Høyre trekant - Right triangle
En rett trekant ( amerikansk engelsk ) eller rettvinklet trekant ( britisk ), eller mer formelt sett en ortogonal trekant ( eldgammel gresk : ὀρθόςγωνία , lit. 'oppreist vinkel'), er en trekant der en vinkel er en rett vinkel (det vil si , 90 graders vinkel). Forholdet mellom sidene og andre vinkler i den høyre trekanten er grunnlaget for trigonometri .
Siden motsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen (side c i figuren). Sidene ved siden av den rette vinkelen kalles ben (eller catheti , entall: cathetus ). Side en kan identifiseres som den side som grenser til vinkelen B og i motsetning til (eller motsatt ) vinkel A , mens side b er den side som grenser til vinkelen A , og i motsetning til vinkelen B .
Hvis lengdene på alle tre sidene i en høyre trekant er heltall, sies det at trekanten er en pytagoransk trekant og dens sidelengder er samlet kjent som en pytagoreisk trippel .
Hovedegenskaper
Område
Som med enhver trekant er arealet lik halvparten av basen multiplisert med den tilsvarende høyden. I en høyre trekant, hvis det ene benet er tatt som basen, er det andre høyden, så arealet til en høyre trekant er halvparten av produktet av de to benene. Som et formelen området T er
hvor a og b er trekantens ben.
Dersom incircle er tangent til hypotenusen AB ved punktet P, så betegner den semi-perimeter ( en + b + c ) / 2 som s har vi PA = s - en og PB = s - b , og området er gitt av
Denne formelen gjelder bare for rette trekanter.
Høyder
Hvis en høyde trekkes fra toppunktet med riktig vinkel til hypotenusen, er trekanten delt inn i to mindre trekanter som begge ligner originalen og derfor ligner hverandre. Fra dette:
- Høyden til hypotenusen er det geometriske gjennomsnittet ( gjennomsnittlig proporsjonal ) for de to segmentene av hypotenusen.
- Hvert ben i trekanten er gjennomsnittlig proporsjonal for hypotenusen og segmentet av hypotenusen som ligger ved siden av beinet.
I ligninger,
- (dette er noen ganger kjent som rett trekanthøyde setning )
hvor a , b , c , d , e , f er som vist i diagrammet. Og dermed
Videre er høyden til hypotenusen relatert til beina i den høyre trekanten av
For løsninger av denne ligningen i heltallverdier av a, b, f og c , se her .
Høyden fra begge ben faller sammen med det andre benet. Siden disse krysser seg ved det rettvinklede toppunktet, sammenfaller den rette trekants ortosenter- skjæringspunktet mellom dets tre høyder-med det rettvinklede toppunktet.
Pythagoras teorem
De Pythagoras 'læresetning sier at:
I hvilken som helst høyre trekant er arealet på kvadratet hvis side er hypotenusen (siden motsatt rett vinkel) lik summen av arealene på rutene hvis sider er de to benene (de to sidene som møtes i en rett vinkel ).
Dette kan angis i ligningsform som
hvor c er lengden på hypotenusen, og a og b er lengden på de to resterende sidene.
Pythagoranske trippler er heltallverdier av a, b, c som tilfredsstiller denne ligningen.
Inradius og circumradius
Radiusen til sirkelen til en høyre trekant med bena a og b og hypotenuse c er
Radien til den omskrevne er halve lengden av hypotenusen,
Dermed er summen av omkretsen og inradius halvparten av beina:
Det ene benet kan uttrykkes i form av inradius og det andre benet som
Karakteriseringer
En trekant ABC med sider , semiperimeter s , område T , høyde h motsatt den lengste siden, omkrets R , inradius r , eksradi r a , r b , r c (tangent til henholdsvis a , b , c ) og medianer m a , m b , m c er en rett trekant hvis og bare hvis noen av setningene i de følgende seks kategoriene er sanne. Alle er selvfølgelig også egenskaper til en rett trekant, siden karakteriseringer er ekvivalenser.
Sider og halvmåler
Vinkler
- A og B er komplementære .
Område
- hvor P er tangenspunktet for inkringen på den lengste siden AB .
Inradius og exradii
Høyde og medianer
- Lengden på en median er lik omkretsen .
- Den korteste høyden (den fra toppunktet med den største vinkelen) er det geometriske gjennomsnittet av linjesegmentene den deler den motsatte (lengste) siden inn i. Dette er rett trekanthøyde setning .
Sirkel og sirkel
- Trekanten kan skrives inn i en halvsirkel , med den ene siden som faller sammen med hele diameteren ( Thales 'teorem ).
- Den omskrevet er midtpunktet av den lengste siden.
- Den lengste siden er en diameter på omkretsen
- Sirkelsirkelen tangerer den ni-punkts sirkelen .
- De orthocenter ligger på den omskrevne.
- Avstanden mellom incenter og ortosenter er lik .
Trigonometriske forhold
De trigonometriske funksjonene for spisse vinkler kan defineres som forhold mellom sidene i en høyre trekant. For en gitt vinkel kan en høyre trekant konstrueres med denne vinkelen, og sidene merket motsatt, tilstøtende og hypotenuse med referanse til denne vinkelen i henhold til definisjonene ovenfor. Disse forholdene på sidene avhenger ikke av den bestemte høyre trekanten som er valgt, men bare av den gitte vinkelen, siden alle trekanter konstruert på denne måten er like . Hvis den motsatte siden, den tilstøtende siden og hypotenusen for en gitt vinkel α er merket henholdsvis O , A og H , så er de trigonometriske funksjonene
For uttrykk for hyperboliske funksjoner som forholdet mellom sidene i en høyre trekant, se den hyperbolske trekanten til en hyperbolsk sektor .
Spesielle rette trekanter
Verdiene til de trigonometriske funksjonene kan evalueres nøyaktig for bestemte vinkler ved hjelp av rette trekanter med spesielle vinkler. Disse inkluderer 30-60-90 trekanten som kan brukes til å evaluere de trigonometriske funksjonene for et multiplum av π/6, og 45-45-90 trekanten som kan brukes til å evaluere de trigonometriske funksjonene for et multiplum av π/4 .
Kepler trekant
La H , G og A være det harmoniske gjennomsnittet , det geometriske gjennomsnittet og det aritmetiske gjennomsnittet av to positive tall a og b med a > b . Hvis en høyre trekant har bein H og G og hypotenuse A , da
og
hvor er det gylne snitt Siden sidene i denne høyre trekanten er i geometrisk progresjon , er dette Kepler -trekanten .
Thales 'teorem
Thales teorem sier at hvis A er et punkt i sirkelen med diameter BC (unntatt B eller C selv), er ABC en rett trekant hvor A er riktig vinkel. Det omvendte sier at hvis en høyre trekant er innskrevet i en sirkel, vil hypotenusen være en diameter på sirkelen. En følge er at lengden på hypotenusen er to ganger avstanden fra det rette vinkelpunktet til midtpunktet til hypotenusen. Sentrum av sirkelen som omkranser en høyre trekant er også midtpunktet til hypotenusen og radius er halvparten av lengden på hypotenusen.
Medianer
Følgende formler gjelder for medianene i en høyre trekant:
Medianen på hypotenusen til en høyre trekant deler trekanten i to likebenede trekanter, fordi medianen er lik halvparten av hypotenusen.
Medianene m a og m b fra beina tilfredsstiller
Euler linje
I en rett trekant inneholder Euler-linjen medianen på hypotenusen-det vil si at den går gjennom både det rettvinklede toppunktet og midtpunktet på siden motsatt det toppunktet. Dette er fordi den rette trekants ortosenter, skjæringspunktet mellom dets høyder, faller på det rettvinklede toppunktet mens omkretsen, krysset mellom dets vinkelrette bisektorer av sider , faller på midtpunktet til hypotenusen.
Ulikheter
I en hvilken som helst høyre trekant er diameteren på sirkelen mindre enn halvparten av hypotenusen, og sterkere er den mindre enn eller lik hypotenusetiden
I en høyre trekant med bena a , b og hypotenuse c ,
med likeverd bare i likebehandlet tilfelle.
Hvis høyden fra hypotenusen er betegnet h c , da
med likeverd bare i likebehandlet tilfelle.
Andre eiendommer
Hvis segmenter med lengder p og q som kommer fra toppunkt C, deler tre hypotenusen i segmenter med lengde c /3, så
Den høyre trekanten er den eneste trekanten som har to, i stedet for en eller tre, forskjellige innskrevne firkanter.
Gitt h > k . La h og k være sidene av de to innskrevne firkantene i en rett trekant med hypotenus c . Deretter
Disse sidene og omkretsradiusen r er relatert til en lignende formel:
Omkretsen til en høyre trekant er lik summen av radiusene til omkretsen og de tre utskrivingene :
Se også
- Akutte og stumpe trekanter (skrå trekanter)
- Spiral av Theodorus
Referanser
- Weisstein, Eric W. "Right Triangle" . MathWorld .
- {{cite book | title = A Text-Book of Geometry | first = GA | last = Wentworth | publisher = Ginn & Co. | year = 1895
- {{ høyre trekantkalkulator} } Forenklet beregning | 2021
| url = https://archive.org/details/atextbookgeomet10wentgoog}}