Kanonisk kvantisering - Canonical quantization

Kvantfeltteori
Feynman -diagram
Historie
Bakgrunn Feltteori Elektromagnetisme Svak kraft Sterk kraft Kvantemekanikk Spesiell relativitet Generell relativitet Målerteori
Symmetrier Symmetri i kvantemekanikk C-symmetri P-symmetri T-symmetri Romoversettelsessymmetri Tidsoversettelsessymmetri Rotasjonssymmetri Lorentz symmetri Poincaré symmetri Målesymmetri Eksplisitt symmetribrudd Spontan symmetri brytes Yang - Mills teori Ingen kostnad Topologisk ladning
Verktøy Anomali Kryssing Effektiv feltteori Forventningsverdi Faddeev - Popov spøkelser Feynman -diagram Gittermålerteori LSZ reduksjonsformel Delingsfunksjon Propagator Kvantisering Regularisering Renormalisering Vakuumtilstand Wicks teorem Wightman aksiomer
Likninger Dirac ligning Klein - Gordon ligning Proca -ligninger Wheeler – DeWitt -ligningen Bargmann - Wigner ligninger
Standard modell Kvantelektrodynamikk Elektrisk svak interaksjon Kvantekromodynamikk Higgs -mekanisme
Ufullstendige teorier Topologisk kvantefeltteori Strengteori Supersymmetri Technicolor Teori om alt Quantum tyngdekraft
Forskere CD Anderson PW Anderson Vær den Bjorken Bogoliubov Brout Callan Coleman DeWitt Dirac Dyson Englert Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Glashow Gell-Mann Ekkelt Guralnik Heisenberg Higgs Haag Hagen 't Hooft Jordan Kendall Kibble lam Landau Lee Majorana Mills Nambu Nishijima Parisi Polyakov Salam Schwinger Skyrme Sudarshan Tomonaga Veltman avdeling Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Yang Yukawa
v t e

I fysikk er kanonisk kvantisering en prosedyre for kvantisering av en klassisk teori , mens du prøver å bevare den formelle strukturen, for eksempel symmetri , av den klassiske teorien, i størst mulig grad.

Historisk sett var dette ikke helt Werner Heisenbergs vei til å skaffe seg kvantemekanikk , men Paul Dirac introduserte den i sin doktoravhandling fra 1926, "metoden for klassisk analogi" for kvantisering, og detaljerte den i sin klassiske tekst. Ordet kanonisk stammer fra den Hamiltoniske tilnærmingen til klassisk mekanikk, der et systems dynamikk genereres via kanoniske Poisson -braketter , en struktur som bare delvis er bevart i kanonisk kvantisering.

Denne metoden ble videre brukt i sammenheng med kvantefeltteori av Paul Dirac , i sin konstruksjon av kvanteelektrodynamikk . I feltteorisk kontekst kalles det også den andre kvantiseringen av felt, i motsetning til den semiklassiske første kvantiseringen av enkeltpartikler.

Historie

Når det først ble utviklet, kvantefysikken behandlet bare med kvantisering av den bevegelse av partikler, slik at det elektromagnetiske feltet klassiske , derav navnet kvantemekanikk .

Senere ble det elektromagnetiske feltet også kvantisert, og til og med partiklene selv ble representert gjennom kvantiserte felt, noe som resulterte i utvikling av kvanteelektrodynamikk (QED) og kvantefeltteori generelt. Således er konvensjonell den opprinnelige formen for partikkelkvantemekanikk betegnet første kvantisering , mens kvantefeltteori er formulert på språket til andre kvantisering .

Første kvantisering

Enkeltpartikkelsystemer

Følgende utstilling er basert på Diracs avhandling om kvantemekanikk. I den klassiske mekanikken til en partikkel er det dynamiske variabler som kalles koordinater ( x ) og momenta ( p ). Disse spesifiserer tilstanden til et klassisk system. Den kanoniske strukturen (også kjent som den symplektiske strukturen) til klassisk mekanikk består av Poisson -parenteser som omslutter disse variablene, for eksempel { x , p } = 1. Alle transformasjoner av variabler som bevarer disse parentesene er tillatt som kanoniske transformasjoner i klassisk mekanikk. Selve bevegelsen er en slik kanonisk transformasjon.

Derimot, i kvantemekanikk , er alle viktige trekk ved en partikkel inneholdt i en tilstand , kalt en kvantetilstand . Observerbare er representert av operatører som handler på et Hilbert -rom med slike kvantetilstander . ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

Egenverdien til en operatør som virker på en av egenstatene representerer verdien av en måling på partikkelen som er representert. For eksempel blir energien lest av av den hamiltonske operatøren som virker på en tilstand og gir ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}$

${\ displaystyle {\ hat {H}} | \ psi _ {n} \ rangle = E_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle}$,

hvor E _n er den karakteristiske energien knyttet til denne egenstaten . ${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}$

Enhver tilstand kan representeres som en lineær kombinasjon av egenstater av energi; for eksempel,

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} a_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle}$,

hvor et _n er konstante koeffisienter.

Som i klassisk mekanikk kan alle dynamiske operatører representeres av funksjonene til henholdsvis posisjonen og momentum, og . Forbindelsen mellom denne representasjonen og den mer vanlige bølgefunksjonsrepresentasjonen er gitt av egenstaten til posisjonsoperatoren som representerer en partikkel i posisjon , som er angitt med et element i Hilbert -rommet, og som tilfredsstiller . Deretter . ${\ displaystyle {\ hat {X}}}$${\ displaystyle {\ hat {P}}}$${\ displaystyle {\ hat {X}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle | x \ rangle}$${\ displaystyle {\ hat {X}} | x \ rangle = x | x \ rangle}$${\ displaystyle \ psi (x) = \ langle x | \ psi \ rangle}$

Likeledes egentilstandene av momentum operatøren angi momentum representasjon : . ${\ displaystyle | p \ rangle}$${\ displaystyle {\ hat {P}}}$${\ displaystyle \ psi (p) = \ langle p | \ psi \ rangle}$

Det sentrale forholdet mellom disse operatørene er en kvante -analog av Poisson -braketten ovenfor av klassisk mekanikk, den kanoniske kommutasjonsforholdet ,

${\ displaystyle [{\ hat {X}}, {\ hat {P}}] = {\ hat {X}} {\ hat {P}}-{\ hat {P}} {\ hat {X}} = i \ hbar}$.

Denne relasjonen koder (og formelt fører til) usikkerhetsprinsippet , i formen Δ x Δ p ≥ ħ /2 . Denne algebraiske strukturen kan dermed betraktes som kvante -analog til den kanoniske strukturen til klassisk mekanikk.

Systemer med mange partikler

Når man vender seg til N-partikkelsystemer, dvs. systemer som inneholder N identiske partikler (partikler preget av de samme kvantetallene som masse , ladning og spinn ), er det nødvendig å utvide enkeltpartikkeltilstandsfunksjonen til N-partikkeltilstandsfunksjonen . En grunnleggende forskjell mellom klassisk og kvantemekanikk angår begrepet umulige identiske partikler. Bare to arter av partikler er dermed mulige i kvantefysikken, de såkalte bosonene og fermionene som følger reglene: ${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, ..., \ mathbf {r} _ {N})}$

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} _ {1}, ..., \ mathbf {r} _ {j}, ..., \ mathbf {r} _ {k}, ..., \ mathbf {r_ {N}}) =+\ psi (\ mathbf {r} _ {1}, ..., \ mathbf {r} _ {k}, ..., \ mathbf {r} _ {j}, ..., \ mathbf {r} _ {N})}$ (bosoner),

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} _ {1}, ..., \ mathbf {r} _ {j}, ..., \ mathbf {r} _ {k}, ..., \ mathbf {r_ {N}}) =-\ psi (\ mathbf {r} _ {1}, ..., \ mathbf {r} _ {k}, ..., \ mathbf {r} _ {j}, ..., \ mathbf {r} _ {N})}$ (fermioner).

Der vi har byttet to koordinater for tilstandsfunksjonen. Den vanlige bølgefunksjonen oppnås ved hjelp av Slater -determinanten og teorien om identiske partikler . Ved å bruke dette grunnlaget er det mulig å løse forskjellige problemer med mange partikler. ${\ displaystyle (\ mathbf {r} _ {j}, \ mathbf {r} _ {k})}$

Spørsmål og begrensninger

Klassiske og kvante parenteser

Diracs bok beskriver hans populære regel om å erstatte Poisson -braketter av kommutatorer :

Man kan tolke dette forslaget som å si at vi bør søke et "kvantiseringskart" som kartlegger en funksjon på det klassiske faserommet til en operatør på kvante Hilbert -rommet slik at ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Q_ {f}}$

${\ displaystyle Q _ {\ {f, g \}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} [Q_ {f}, Q_ {g}]}$

Det er nå kjent at det ikke er noen rimelig slik kvantiseringskart som tilfredsstiller identiteten ovenfor nøyaktig for alle funksjoner og . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

Groenewolds teorem

En konkret versjon av ovennevnte umulighetskrav er Groenewolds teorem (etter nederlandsk teoretisk fysiker Hilbrand J. Groenewold ), som vi beskriver for et system med én grad av frihet for enkelhet. La oss godta følgende "grunnregler" for kartet . Først bør du sende konstantfunksjonen 1 til identitetsoperatøren. For det andre, bør ta og til den vanlige posisjonen og momentum operatører og . For det tredje bør ta et polynom inn og til et "polynom" i og , det vil si en endelig lineær kombinasjon av produkter av og , som kan tas i en hvilken som helst ønsket rekkefølge. I sin enkleste form sier Groenewolds teorem at det ikke er noe kart som tilfredsstiller de ovennevnte grunnreglene og også parentesbetingelsen ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle Q _ {\ {f, g \}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} [Q_ {f}, Q_ {g}]}$

for alle polynomer og . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

Faktisk forekommer ikke -eksistensen av et slikt kart allerede når vi når polynomer i grad fire. Vær oppmerksom på at Poisson -braketten til to polynomer i grad fire har grad seks, så det er ikke akkurat fornuftig å kreve et kart på polynomer av grad fire for å respektere parentesens tilstand. Vi kan imidlertid kreve at brakettbetingelsen holder når og har grad tre. Groenewolds teorem kan sies som følger: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

Teorem : Det er ikke noe kvantiseringskart (etter ovennevnte regler) på polynomer med grader mindre enn eller lik fire som tilfredsstiller${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle \ quad Q _ {\ {f, g \}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} [Q_ {f}, Q_ {g}]}$

når som helst og har en grad mindre enn eller lik tre. (Vær oppmerksom på at i dette tilfellet har graden mindre enn eller lik fire.)${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ {f, g \}}$

Beviset kan skisseres som følger. Anta at vi først prøver å finne et kvantiseringskart på polynom med grader mindre enn eller lik tre som tilfredsstiller parentesbetingelsen når den har grad mindre enn eller lik to og har grad mindre enn eller lik to. Så er det nettopp ett slikt kart, og det er Weyl -kvantisering . Det umulige resultatet nå oppnås ved å skrive det samme polynomet for grad fire som en Poisson -brakett med polynomer av grad tre på to forskjellige måter . Spesielt har vi ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle x^{2} p^{2} = {\ frac {1} {9}} \ {x^{3}, p^{3} \} = {\ frac {1} {3}} \ {x^{2} p, xp^{2} \}}$

På den annen side har vi allerede sett at hvis det kommer til å være et kvantiseringskart på polynomer av grad tre, må det være Weyl -kvantisering; det vil si at vi allerede har bestemt den eneste mulige kvantiseringen av alle de kubiske polynomene ovenfor.

Argumentet avsluttes med å beregne med brutal kraft det

${\ displaystyle {\ frac {1} {9}} [Q (x^{3}), Q (p^{3})]}$

faller ikke sammen med

${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} [Q (x^{2} p), Q (xp^{2})]}$.

Dermed har vi to inkompatible krav til verdien av . ${\ displaystyle Q (x^{2} p^{2})}$

Aksiomer for kvantisering

Hvis Q representerer kvantiseringskartet som virker på funksjonene f i det klassiske faserommet, blir følgende egenskaper vanligvis ansett som ønskelige:

1. ${\ displaystyle Q_ {x} \ psi = x \ psi}$og   (elementære posisjon/momentum -operatører)${\ displaystyle Q_ {p} \ psi = -i \ hbar \ partiell _ {x} \ psi ~~}$
2. ${\ displaystyle f \ longmapsto Q_ {f} ~~}$   er et lineært kart
3. ${\ displaystyle [Q_ {f}, Q_ {g}] = i \ hbar Q _ {\ {f, g \}} ~~}$   (Poisson -brakett)
4. ${\ displaystyle Q_ {g \ circ f} = g (Q_ {f}) ~~}$   (von Neumann -regelen).

Imidlertid er ikke bare disse fire egenskapene gjensidig inkonsekvente, tre av dem er også inkonsekvente! Som det viser seg, er de eneste parene av disse egenskapene som fører til selvkonsistente, ikke-private løsninger 2 & 3, og muligens 1 & 3 eller 1 & 4. Godta eiendom 1 & 2, sammen med en svakere tilstand at 3 er sanne bare asymptotisk i grensen ħ → 0 (se Moyal -braketten ), fører til deformasjonskvantisering , og noe fremmed informasjon må gis, som i standardteoriene som brukes i det meste av fysikken. Å godta egenskapene 1 & 2 og 3, men å begrense plassen til kvantiserbare observerbare ting for å ekskludere termer som de kubiske i eksemplet ovenfor, utgjør geometrisk kvantisering .

Andre kvantisering: feltteori

Kvantemekanikken var vellykket til å beskrive ikke-relativistiske systemer med et fast antall partikler, men det var nødvendig med et nytt rammeverk for å beskrive systemer der partikler kan opprettes eller ødelegges, for eksempel det elektromagnetiske feltet, betraktet som en samling av fotoner. Det ble til slutt innsett at spesiell relativitet ikke var i samsvar med kvantemekanikk med én partikkel, slik at alle partikler nå beskrives relativistisk av kvantefelt .

Når den kanoniske kvantiseringen prosedyre anvendes på et felt, slik som de elektromagnetiske felt, de klassiske felt variablene bli kvante-operatorer . Dermed er de normale modusene som omfatter feltets amplitude enkle oscillatorer, som hver er kvantisert i standard første kvantisering, uten tvetydighet. De resulterende kvantene identifiseres med individuelle partikler eller eksitasjoner. For eksempel er kvantene til det elektromagnetiske feltet identifisert med fotoner. I motsetning til første kvantisering, er konvensjonell andre kvantisering helt entydig, i effekt et funktor , ettersom den bestanddel satt av dens oscillatorer blir kvantisert entydig.

Historisk sett ga kvantisering av den klassiske teorien om en enkelt partikkel opphav til en bølgefunksjon. De klassiske bevegelsesligningene for et felt er typisk identiske i form med (kvante) ligningene for bølgefunksjonen til en av dens kvanta . For eksempel er Klein-Gordon-ligningen den klassiske bevegelsesligningen for et fritt skalarfelt, men også kvanteligningen for en skalarpartikkelbølgefunksjon. Dette betydde at kvantisering av et felt syntes å ligne kvantisering av en teori som allerede var kvantisert, noe som førte til det fantasifulle uttrykket andre kvantisering i den tidlige litteraturen, som fremdeles brukes til å beskrive feltkvantisering, selv om den moderne tolkningen som er detaljert er annerledes.

En ulempe med kanonisk kvantisering for et relativistisk felt er at ved å stole på Hamiltonian for å bestemme tidsavhengighet, er relativistisk invarianse ikke lenger åpenbar. Derfor er det nødvendig å kontrollere at relativistisk invarianse ikke går tapt. Alternativt er Feynman integrerte tilnærming tilgjengelig for kvantisering av relativistiske felt, og er åpenbart invariant. For ikke-relativistiske feltteorier, for eksempel de som brukes i kondensert fysikk , er ikke Lorentz invariance et problem.

Feltoperatører

Kvantemekanisk er variablene i et felt (for eksempel feltets amplitude på et gitt punkt) representert av operatører på et Hilbert -rom . Generelt er alle observerbare konstruert som operatører på Hilbert-rommet, og tidsutviklingen til operatørene styres av Hamiltonian , som må være en positiv operatør. En stat utslettet av Hamiltonian må identifiseres som vakuumtilstanden , som er grunnlaget for å bygge alle andre stater. I en ikke-interagerende (fri) teori er vakuumet vanligvis identifisert som en tilstand som inneholder null partikler. I en teori med interagerende partikler er identifisering av vakuumet mer subtil på grunn av vakuumpolarisering , noe som innebærer at det fysiske vakuumet i kvantefeltteorien aldri er tomt. For ytterligere utdypning, se artiklene om kvantemekanisk vakuum og vakuum for kvantekromodynamikk . Detaljene i den kanoniske kvantiseringen avhenger av feltet som skal kvantiseres, og om det er gratis eller samhandler. ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$

Ekte skalarfelt

En skalarfeltteori gir et godt eksempel på den kanoniske kvantiseringsprosedyren. Klassisk er et skalarfelt en samling av en uendelighet av oscillator -normale moduser . Det er tilstrekkelig å vurdere en 1+1-dimensjonal romtid hvor den romlige retningen komprimeres til en sirkel av omkrets 2 π , noe som gjør momenta diskret. ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ ganger S_ {1},}$

Den klassiske lagrangiske tettheten beskriver en uendelighet av koblede harmoniske oscillatorer , merket med x som nå er en etikett, og ikke forskyvningens dynamiske variabel som skal kvantiseres, angitt med det klassiske feltet φ ,

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ phi) = {\ frac {1} {2}} (\ delvis _ {t} \ phi)^{2}-{\ frac {1} {2}} (\ delvis _ {x} \ phi)^{2}-{\ frac {1} {2}} m^{2} \ phi^{2} -V (\ phi),}$

hvor V ( φ ) er et potensielt begrep, ofte antatt å være et polynom eller monomium av grad 3 eller høyere. Handlingsfunksjonen er

${\ displaystyle S (\ phi) = \ int {\ mathcal {L}} (\ phi) dxdt = \ int L (\ phi, \ partiell _ {t} \ phi) dt}$.

Det kanoniske momentum oppnådd via Legendre -transformasjonen ved hjelp av handlingen L er , og den klassiske Hamiltonian er funnet å være ${\ displaystyle \ pi = \ delvis _ {t} \ phi}$

${\ displaystyle H (\ phi, \ pi) = \ int dx \ left [{\ frac {1} {2}} \ pi ^{2}+{\ frac {1} {2}} (\ delvis _ { x} \ phi)^{2}+{\ frac {1} {2}} m^{2} \ phi^{2}+V (\ phi) \ right].}$

Kanonisk kvantisering behandler variablene og som operatører med kanoniske kommutasjonsrelasjoner på tidspunktet t = 0, gitt av ${\ displaystyle \ phi (x)}$${\ displaystyle \ pi (x)}$

${\ displaystyle [\ phi (x), \ phi (y)] = 0, \ \ [\ pi (x), \ pi (y)] = 0, \ \ [\ phi (x), \ pi (y )] = i \ hbar \ delta (xy).}$

Operatører konstruert fra og kan deretter formelt defineres på andre tidspunkter via tidsutviklingen generert av Hamiltonian: ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (t) = e^{itH} {\ mathcal {O}} e^{-itH}.}$

Siden φ og π ikke lenger pendler, er imidlertid dette uttrykket tvetydig på kvantennivå. Problemet er å konstruere en representasjon av de relevante operatørene på et Hilbert -rom og å konstruere en positiv operator H som en kvanteoperator på dette Hilbert -rommet på en slik måte at det gir denne utviklingen for operatørene som gitt av den foregående ligningen, og for å vise som inneholder en vakuumtilstand der H har null egenverdi. I praksis er denne konstruksjonen et vanskelig problem for å samhandle feltteorier, og har blitt løst fullstendig bare i noen få enkle tilfeller via metodene for konstruktiv kvantefeltteori . Mange av disse problemene kan omgås ved hjelp av Feynman -integralen som beskrevet for en bestemt V ( φ ) i artikkelen om skalarfeltteori . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$

Når det gjelder et fritt felt, med V ( φ ) = 0, er kvantiseringsprosedyren relativt grei. Det er praktisk å Fourier transformere feltene, slik at

${\ displaystyle \ phi _ {k} = \ int \ phi (x) e^{-ikx} dx, \ \ \ pi _ {k} = \ int \ pi (x) e^{-ikx} dx.}$

Feltets virkelighet innebærer det

${\ displaystyle \ phi _ {-k} = \ phi _ {k}^{\ dolk}, ~~~ \ pi _ {-k} = \ pi _ {k}^{\ dolk}}$.

Den klassiske Hamiltonian kan utvides i Fourier -moduser som

${\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k =-\ infty}^{\ infty} \ venstre [\ pi _ {k} \ pi _ {k}^{\ dolk} +\ omega _ {k}^{2} \ phi _ {k} \ phi _ {k}^{\ dolk} \ høyre],}$

hvor . ${\ displaystyle \ omega _ {k} = {\ sqrt {k^{2}+m^{2}}}}$

Denne Hamiltonian er dermed gjenkjennelig som en uendelig sum av klassiske normalmodus -oscillator -eksitasjoner φ _k , som hver er kvantisert på standard måte, så den frie kvanten Hamiltonian ser identisk ut. Det er φ _k s som har blitt operatører som adlyder standardkommutasjonsforholdene, [ φ _k , π _k ^† ] = [ φ _k ^† , π _k ] = iħ , med alle andre som forsvinner. Det kollektive Hilbert -rommet til alle disse oscillatorene er således konstruert ved hjelp av skapelses- og utslettelsesoperatorer konstruert fra disse modusene,

${\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ hbar \ omega _ {k}}}} \ venstre (\ omega _ {k} \ phi _ {k}+i \ pi _ {k} \ høyre), \ \ a_ {k}^{\ dolk} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ hbar \ omega _ {k}}}} \ venstre (\ omega _ {k} \ phi _ {k}^{\ dolk} -i \ pi _ {k}^{\ dolk} \ høyre),}$

som [ a _k , a _k ^† ] = 1 for alle k , med alle andre kommutatorer som forsvinner.

Vakuumet blir utslettet av alle a _k , og er Hilbert _-rommet konstruert ved å bruke en hvilken som helst kombinasjon av den uendelige samlingen av skapelsesoperatorer a _k ^† to . Dette Hilbert -rommet kalles Fock -rom . For hver k er denne konstruksjonen identisk med en kvanteharmonisk oscillator . Kvantefeltet er et uendelig utvalg av kvanteoscillatorer. Kvanten Hamiltonian utgjør deretter ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$

${\ displaystyle H = \ sum _ {k =-\ infty}^{\ infty} \ hbar \ omega _ {k} a_ {k}^{\ dolk} a_ {k} = \ sum _ {k =-\ infty}^{\ infty} \ hbar \ omega _ {k} N_ {k}}$,

hvor N _k kan tolkes som tall operatør som gir antall partikler i en tilstand med momentum k .

Denne Hamiltonian skiller seg fra det forrige uttrykket ved å trekke nullpunktenergien ħω _k /2 til hver harmoniske oscillator. Dette tilfredsstiller betingelsen om at H må utslette vakuumet, uten å påvirke operatørens tidsutvikling via eksponentiseringsoperasjonen ovenfor. Denne subtraksjonen av nullpunktsenergien kan anses å være en oppløsning av kvanteoperatøren som bestiller tvetydighet, siden det tilsvarer å kreve at alle skapelsesoperatører vises til venstre for utslettelsesoperatører i utvidelsen av Hamiltonian. Denne prosedyren er kjent som Wick -bestilling eller normal bestilling .

Andre felt

Alle andre felt kan kvantiseres ved en generalisering av denne prosedyren. Vektor- eller tensorfelt har ganske enkelt flere komponenter, og uavhengige operatører for opprettelse og ødeleggelse må innføres for hver uavhengige komponent. Hvis et felt har noen intern symmetri , må opprettelses- og ødeleggelsesoperatorer introduseres for hver komponent i feltet også knyttet til denne symmetrien. Hvis det er en målesymmetri , må antallet uavhengige komponenter i feltet analyseres nøye for å unngå overtelling av tilsvarende konfigurasjoner, og målerfiksering kan brukes om nødvendig.

Det viser seg at kommutasjonsforhold bare er nyttige for kvantisering av bosoner , for hvilke beleggstallet i en hvilken som helst stat er ubegrenset. For å kvantisere fermioner , som tilfredsstiller Pauli-ekskluderingsprinsippet , er det nødvendig med anti-kommutatorer. Disse er definert av {A, B} = AB+BA .

Ved kvantisering av fermioner utvides feltene i etablerings- og utslettelsesoperatorer, θ _k ^† , θ _k , som tilfredsstiller

${\ displaystyle \ {\ theta _ {k}, \ theta _ {l}^{\ dolk} \} = \ delta _ {kl}, \ \ \ \ \ \ theta _ {k}, \ theta _ {l} \} = 0, \ \ \ {\ theta _ {k}^{\ dolk}, \ theta _ {l}^{\ dolk} \} = 0.}$

Statene er konstruert på et vakuum | 0> utslettet av θ _k , og Fock _-rommet er bygget ved å bruke alle produktene fra skapelsesoperatørene θ _k ^† til | 0>. Paulis ekskluderingsprinsipp er tilfredsstilt, fordi det i kraft av forbindelsene mot kommutasjon er. ${\ displaystyle (\ theta _ {k}^{\ dolk})^{2} | 0 \ rangle = 0}$

Kondensater

Konstruksjonen av skalarfelttilstandene ovenfor antok at potensialet ble minimert til φ = 0, slik at vakuumminimering av Hamiltonian tilfredsstiller 〈φ〉 = 0, noe som indikerer at vakuumforventningsverdien (VEV) for feltet er null. I tilfeller som involverer spontan symmetribrudd , er det mulig å ha en VEV uten null, fordi potensialet er minimert for en verdi φ = v . Dette skjer for eksempel hvis V (φ) = gφ ⁴ - 2m ² φ ² med g > 0 og m ² > 0, for hvilken minimumsenergien er funnet ved v = ± m / √ g . Verdien av v i en av disse vacuaene kan betraktes som kondensat av feltet φ . Kanonisk kvantisering kan deretter utføres for det forskyvede feltet φ (x, t) −v , og partikkeltilstander med hensyn til det skiftede vakuumet er definert ved å kvantifisere det forskyvede feltet. Denne konstruksjonen brukes i Higgs -mekanismen i standardmodellen for partikkelfysikk .

Matematisk kvantisering

Deformasjonskvantisering

Den klassiske teorien er beskrevet ved hjelp av en romlig foliering av romtid med tilstanden på hvert stykke beskrevet av et element i en symplektisk manifold med tidsutviklingen gitt av symplektomorfismen generert av en Hamiltonian -funksjon over den symplektiske manifolden. Den Quantum algebra av "operatorer" er en Ħ - deformasjon av algebra av glatte funksjoner over symplectic plass slik at den ledende uttrykket i Taylor-utviklingen i løpet Ħ av kommutatoren [ A , B ] uttrykt i faserommet formuleringen er Ih { A , B } . (Her angir de krøllete selene Poisson -braketten . De subleadende begrepene er alle kodet i Moyal -braketten , den passende kvanteformasjonen av Poisson -braketten.) Generelt for de involverte mengdene (observerbare), og gir argumentene for slike parenteser , ħ -deformasjoner er svært ikke -unike -kvantisering er en "kunst", og er spesifisert av den fysiske konteksten. (To forskjellige kvantesystemer kan representere to forskjellige, likeverdige, deformasjoner av den samme klassiske grensen , ħ → 0. )

Nå ser man etter enhetsrepresentasjoner av denne kvantealgebraen. Når det gjelder en slik enhetsrepresentasjon, ville en symplektomorfisme i den klassiske teorien nå deformeres til en (metaplektisk) enhetlig transformasjon . Spesielt deformeres tidsutviklingssymplektomorfismen generert av den klassiske hamiltonske til en enhetlig transformasjon generert av den tilsvarende kvanten Hamiltonian.

En ytterligere generalisering er å vurdere en Poisson -manifold i stedet for et symplektisk rom for den klassiske teorien og utføre en ħ -deformasjon av den tilsvarende Poisson -algebraen eller til og med Poisson -supermanifoldene .

Geometrisk kvantisering

I motsetning til teorien om deformasjonskvantisering beskrevet ovenfor, søker geometrisk kvantisering å konstruere et faktisk Hilbert -rom og operatører på det. Begynnende med en symplektisk manifold , konstruerer man først et prequantum Hilbert-rom som består av plassen til kvadratisk integrerbare deler av en passende linjebunt over . På dette rommet kan man kartlegge alle klassiske observerbare objekter til operatører på prequantum Hilbert -rommet, med kommutatoren som tilsvarer nøyaktig Poisson -braketten. Prequantum Hilbert -plassen er imidlertid tydelig for stor til å beskrive kvantiseringen av . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Man fortsetter deretter ved å velge en polarisering, det vil si (omtrent) et valg av variabler på -dimensjonal faserom. The Quantum Hilbert plass er da plassen seksjoner som bare avhengig av valgt variabler, i den forstand at de er covariantly konstant i andre retninger. Hvis de valgte variablene er ekte, får vi noe som det tradisjonelle Schrödinger Hilbert -rommet. Hvis de valgte variablene er komplekse, får vi noe som Segal -Bargmann -rommet . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Se også

• Korrespondanseprinsipp
• Opprettelses- og utslettelsesoperatører
• Dirac brakett
• Moyal brakett
• Faseformulering (av kvantemekanikk)
• Geometrisk kvantisering

Referanser

Historiske referanser

• Silvan S. Schweber : QED og mennene som klarte det , Princeton Univ. Press, 1994, ISBN  0-691-03327-7

Generelle tekniske referanser

• Alexander Altland, Ben Simons: Feltteori for kondensert materie , Cambridge Univ. Press, 2009, ISBN  978-0-521-84508-3
• James D. Bjorken, Sidney D. Drell: Relativistic quantum mechanics , New York, McGraw-Hill, 1964
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158.
• En introduksjon til kvantefeltteori , av ME Peskin og HD Schroeder, ISBN  0-201-50397-2
• Franz Schwabl: Advanced Quantum Mechanics , Berlin og andre steder, Springer, 2009 ISBN  978-3-540-85061-8

Eksterne linker

• Hva er "relativistisk kanonisk kvantisering"?
• Pedagogiske hjelpere til kvantefeltteori Klikk på koblingene for Chaps. 1 og 2 på dette nettstedet for å finne en omfattende, forenklet introduksjon til andre kvantisering. Se sekt. 1.5.2 i kap. 1. Se seksjon. 2.7 og kapitelsammendraget i kap. 2.