Rest (kompleks analyse) - Residue (complex analysis)

I matematikk , nærmere bestemt kompleks analyse , er resten et komplekst tall som er proporsjonalt med konturintegralet av en meromorf funksjon langs en bane som omslutter en av dens singulariteter . (Mer generelt kan restene beregnes for enhver funksjon som er holomorf, bortsett fra på de diskrete punktene { a _k } _k , selv om noen av dem er viktige singulariteter .) Rester kan beregnes ganske enkelt og, når de er kjent, tillate bestemmelse av generelle konturintegraler via restsetningen . ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {C} \ setminus \ {a_ {k} \} _ {k} \ rightarrow \ mathbb {C}}$

Definisjon

Resten av en meromorf funksjon ved en isolert singularitet , ofte betegnet eller , er den unike verdien slik som har et analytisk antiderivativ i en punktert disk . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Res} (f, a)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} (f)}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle f (z) -R/(za)}$ ${\ displaystyle 0 <\ vert za \ vert <\ delta}$

Alternativt kan restene beregnes ved å finne Laurent -serieutvidelser, og man kan definere residuet som koeffisienten a _-1 for en Laurent -serie.

Definisjonen av en rest kan generaliseres til vilkårlige Riemann -overflater . Anta at det er en 1-form på en Riemann-overflate. La oss være meromorfe på et tidspunkt , slik at vi kan skrive i lokale koordinater som . Deretter defineres resten av at å være resten av på punktet som tilsvarer . ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle f (z) \; dz}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle x}$

Eksempler

Rester av en monomial

Beregning av resten av en monomial

{\ displaystyle \ oint _ {C} z^{k} \, dz}

gjør de fleste restberegninger enkle å gjøre. Siden stiintegralberegninger er homotopiske invariante, lar vi være sirkelen med radius . Deretter, ved hjelp av endring av koordinater finner vi at ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle z \ to e^{i \ theta}}$

{\ displaystyle dz \ to d (e^{i \ theta}) = ie^{i \ theta} \, d \ theta}

derfor vår integral nå leser som

{\ displaystyle \ oint _ {C} z^{k} dz = \ int _ {0}^{2 \ pi} ie^{i (k+1) \ theta} \, d \ theta = {\ begin { case} 2 \ pi i & {\ text {if}} k = -1, \\ 0 & {\ text {ellers}}. \ end {cases}}}

Påføring av monomisk rest

Som et eksempel, kan du vurdere konturen integrert

{\ displaystyle \ oint _ {C} {e^{z} \ over z^{5}} \, dz}

hvor C er noen enkle lukkede kurver om 0.

La oss vurdere dette integralet ved hjelp av et standard konvergensresultat om integrering etter serie. Vi kan erstatte Taylor serien for i integranden. Integralet blir da ${\ displaystyle e ^ {z}}$

{\ displaystyle \ oint _ {C} {1 \ over z^{5}} \ venstre (1+z+{z^{2} \ over 2!}+{z^{3} \ over 3!}+{ z^{4} \ over 4!}+{z^{5} \ over 5!}+{z^{6} \ over 6!}+\ cdots \ right) \, dz.}

La oss bringe 1/ z ⁵ -faktoren inn i serien. Konturintegralen i serien skriver deretter

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ oint _ {C} \ left ({1 \ over z^{5}}+{z \ over z^{5}}+{z^{2} \ over 2 ! \; z^{5}}+{z^{3} \ over 3! \; z^{5}}+{z^{4} \ over 4! \; z^{5}}+{z ^{5} \ over 5! \; Z^{5}}+{z^{6} \ over 6! \; Z^{5}}+\ cdots \ right) \, dz \\ [4pt] = {} & \ oint _ {C} \ venstre ({1 \ over \; z^{5}}+{1 \ over \; z^{4}}+{1 \ over 2! \; z^{3 }}+{1 \ over 3! \; Z^{2}}+{1 \ over 4! \; Z}+{1 \ over \; 5!}+{Z \ over 6!}+\ Cdots \ høyre) \, dz. \ end {align}}}

Siden serien konvergerer jevnt på støtten til integreringsbanen, har vi lov til å utveksle integrasjon og summering. Serien av stiintegralene kollapser deretter til en mye enklere form på grunn av den forrige beregningen. Så nå er integralet rundt C i hvert annet begrep som ikke er i form cz ⁻¹ null, og integralet reduseres til

{\ displaystyle \ oint _ {C} {1 \ over 4! \; z} \, dz = {1 \ over 4!} \ oint _ {C} {1 \ over z} \, dz = {1 \ over 4!} (2 \ pi i) = {\ pi i \ over 12}.}

Verdien 1/4! er resten av e ^z / z ⁵ ved z = 0, og er betegnet

{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {0} {e^{z} \ over z^{5}}, {\ text {or}} \ operatorname {Res} _ {z = 0} {e^{z } \ over z^{5}}, {\ text {eller}} \ operatorname {Res} (f, 0) {\ text {for}} f = {e^{z} \ over z^{5}} .}

Beregning av rester

Anta at en punktert disk D = { z : 0 <| z - c | < R } i det komplekse planet er gitt, og f er et holomorfe funksjon er definert (i det minste) på D . Resten Res ( f , c ) av f ved c er koeffisienten a ₋₁ av ( z - c ) ⁻¹ i Laurent -serieutvidelsen av f rundt c . Det finnes forskjellige metoder for å beregne denne verdien, og valget av hvilken metode som skal brukes avhenger av den aktuelle funksjonen, og av arten av singulariteten.

I følge restsetningen har vi:

{\ displaystyle \ operatorname {Res} (f, c) = {1 \ over 2 \ pi i} \ oint _ {\ gamma} f (z) \, dz}

hvor γ sporer ut en sirkel rundt c mot klokken. Vi kan velge banen γ til å være en sirkel med radius ε rundt c , der ε er så liten som vi ønsker. Dette kan brukes til beregning i tilfeller der integralet kan beregnes direkte, men det er vanligvis slik at rester brukes for å forenkle beregningen av integraler, og ikke omvendt.

Flyttbare singulariteter

Hvis funksjonen f kan fortsettes til en holomorf funksjon på hele disken , så er Res ( f , c ) = 0. Det motsatte er generelt ikke sant. ${\ displaystyle | yc | <R}$

Enkle stenger

På en enkel pol c er resten av f gitt av:

{\ displaystyle \ operatorname {Res} (f, c) = \ lim _ {z \ to c} (zc) f (z).}

Det kan være at funksjonen f kan uttrykkes som en kvotient av to funksjoner, hvor g og h er holomorfe funksjoner i nabolaget til c , med h ( c ) = 0 og h ' ( c ) ≠ 0. I en slik tilfelle, kan L'Hôpital sin regel brukes til å forenkle formelen ovenfor til: ${\ displaystyle f (z) = {\ frac {g (z)} {h (z)}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Res} (f, c) & = \ lim _ {z \ to c} (zc) f (z) = \ lim _ {z \ to c} {\ frac {zg (z) -cg (z)} {h (z)}} \\ [4pt] & = \ lim _ {z \ to c} {\ frac {g (z)+zg '(z) -cg '(z)} {h' (z)}} = {\ frac {g (c)} {h '(c)}}. \ end {align}}}

Grenseformel for poler av høyere orden

Mer generelt, hvis c er en pol av rekkefølge n , kan resten av f rundt z = c bli funnet med formelen:

{\ displaystyle \ operatorname {Res} (f, c) = {\ frac {1} {(n-1)!}} \ lim _ {z \ to c} {\ frac {d^{n-1}} {dz^{n-1}}} \ venstre ((zc)^{n} f (z) \ høyre).}

Denne formelen kan være svært nyttig for å bestemme restene for lavordenspoler. For poler av høyere orden kan beregningene bli uhåndterlige, og serieutvidelse er vanligvis lettere. For essensielle singulariteter eksisterer ingen så enkel formel, og rester må vanligvis tas direkte fra serieutvidelser.

Rest i det uendelige

Generelt er resten ved uendelig definert som:

{\ displaystyle \ operatorname {Res} (f (z), \ infty) =-\ operatorname {Res} \ left ({\ frac {1} {z^{2}}} f \ left ({\ frac {1 } {z}} \ right), 0 \ right).}

Hvis følgende betingelse er oppfylt:

{\ displaystyle \ lim _ {| z | \ to \ infty} f (z) = 0,}

deretter kan resten i det uendelige beregnes ved hjelp av følgende formel:

{\ displaystyle \ operatorname {Res} (f, \ infty) =-\ lim _ {| z | \ to \ infty} z \ cdot f (z).}

Hvis i stedet

{\ displaystyle \ lim _ {| z | \ to \ infty} f (z) = c \ neq 0,}

deretter ble residuet ved uendelig er

{\ displaystyle \ operatorname {Res} (f, \ infty) = \ lim _ {| z | \ to \ infty} z^{2} \ cdot f '(z).}

Seriemetoder

Hvis deler eller hele en funksjon kan utvides til en Taylor -serie eller Laurent -serie , noe som kan være mulig hvis delene eller hele funksjonen har en standard serieutvidelse, er beregningen av rester betydelig enklere enn ved andre metoder.

Som et første eksempel, bør du vurdere å beregne restene ved funksjonalitetens singulariteter
${\ displaystyle f (z) = {\ sin z \ over z^{2} -z}}$

som kan brukes til å beregne visse konturintegraler. Denne funksjonen ser ut til å ha en singularitet på z = 0, men hvis man faktoriserer nevneren og dermed skriver funksjonen som

${\ displaystyle f (z) = {\ sin z \ over z (z-1)}}$

det er tydelig at singulariteten ved z = 0 er en flyttbar singularitet og da er residuet ved z = 0 derfor 0.

Den eneste andre singulariteten er på z = 1. Husk uttrykket for Taylor -serien for en funksjon g ( z ) om z = a :

${\ displaystyle g (z) = g (a)+g '(a) (za)+{g' '(a) (za)^{2} \ over 2!}+{g' '' (a) (za)^{3} \ over 3!}+\ cdots}$

Så for g ( z ) = sin z og a = 1 har vi

${\ displaystyle \ sin z = \ sin 1+(\ cos 1) (z-1)+{-(\ sin 1) (z-1)^{2} \ over 2!}+{-(\ cos 1 ) (z-1)^{3} \ over 3!}+\ cdots.}$

og for g ( z ) = 1/ z og a = 1 har vi

${\ displaystyle {\ frac {1} {z}} = {\ frac {1} {(z-1) +1}} = 1- (z-1)+(z-1)^{2}-( z-1)^{3}+\ cdots.}$

Å multiplisere de to seriene og introdusere 1/( z - 1) gir oss

${\ displaystyle {\ frac {\ sin z} {z (z-1)}} = {\ sin 1 \ over z-1}+(\ cos 1- \ sin 1)+(z-1) \ left ( -{\ frac {\ sin 1} {2!}}-\ cos 1+ \ sin 1 \ høyre)+\ cdots.}$
Så resten av f ( z ) ved z = 1 er sin 1.
Det neste eksemplet viser at ved beregning av en rest etter serieutvidelse, spiller Lagrange inversjonsteorem en stor rolle . La
${\ displaystyle u (z): = \ sum _ {k \ geq 1} u_ {k} z^{k}}$
være en hel funksjon , og la
${\ displaystyle v (z): = \ sum _ {k \ geq 1} v_ {k} z^{k}}$
med positiv konvergensradius, og med . Så har en lokal invers på 0, og er meromorf på 0. Så har vi: ${\ displaystyle \ textstyle v_ {1} \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ textstyle v (z)}$ ${\ displaystyle \ textstyle V (z)}$ ${\ displaystyle \ textstyle u (1 / V (z))}$
${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {0} {\ big (} u (1/V (z)) {\ big)} = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} ku_ {k} v_ {k}.}$
Faktisk,
${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {0} {\ big (} u (1/V (z)) {\ big)} = \ operatorname {Res} _ {0} \ left (\ sum _ {k \ geq 1} u_ {k} V (z)^{-k} \ right) = \ sum _ {k \ geq 1} u_ {k} \ operatorname {Res} _ {0} {\ big (} V (z )^{-k} {\ big)}}$
fordi den første serien konvergerer jevnt på en hvilken som helst liten sirkel rundt 0. Bruke Lagrange inversjonsteorem
${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {0} {\ big (} V (z)^{-k} {\ big)} = kv_ {k},}$
og vi får uttrykket ovenfor. For eksempel hvis og også , da ${\ displaystyle u (z) = z+z^{2}}$ ${\ displaystyle v (z) = z+z^{2}}$
${\ displaystyle V (z) = {\ frac {2z} {1+{\ sqrt {1+4z}}}}}}$
og
${\ displaystyle u (1/V (z)) = {\ frac {1+{\ sqrt {1+4z}}} {2z}}+{\ frac {1+2z+{\ sqrt {1+4z}} } {2z^{2}}}.}$
Det første uttrykket bidrar med 1 til resten, og det andre uttrykket bidrar med 2 siden det er asymptotisk for . Merk at, med tilsvarende sterkere symmetriske antagelser om og , følger det også ${\ displaystyle 1/z^{2}+2/z}$ ${\ displaystyle \ textstyle u (z)}$ ${\ displaystyle \ textstyle v (z)}$
${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {0} \ left (u (1/V) \ right) = \ operatorname {Res} _ {0} \ left (v (1/U) \ right),}$
hvor er en lokal invers av 0. ${\ displaystyle \ textstyle U (z)}$ ${\ displaystyle \ textstyle u (z)}$

Se også

Den rest teoremet vedrører en kontur integral rundt noen av et funksjonenes poler til summen av deres rester
Cauchys integrerte formel
Cauchys integrerte teorem
Mittag-Lefflers teorem
Metoder for konturintegrasjon
Moreras teorem
Delfraksjoner i kompleks analyse

Referanser

Ahlfors, Lars (1979). Kompleks analyse . McGraw Hill.
Marsden, Jerrold E .; Hoffman, Michael J. (1998). Grunnleggende kompleks analyse (3. utg.). WH Freeman. ISBN 978-0-7167-2877-1.

Eksterne linker

"Residue of an analytic function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Complex Residue" . MathWorld .

Languages

In other projects