den fluks vektoren E x B som ovenfor, er det mulig å følge den samme type av avledning, men i stedet velge den Abraham skjema E x H , den Minkowski skjema D x B , eller kanskje D x H . Hvert valg representerer forplantningsmediets respons på sin egen måte: E × B -skjemaet ovenfor har den egenskapen at responsen bare skjer på grunn av elektriske strømmer, mens D × H -formen bare bruker (fiktive) magnetiske monopolstrømmer . De to andre formene (Abraham og Minkowski) bruker komplementære kombinasjoner av elektriske og magnetiske strømmer for å representere polarisasjons- og magnetiseringsresponsene til mediet.

Generalisering

Den mekaniske energimotstykket til ovennevnte teorem for den elektromagnetiske energikontinuitetsligningen er

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partiell t}} u_ {m} (\ mathbf {r}, t)+\ nabla \ cdot \ mathbf {S} _ {m} (\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {J} (\ mathbf {r}, t) \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t),}$

hvor u _m er (mekanisk) kinetisk energitetthet i systemet. Det kan beskrives som summen av kinetisk energi av partikler α (f.eks. Elektroner i en ledning), hvis bane er gitt av r _α ( t ):

${\ displaystyle u_ {m} (\ mathbf {r}, t) = \ sum _ {\ alpha} {\ frac {m _ {\ alpha}} {2}} {\ dot {r}} _ {\ alpha} ^{2} \ delta (\ mathbf {r} -\ mathbf {r} _ {\ alpha} (t)),}$

hvor S _m er strømmen av energiene deres, eller en "mekanisk Poynting -vektor":

${\ displaystyle \ mathbf {S} _ {m} (\ mathbf {r}, t) = \ sum _ {\ alpha} {\ frac {m _ {\ alpha}} {2}} {\ dot {r}} _ {\ alpha}^{2} {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {\ alpha} \ delta (\ mathbf {r} -\ mathbf {r} _ {\ alpha} (t)).}$

Begge kan kombineres via Lorentz-kraften , som de elektromagnetiske felt utøver på de bevegelige ladede partikler (se ovenfor), til den følgende energi kontinuitetslikningen eller energikonserveringsloven :

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell} {\ delvis t}} \ venstre (u_ {e}+u_ {m} \ høyre)+\ nabla \ cdot \ venstre (\ mathbf {S} _ {e}+\ mathbf {S} _ {m} \ right) = 0,}$

som dekker begge energityper og konvertering av den ene til den andre.

Referanser

Eksterne linker

• Eric W. Weisstein "Poynting Theorem" From ScienceWorld - A Wolfram Web Resource.