Kvantisering (fysikk) - Quantization (physics)

I fysikk er kvantisering (i britisk engelsk kvantisering ) den systematiske overgangsprosedyren fra en klassisk forståelse av fysiske fenomener til en nyere forståelse kjent som kvantemekanikk . Det er en prosedyre for å konstruere kvantemekanikk fra klassisk mekanikk . En generalisering som involverer en uendelig grad av frihet er feltkvantisering , som i "kvantisering av det elektromagnetiske feltet ", og refererer til fotoner som felt " kvanta " (for eksempel som lyskvanta ). Denne fremgangsmåten er grunnleggende for teorier om atomfysikk , kjemi, partikkelfysikk , kjernefysikk , kondensert materiefysikk og kvanteoptikk .

Kanonisk kvantisering

Kanonisk kvantisering utvikler kvantemekanikk fra klassisk mekanikk . Man introduserer et kommutasjonsforhold mellom kanoniske koordinater . Teknisk sett konverterer man koordinater til operatører, gjennom kombinasjoner av opprettelses- og utslettelsesoperatorer . Operatørene handler på teoriens kvantetilstander . Den laveste energitilstanden kalles vakuumtilstanden .

Kvantiseringsordninger

Selv innenfor innstillingen for kanonisk kvantisering er det vanskelig å kvantifisere vilkårlige observasjoner på det klassiske faserommet. Dette er den uordnede tvetydigheten : Klassisk pendler posisjons- og momentumvariablene x og p , men deres kvantemekaniske operatørs motparter gjør det ikke. Ulike kvantiseringsordninger har blitt foreslått for å løse denne uklarheten, hvorav den mest populære er Weyl -kvantiseringsordningen . Likevel dikterer Groenewold - van Hove -teoremet at det ikke finnes noen perfekt kvantiseringsordning. Spesifikt, hvis kvantiseringene av x og p anses å være de vanlige posisjons- og momentumoperatørene, kan ingen kvantiseringsskjema perfekt gjengi Poisson -brakettforholdet mellom de klassiske observerbare. Se Groenewolds teorem for en versjon av dette resultatet.

Kovariant kanonisk kvantisering

Det er en måte å utføre en kanonisk kvantisering uten å måtte ty til den ikke -kovariante tilnærmingen til å løve romtid og velge en Hamilton . Denne metoden er basert på en klassisk handling, men er forskjellig fra den funksjonelle integrerte tilnærmingen.

Metoden gjelder ikke for alle mulige handlinger (for eksempel handlinger med en ikke -kausal struktur eller handlinger med måler "strømmer" ). Det starter med den klassiske algebraen til alle (glatte) funksjonalitetene over konfigurasjonsrommet. Denne algebra er kvotientert av idealet generert av Euler - Lagrange -ligningene . Deretter konverteres denne kvotientalgebraen til en Poisson -algebra ved å introdusere en Poisson -brakett som er avledet fra handlingen, kalt Peierls -braketten . Denne Poisson -algebraen blir deretter ℏ -deformert på samme måte som ved kanonisk kvantisering.

I kvantefeltteorien er det også en måte å kvantisere handlinger med måler "strømmer" . Det involverer Batalin - Vilkovisky -formalismen , en forlengelse av BRST -formalismen .

Deformasjonskvantisering

Et av de tidligste forsøkene på en naturlig kvantisering var Weyl-kvantisering, foreslått av Hermann Weyl i 1927. Her gjøres et forsøk på å knytte en kvantemekanisk observerbar (en selvtilstøtende operatør på et Hilbert-rom) til en virkelig verdi funksjon på klassisk faserom. Posisjonen og momentumet i dette faserommet blir kartlagt til generatorene i Heisenberg -gruppen, og Hilbert -rommet fremstår som en grupperepresentasjon av Heisenberg -gruppen. I 1946 vurderte HJ Groenewold produktet av et par slike observerbare og spurte hva den tilsvarende funksjonen ville være på det klassiske faserommet. Dette fikk ham til å oppdage fase-rom-stjerneproduktet av et par funksjoner. Mer generelt fører denne teknikken til deformasjonskvantisering, der ★ -produktet anses å være en deformasjon av funksjonalgebra på en symplektisk manifold eller Poisson-manifold. Som et naturlig kvantiseringsopplegg (en functor ) er imidlertid Weyls kart ikke tilfredsstillende.

For eksempel er Weyl-kartet over den klassiske vinkelmoment-kvadraten ikke bare kvantum-vinkelmoment-kvadratoperatoren, men det inneholder videre en konstant term 3ħ ²/2. (Denne ekstrabegrepet forskyvning er pedagogisk signifikant, siden den står for den ikke-forsvinnende vinkelmomentet til grunnstatens Bohr-bane i hydrogenatomet, selv om atomets standard QM-grunntilstand forsvinner l .)

Som en ren representasjonsendring er imidlertid Weyls kart nyttig og viktig, ettersom det ligger til grunn for den alternative ekvivalente faseromsformuleringen av konvensjonell kvantemekanikk.

Geometrisk kvantisering

I matematisk fysikk er geometrisk kvantisering en matematisk tilnærming til å definere en kvanteteori som tilsvarer en gitt klassisk teori. Den prøver å utføre kvantisering, som det generelt ikke finnes noen eksakt oppskrift for, på en slik måte at visse analogier mellom den klassiske teorien og kvanteteorien forblir åpenbare. For eksempel bør likheten mellom Heisenberg -ligningen i Heisenberg -bildet av kvantemekanikk og Hamilton -ligningen i klassisk fysikk bygges inn.

En mer geometrisk tilnærming til kvantisering, der det klassiske faserommet kan være et generelt symplektisk mangfold, ble utviklet på 1970-tallet av Bertram Kostant og Jean-Marie Souriau . Metoden fortsetter i to trinn. For det første konstruerer en gang et "prequantum Hilbert-rom" bestående av kvadratintegrerbare funksjoner (eller, mer riktig, deler av en linjebunt) over faserommet. Her kan man konstruere operatører som tilfredsstiller kommuteringsrelasjoner som samsvarer nøyaktig med de klassiske Poisson-brakettrelasjonene. På den annen side er dette prequantum Hilbert -rommet for stort til å være fysisk meningsfylt. Man begrenser deretter funksjoner (eller seksjoner) avhengig av halvparten av variablene på faserommet, og gir kvante Hilbert -rommet.

Sløyfekvantisering

Se Loop quantum gravity .

Banens integrerte kvantisering

En klassisk mekanisk teori er gitt av en handling med de tillatte konfigurasjonene som er ekstreme med hensyn til funksjonelle variasjoner av handlingen. En kvantemekanisk beskrivelse av det klassiske systemet kan også konstrueres ut fra systemets virkning ved hjelp av stiintegralformuleringen .

Kvantestatistikkmekanikk tilnærming

Se Usikkerhetsprinsippet .

Schwingers variasjonsmetode

Se Schwingers kvantehandlingsprinsipp .

Se også

Referanser

• Abraham, R. & Marsden (1985): Foundations of Mechanics , red. Addison – Wesley, ISBN  0-8053-0102-X
• Ali, ST, & Engliš, M. (2005). "Kvantiseringsmetoder: en guide for fysikere og analytikere". Anmeldelser i matematisk fysikk 17 (04), 391-490. arXiv : math-ph/0405065 doi : 10.1142/S0129055X05002376
• Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Quantum Mechanics in Phase Space". Asia Pacific Physics Newsletter . 01 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID  119230734 .
• G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily , geometriske og algebraiske topologiske metoder i kvantemekanikk (World Scientific, 2005) ISBN  981-256-129-3
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, 267 , Springer
• M. Peskin, D. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, 1995) ISBN  0-201-50397-2
• Todorov, Ivan (2012). "Kvantisering er et mysterium." arXiv forhåndstrykk arXiv: 1206.3116 (2012)
• Weinberg, Steven, The Quantum Theory of Fields (3 bind)

Merknader