Skalar (matematikk) - Scalar (mathematics)
En skalar er et element i et felt som brukes til å definere et vektorrom . En mengde beskrevet av flere skalarer, for eksempel å ha både retning og størrelse, kalles en vektor .
I lineær algebra , reelle tall eller generelt elementer i et felt er kalt skalarene og vedrører vektorer i et tilhørende vektorrommet gjennom drift av skalar multiplikasjon (definert i vektorrommet), i hvilken en vektor kan bli multiplisert med en skalar i definert måte å produsere en annen vektor. Generelt kan et vektorrom defineres ved å bruke hvilket som helst felt i stedet for reelle tall (for eksempel komplekse tall ). Da vil skalarer av det vektorområdet være elementer i det tilknyttede feltet (for eksempel komplekse tall).
En skalarproduktoperasjon - ikke å forveksle med skalarmultiplikasjon - kan defineres på et vektorrom, slik at to vektorer kan multipliseres på den definerte måten for å produsere en skalar. Et vektorrom utstyrt med et skalarprodukt kalles et indre produktrom .
Den virkelige komponenten i en kvartion kalles også dens skalardel .
Begrepet skalar brukes også noen ganger uformelt for å bety en vektor, matrise , tensor eller annen, vanligvis "sammensatt" verdi som faktisk er redusert til en enkelt komponent. For eksempel sies for eksempel produktet av en 1 × n matrise og en n × 1 matrise, som formelt er en 1 × 1 matrise, å være en skalar .
Uttrykket skalar matrise brukes til å betegne en matrise av formen kI der k er en skalar og I er identitetsmatrisen .
Etymologi
Ordet skalar stammer fra det latinske ordet scalaris , en adjektivisk form av scala (latin for "stigen"), som det engelske ordet skalaen kommer også. Den første registrerte bruken av ordet "skalar" i matematikk forekommer i François Viète 's Analytic Art ( In artem analyticem isagoge ) (1591):
- Størrelser som stiger eller stiger proporsjonalt i samsvar med sin natur fra ett slag til et annet, kan kalles skalære termer.
- (Latin: Magnitudines quae ex genere ad genus sua vi proportionaliter adscendunt vel descendunt, vocentur Scalares. )
I følge et sitat i Oxford English Dictionary kom den første registrerte bruken av begrepet "skalar" på engelsk med WR Hamilton i 1846, og refererte til den virkelige delen av en kvartion:
- Den algebraisk virkelige delen kan, i henhold til spørsmålet der den forekommer, motta alle verdier som finnes på den ene skalaen for progresjon av tall fra negativ til positiv uendelig; vi skal kalle det derfor den skalære delen.
Definisjoner og egenskaper
Skalarer av vektorrom
Et vektorrom er definert som et sett med vektorer (additiv abelisk gruppe ), et sett med skalarer ( felt ) og en skalar multiplikasjonsoperasjon som tar en skalar k og en vektor v til en annen vektor k v . For eksempel, i en koordinatrommet , skalarmultiplikasjonen utbytter . I et (lineært) funksjonsrom er kƒ funksjonen x ↦ k ( ƒ ( x )).
Skalarene kan tas fra hvilket som helst felt, inkludert rasjonelle , algebraiske , reelle og komplekse tall, så vel som endelige felt .
Skalarer som vektorkomponenter
I følge en grunnleggende teorem om lineær algebra har hvert vektorrom et grunnlag . Det følger at hvert vektorrom over et felt K er isomorft i forhold til det tilsvarende koordinatvektorrommet hvor hver koordinat består av elementer av K (f.eks. Koordinater ( a 1 , a 2 , ..., a n ) hvor a i ∈ K og n er dimensjonen til vektorområdet som tas i betraktning.). For eksempel, hver reell vektorrommet av dimensjon n er isomorf med den n -dimensjonale reelle plass R n .
Skalarer i normerte vektorrom
Alternativt kan et vektorrom V utstyres med en normfunksjon som tilordner hver vektor v i V en skalar || v ||. Per definisjon multipliserer v med en skalar k også normen med | k |. Hvis || v || tolkes som lengden på v , kan denne operasjonen beskrives som å skalere lengden på v med k . Et vektorrom utstyrt med en norm kalles et normert vektorrom (eller normert lineært rom ).
Normen defineres vanligvis som et element i Vs skalarfelt K , som begrenser sistnevnte til felt som støtter forestillingen om tegn. Videre, hvis V har dimensjon 2 eller mer, må K være lukket under kvadratrot, så vel som de fire aritmetiske operasjonene; dermed er de rasjonelle tallene Q ekskludert, men surd-feltet er akseptabelt. Av denne grunn er ikke alle skalare produktområder et normert vektorrom.
Skalarer i moduler
Når kravet om at settet med skalarer danner et felt er lempet slik at det bare trenger å danne en ring (slik at for eksempel divisjonen av skalarer ikke trenger å være definert, eller skalarene ikke trenger å være kommutativ ), resulterer den mer generelle algebraisk struktur kalles en modul .
I dette tilfellet kan "skalarer" være kompliserte gjenstander. For eksempel, hvis R er en ring, kan vektorene i produktområdet R n gjøres til en modul med n × n- matriser med oppføringer fra R som skalarene. Et annet eksempel kommer fra mangfoldig teori , hvor rommet i seksjoner av tangentbunten danner en modul over algebraen til virkelige funksjoner på manifolden.
Skaleringstransformasjon
Den skalære multiplikasjonen av vektorrom og moduler er et spesielt tilfelle av skalering , en slags lineær transformasjon .
Skalaroperasjoner (informatikk)
Operasjoner som gjelder en enkelt verdi om gangen.
- Skalarprosessor kontra vektorprosessor eller superscalar prosessor
- Variabel (informatikk) noen ganger også referert til som en "skalar"
Se også
Referanser
Eksterne linker
- "Scalar" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Scalar" . MathWorld .
- Mathwords.com - Skalar