Tensor - Tensor

Den andre orden Cauchy stress tensor ( ) beskriver spenningskreftene som et materiale opplever på et gitt tidspunkt. Produktet av spenningstensoren og en enhetsvektor , som peker i en gitt retning, er en vektor som beskriver spenningskreftene som et materiale opplever på punktet beskrevet av spenningstensoren, langs et plan vinkelrett på . Dette bildet viser spenningsvektorene langs tre vinkelrette retninger, hver representert med et ansikt på kuben. Siden spenningstensoren beskriver en kartlegging som tar en vektor som inngang, og gir en vektor som utgang, er det en andreordens tensor.${\ displaystyle \ mathbf {T}}$${\ displaystyle \ mathbf {T} \ cdot \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

I matematikk er en tensor et algebraisk objekt som beskriver et flerlinjet forhold mellom sett med algebraiske objekter relatert til et vektorrom . Objekter som tensorer kan kartlegge mellom inkluderer vektorer og skalarer , og til og med andre tensorer. Det er mange typer tensorer, inkludert skalarer og vektorer (som er de enkleste tensorene), to vektorer , flelinjære kart mellom vektorrom og til og med noen operasjoner som prikkproduktet . Tensorer er definert uavhengig av ethvert grunnlag , selv om de ofte refereres til av komponentene i et grunnlag knyttet til et bestemt koordinatsystem.

Tensorer har blitt viktige i fysikk fordi de gir en kortfattet matematisk ramme for å formulere og løse fysikkproblemer på områder som mekanikk ( stress , elastisitet , væskemekanikk , treghetsmoment , ...), elektrodynamikk ( elektromagnetisk tensor , Maxwell tensor , permittivitet , magnetisk følsomhet , ...), eller generell relativitet ( stress - energi tensor , krumningstensor , ...) og andre. I applikasjoner er det vanlig å studere situasjoner der en annen tensor kan oppstå på hvert punkt i et objekt; for eksempel kan spenningen i et objekt variere fra et sted til et annet. Dette fører til konseptet med et tensorfelt . I noen områder er tensorfelt så allestedsnærværende at de ofte ganske enkelt kalles "tensorer".

Tullio Levi-Civita og Gregorio Ricci-Curbastro populariserte tensorer i 1900-fortsatte det tidligere arbeidet til Bernhard Riemann og Elwin Bruno Christoffel og andre-som en del av den absolutte differensialberegningen . Konseptet muliggjorde en alternativ formulering av den indre differensialgeometrien til en manifold i form av Riemann -krumningstensoren .

Definisjon

Selv om de tilsynelatende er forskjellige, beskriver de forskjellige tilnærmingene til å definere tensorer det samme geometriske konseptet ved å bruke forskjellige språk og på forskjellige abstraksjonsnivåer. For eksempel defineres og diskuteres tensorer for applikasjoner for statistikk og maskinlæring .

Som flerdimensjonale matriser

En tensor kan representeres som en matrise (potensielt flerdimensjonal). På samme måte som en vektor i et n - dimensjonalt rom er representert av en endimensjonal matrise med n komponenter i forhold til et gitt grunnlag , representeres enhver tensor i forhold til et grunnlag av en flerdimensjonal matrise. For eksempel er en lineær operator representert på en basis som et todimensjonalt firkantet n × n- array. Tallene i den flerdimensjonale matrisen er kjent som skalarkomponentene i tensoren eller bare dens komponenter . De er angitt med indekser som gir sin posisjon i matrisen, som abonnementer og overskrift , etter det symbolske navnet på tensoren. For eksempel kan komponentene i en rekkefølge 2 tensor T betegnes T _ij  , hvor i og j er indekser som går fra 1 til n , eller også med T ^jeg
_j. Hvorvidt en indeks vises som et overskrift eller abonnement, avhenger av transformatoregenskapene til tensoren, beskrevet nedenfor. Således mens T _ij og T ^jeg
_jkan begge uttrykkes som n ved n matriser, og er numerisk relatert via indeksjonglering , indikerer forskjellen i deres transformasjonslover at det ville være feil å legge dem sammen. Det totale antallet indekser som kreves for å identifisere hver komponent unikt, er lik dimensjonen til matrisen, og kalles rekkefølgen , graden eller rangen til tensoren. Imidlertid har begrepet "rang" generelt en annen betydning i sammenheng med matriser og tensorer.

Akkurat som komponentene i en vektor endres når vi endrer grunnlaget for vektorrommet, endres også komponentene i en tensor under en slik transformasjon. Hver type tensor er utstyrt med en transformasjonslov som beskriver hvordan komponentene i tensoren reagerer på en grunnendring . Komponentene i en vektor som kan reagere på to forskjellige måter til en endring av basis (se kovarians og contravariance av vektorer ), hvor de nye basisvektorene er uttrykt i form av de gamle basisvektorer som, ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} = \ sum _ {j = 1}^{n} \ mathbf {e} _ {j} R_ {i}^{j} = \ mathbf { e} _ {j} R_ {i}^{j}.}$

Her er R ^j _i oppføringene i endringen av grunnmatrisen, og i uttrykket til høyre ble summetegnet undertrykt: dette er Einstein -summasjonskonvensjonen , som vil bli brukt gjennom denne artikkelen. Komponentene v ⁱ i en kolonnevektor v transformerer med inversen av matrisen R ,

${\ displaystyle {\ hat {v}}^{i} = \ venstre (R^{-1} \ høyre) _ {j}^{i} v^{j},}$

hvor hatten betegner komponentene i det nye grunnlaget. Dette kalles en kontravariant transformasjonslov, fordi vektorkomponentene transformeres ved invers av grunnendringen. I motsetning til dette blir komponentene, w _i , av en covector (eller rad vektor), w trans med matrisen R i seg selv,

${\ displaystyle {\ hat {w}} _ {i} = w_ {j} R_ {i}^{j}.}$

Dette kalles en kovariant transformasjonslov, fordi kovektorkomponentene transformeres med samme matrise som endringen av grunnmatrisen . Komponentene i en mer generell tensortransformasjon ved en kombinasjon av kovariante og kontravariante transformasjoner, med en transformasjonslov for hver indeks. Hvis transformasjonsmatrisen til en indeks er den inverse matrisen til grunntransformasjonen, kalles indeksen kontravariant og er konvensjonelt betegnet med en øvre indeks (overskrift). Hvis transformasjonsmatrisen til en indeks er selve transformasjonen, kalles indeksen kovariant og er angitt med en lavere indeks (subscript).

Som et enkelt eksempel er matrisen til en lineær operator i forhold til et grunnlag en rektangulær matrise som transformeres under en endring av grunnmatrisen med . For de enkelte matriseoppføringene har denne transformasjonsloven formen slik at tensoren som tilsvarer matrisen til en lineær operator har en kovariant og en kontravariant indeks: den er av typen (1,1). ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle R = \ left (R_ {i}^{j} \ right)}$${\ displaystyle {\ hat {T}} = R^{-1} TR}$${\ displaystyle {\ hat {T}} _ {j '}^{i'} = \ venstre (R^{-1} \ høyre) _ {i}^{i '} T_ {j}^{i} R_ {j '}^{j}}$

Kombinasjoner av kovariante og kontravariante komponenter med samme indeks tillater oss å uttrykke geometriske invarianter. For eksempel kan det faktum at en vektor er det samme objektet i forskjellige koordinatsystemer fanges opp av følgende ligninger, ved å bruke formlene definert ovenfor:

${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ hat {v}}^{i} \, \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} = \ left (\ left (R^{-1} \ right ) _ {j}^{i} {v}^{j} \ høyre) \ venstre (\ mathbf {e} _ {k} R_ {i}^{k} \ høyre) = \ venstre (\ venstre (R ^{-1} \ right) _ {j}^{i} R_ {i}^{k} \ right) {v}^{j} \ mathbf {e} _ {k} = \ delta _ {j} ^{k} {v}^{j} \ mathbf {e} _ {k} = {v}^{k} \, \ mathbf {e} _ {k} = {v}^{i} \, \ mathbf {e} _ {i}}$,

hvor er Kronecker -deltaet , som fungerer på samme måte som identitetsmatrisen , og har effekten av å gi indekser nytt navn ( j til k i dette eksemplet). Dette viser flere trekk ved komponentnotasjonen: muligheten til å omarrangere vilkår etter ønske ( kommutativitet ), behovet for å bruke forskjellige indekser når du arbeider med flere objekter i samme uttrykk, evnen til å gi nytt navn til indekser og måten kontravariant og kovariante tensorer kombineres slik at alle forekomster av transformasjonsmatrisen og dens inverse avbrytes, slik at uttrykk som umiddelbart kan sees å være geometrisk identiske i alle koordinatsystemer. ${\ displaystyle \ delta _ {j}^{k}}$${\ displaystyle {v}^{i} \, \ mathbf {e} _ {i}}$

På samme måte er en lineær operator, sett på som et geometrisk objekt, faktisk ikke avhengig av et grunnlag: det er bare et lineært kart som godtar en vektor som et argument og produserer en annen vektor. Transformasjonsloven for hvordan matrisen av komponenter i en lineær operatør endres med grunnlaget er i samsvar med transformasjonsloven for en kontravariant vektor, slik at virkningen av en lineær operatør på en kontravariant vektor er representert i koordinater som matriksproduktet til deres respektive koordinatrepresentasjoner. Det vil si at komponentene er gitt av . Disse komponentene transformeres kontravariant siden ${\ displaystyle (Tv)^{i}}$${\ displaystyle (Tv)^{i} = T_ {j}^{i} v^{j}}$

${\ displaystyle \ left ({\ widehat {Tv}} \ right)^{i '} = {\ hat {T}} _ {j'}^{i '} {\ hat {v}}^{j' } = \ venstre [\ venstre (R^{-1} \ høyre) _ {i}^{i '} T_ {j}^{i} R_ {j'}^{j} \ høyre] \ venstre [\ venstre (R^{-1} \ høyre) _ {j}^{j '} v^{j} \ høyre] = \ venstre (R^{-1} \ høyre) _ {i}^{i'} (TV)^{i}.}$

Transformasjonsloven for en ordre p + q tensor med p kontravariantindekser og q kovariansindekser er dermed gitt som,

${\ displaystyle {\ hat {T}} _ {j '_ {1}, \ ldots, j' _ {q}}^{i '_ {1}, \ ldots, i' _ {p}} = \ venstre (R^{-1} \ høyre) _ {i_ {1}}^{i '_ {1}} \ cdots \ venstre (R^{-1} \ høyre) _ {i_ {p}}^{ jeg er _ {p}}}$ ${\ displaystyle T_ {j_ {1}, \ ldots, j_ {q}}^{i_ {1}, \ ldots, i_ {p}}}$ ${\ displaystyle R_ {j '_ {1}}^{j_ {1}} \ cdots R_ {j' _ {q}}^{j_ {q}}.}$

Her angir de primede indeksene komponenter i de nye koordinatene, og de ikke -primede indeksene angir komponentene i de gamle koordinatene. En slik tensor sies å være av orden eller type ( p , q ) . Begrepene "rekkefølge", "type", "rang", "valens" og "grad" brukes noen ganger for det samme konseptet. Her vil begrepet "ordre" eller "total rekkefølge" bli brukt for den totale dimensjonen til matrisen (eller generaliseringen i andre definisjoner), p + q i det foregående eksemplet, og begrepet "type" for paret som gir antall kontravariante og kovariante indekser. En tensor av typen ( p , q ) kalles også en ( p , q ) -tensor for kort.

Denne diskusjonen motiverer følgende formelle definisjon:

Definisjon. En tensor av typen ( p , q ) er en tildeling av en flerdimensjonal matrise

${\ displaystyle T_ {j_ {1} \ dots j_ {q}}^{i_ {1} \ dots i_ {p}} [\ mathbf {f}]}$

til hver basis f = ( e ₁ , ..., e _n ) i et n -dimensjonalt vektorrom slik at hvis vi bruker grunnendringen

${\ displaystyle \ mathbf {f} \ mapsto \ mathbf {f} \ cdot R = \ left (\ mathbf {e} _ {i} R_ {1}^{i}, \ dots, \ mathbf {e} _ { i} R_ {n}^{i} \ høyre)}$

så følger den flerdimensjonale matrisen transformasjonsloven

${\ displaystyle T_ {j '_ {1} \ dots j' _ {q}}^{i '_ {1} \ dots i' _ {p}} [\ mathbf {f} \ cdot R] = \ venstre (R^{-1} \ høyre) _ {i_ {1}}^{i '_ {1}} \ cdots \ left (R^{-1} \ right) _ {i_ {p}}^{i '_ {p}}}$ ${\ displaystyle T_ {j_ {1}, \ ldots, j_ {q}}^{i_ {1}, \ ldots, i_ {p}} [\ mathbf {f}]}$ ${\ displaystyle R_ {j '_ {1}}^{j_ {1}} \ cdots R_ {j' _ {q}}^{j_ {q}}.}$

Definisjonen av en tensor som en flerdimensjonal matrise som tilfredsstiller en transformasjonslov, går tilbake til arbeidet til Ricci.

En tilsvarende definisjon av en tensor bruker representasjonene til den generelle lineære gruppen . Det er en handling av den generelle lineære gruppen på settet av alle ordnede baser av et n -dimensjonalt vektorrom. Hvis er et ordnet grunnlag, og er en inverterbar matrise, blir handlingen gitt av ${\ displaystyle \ mathbf {f} = (\ mathbf {f} _ {1}, \ dots, \ mathbf {f} _ {n})}$${\ displaystyle R = \ left (R_ {j}^{i} \ right)}$${\ displaystyle n \ ganger n}$

${\ displaystyle \ mathbf {f} R = \ left (\ mathbf {f} _ {i} R_ {1}^{i}, \ dots, \ mathbf {f} _ {i} R_ {n}^{i }\Ikke sant).}$

La F være settet til alle ordnede baser. Da er F en hoved homogen plass for GL ( n ). La W være et vektorrom og la være en representasjon av GL ( n ) på W (det vil si en gruppehomomorfisme ). Da er en tensor av typen et ekvivalent kart . Ekvivalanse her betyr det ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle \ rho: {\ text {GL}} (n) \ til {\ text {GL}} (W)}$${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle T: F \ til W}$

${\ displaystyle T (FR) = \ rho \ left (R^{-1} \ right) T (F).}$

Når er en tensorrepresentasjon av den generelle lineære gruppen, gir dette den vanlige definisjonen av tensorer som flerdimensjonale matriser. Denne definisjonen brukes ofte til å beskrive tensorer på manifolder, og generaliserer lett til andre grupper. ${\ displaystyle \ rho}$

Som flercirkede kart

En ulempe ved definisjonen av en tensor ved bruk av den flerdimensjonale matrisetilnærmingen er at det ikke fremgår av definisjonen at det definerte objektet faktisk er basisuavhengig, slik det forventes fra et iboende geometrisk objekt. Selv om det er mulig å vise at transformasjonslover faktisk sikrer uavhengighet fra grunnlaget, foretrekkes noen ganger en mer iboende definisjon. En tilnærming som er vanlig i differensialgeometri, er å definere tensorer i forhold til et fast (endelig-dimensjonalt) vektorrom V , som vanligvis regnes som et bestemt vektorrom av noen geometrisk betydning som tangensrommet til en manifold. I denne tilnærmingen er en type ( p , q ) tensor T definert som et flerlinjet kart ,

${\ displaystyle T: \ underbrace {V^{*} \ times \ dots \ times V^{*}} _ {p {\ text {kopier}}} \ ganger \ underbrace {V \ ganger \ punkter \ ganger V} _ {q {\ text {kopier}}} \ rightarrow \ mathbf {R},}$

hvor V ^∗ er det korresponderende dobbeltrommet av kuvektorer, som er lineært i hvert av argumentene. Den ovennevnte foruts V er en vektor plass i løpet av de reelle tall , ℝ . Mer generelt kan V overtas over hvilket som helst felt F (f.eks. De komplekse tallene ), med F som erstatter ℝ som kodenavn for de flerlinjære kartene.

Ved å bruke et flerlinjet kart T av typen ( p , q ) på et grunnlag { e _j } for V og en kanonisk kobase { ε ⁱ } for V ^∗ ,

${\ displaystyle T_ {j_ {1} \ dots j_ {q}}^{i_ {1} \ dots i_ {p}} \ equiv T \ left ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}^{i_ {1}} , \ ldots, {\ boldsymbol {\ varepsilon}}^{i_ {p}}, \ mathbf {e} _ {j_ {1}}, \ ldots, \ mathbf {e} _ {j_ {q}} \ right ),}$

en ( p + q ) -dimensjonal rekke komponenter kan oppnås. Et annet grunnvalg vil gi forskjellige komponenter. Men fordi T er lineær i alle sine argumenter, tilfredsstiller komponentene tensortransformasjonsloven som ble brukt i definisjonen med flere linjer. Det flerdimensjonale utvalget av komponenter av T danner således en tensor i henhold til denne definisjonen. Videre kan en slik matrise bli realisert som bestanddelene av noen multilinear kart T . Dette motiverer visning av flerlinjære kart som de iboende objektene som ligger til grunn for tensorer.

I viser en tensor som et multilinear kart, er det vanlig å identifisere den dobbel dobbel V ^** fra vektorrommet V , dvs. den plass av lineære functionals på den doble vektorrommet V ^* , med vektorrommet V . Det er alltid et naturlig lineær transformasjon fra V til sin dobbel dobbel, gitt ved å evaluere en lineær form i V ^* mot en vektor i V . Denne lineære kartleggingen er en isomorfisme i begrensede dimensjoner, og det er ofte hensiktsmessig å identifisere V med sin doble dobbel.

Bruker tensorprodukter

For noen matematiske applikasjoner er en mer abstrakt tilnærming noen ganger nyttig. Dette kan oppnås ved å definere tensorer når det gjelder elementer av tensorprodukter av vektorrom, som igjen er definert gjennom en universell egenskap . En type ( p , q ) tensor er i denne sammenhengen definert som et element i tensorproduktet av vektorrom,

${\ displaystyle T \ in \ underbrace {V \ otimes \ dots \ otimes V} _ {p {\ text {kopier}}} \ otimes \ underbrace {V^{*} \ otimes \ dots \ otimes V^{*} } _ {q {\ text {kopier}}}.}$

En basis v _i av V og basis w _j av W naturlig indusere en basis v _i ⊗ w _j av den tensorprodukt V ⊗ W . Komponentene i en tensor T er tensorens koeffisienter i forhold til grunnlaget som er oppnådd fra et grunnlag { e _i } for V og dets to basis { ε ^j } , dvs.

${\ displaystyle T = T_ {j_ {1} \ dots j_ {q}}^{i_ {1} \ dots i_ {p}} \; \ mathbf {e} _ {i_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes \ mathbf {e} _ {i_ {p}} \ otimes {\ boldsymbol {\ varepsilon}}^{j_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes {\ boldsymbol {\ varepsilon}}^{j_ {q} }.}$

Ved å bruke egenskapene til tensorproduktet, kan det vises at disse komponentene tilfredsstiller transformasjonsloven for en type ( p , q ) tensor. Videre universell egenskap av tensor produktet gir en en -to- en korrespondanse mellom tensorer definert på denne måten og tensorer definert som multilinear kart.

Denne 1 til 1 -korrespondansen kan arkiveres på følgende måte, fordi det i det endelige dimensjonale tilfellet eksisterer en kanonisk isomorfisme mellom et vektorrom og dets doble dual:

${\ displaystyle U \ otimes V \ cong \ left (U^{**} \ right) \ otimes \ left (V^{**} \ right) \ cong \ left (U^{*} \ otimes V^{ *} \ right)^{*} \ cong \ operatorname {Hom}^{2} \ left (U^{*} \ times V^{*}; \ mathbb {F} \ right)}$

Den siste linjen bruker den universelle egenskapen til tensorproduktet, at det er en 1 til 1 korrespondanse mellom kart fra og . ${\ displaystyle \ operatorname {Hom}^{2} \ left (U^{*} \ times V^{*}; \ mathbb {F} \ right)}$${\ displaystyle \ operatorname {Hom} \ left (U^{*} \ otimes V^{*}; \ mathbb {F} \ right)}$

Tensor -produkter kan defineres i stor generellitet - for eksempel ved å involvere vilkårlige moduler over en ring. I prinsippet kan man definere en "tensor" bare for å være et element i et hvilket som helst tensorprodukt. Imidlertid forbeholder matematikklitteraturen vanligvis begrepet tensor for et element av et tensorprodukt av et hvilket som helst antall kopier av et enkelt vektorrom V og dets dual, som ovenfor.

Tensorer i uendelige dimensjoner

Denne diskusjonen om tensorer forutsetter så langt en endelig dimensjonalitet av de involverte mellomrom, der mellomrommene til tensorer oppnådd med hver av disse konstruksjonene naturligvis er isomorfe . Konstruksjoner av mellomrom for tensorer basert på tensorproduktet og flerlinjære kartlegginger kan generaliseres, i hovedsak uten modifikasjon, til vektorgrupper eller sammenhengende skiver . For uendelige dimensjonale vektorrom fører uekvivalente topologier til ulik forestillinger om tensor, og disse forskjellige isomorfismene holder kanskje eller ikke avhengig av hva som egentlig menes med en tensor (se topologisk tensorprodukt ). I noen applikasjoner er det tensorproduktet av Hilbert-mellomrom som er beregnet, hvis egenskaper er mest lik den endelige dimensjonale saken. Et mer moderne syn er at det er tensorenes struktur som en symmetrisk monoid kategori som koder for deres viktigste egenskaper, snarere enn de spesifikke modellene for disse kategoriene.

Tensorfelt

I mange bruksområder, spesielt i differensialgeometri og fysikk, er det naturlig å vurdere en tensor med komponenter som er funksjonene til punktet i et rom. Dette var rammen for Riccis originale verk. I moderne matematisk terminologi kalles et slikt objekt et tensorfelt , ofte referert til som en tensor.

I denne sammenhengen velges ofte et koordinatgrunnlag for tangentvektorrommet . Transformasjonsloven kan deretter uttrykkes i form av partielle derivater av koordinatfunksjonene,

${\ displaystyle {\ bar {x}}^{i} \ left (x^{1}, \ ldots, x^{n} \ right),}$

definere en koordinat transformasjon,

${\ displaystyle {\ hat {T}} _ {j '_ {1} \ dots j' _ {q}}^{i '_ {1} \ prikker i' _ {p}} \ venstre ({\ bar {x}}^{1}, \ ldots, {\ bar {x}}^{n} \ right) = {\ frac {\ partiell {\ bar {x}}^{i '_ {1}}} {\ delvis x^{i_ {1}}}} \ cdots {\ frac {\ delvis {\ bar {x}}^{i '_ {p}}} {\ delvis x^{i_ {p}}} } {\ frac {\ partiell x^{j_ {1}}} {\ delvis {\ bar {x}}^{j '_ {1}}}} \ cdots {\ frac {\ delvis x^{j_ { q}}} {\ delvis {\ bar {x}}^{j '_ {q}}}} T_ {j_ {1} \ prikker j_ {q}}^{i_ {1} \ prikker i_ {p} } \ venstre (x^{1}, \ ldots, x^{n} \ høyre).}$

Eksempler

Et elementært eksempel på en kartlegging som kan beskrives som en tensor er prikkproduktet , som kartlegger to vektorer til en skalar. Et mer komplekst eksempel er Cauchy -spenningstensoren T , som tar en retningsvektor v som inngang og kartlegger den til spenningsvektoren T ^{( v )} , som er kraften (per arealenhet) som utøves av materiale på den negative siden av plan vinkelrett mot v mot materialet på den positive siden av planet, og uttrykker dermed et forhold mellom disse to vektorene, vist på figuren (til høyre). Den kryssproduktet , hvor to vektorer blir konvertert til et tredje, er strengt tatt ikke en tensor for det forandrer fortegn under slike transformasjoner som endrer orienteringen av koordinatsystemet. Det totalt antisymmetriske symbolet tillater likevel en praktisk håndtering av kryssproduktet i like orienterte tredimensjonale koordinatsystemer. ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$

Denne tabellen viser viktige eksempler på tensorer på vektorrom og tensorfelt på manifolder. Tensorene er klassifisert i henhold til deres type ( n , m ) , hvor n er antallet kontravariantindekser, m er antall kovarianteindekser, og n + m gir den totale rekkefølgen på tensoren. For eksempel er en bilinjær form det samme som en (0, 2) -tensor; et indre produkt er et eksempel på en (0, 2) -tensor, men ikke alle (0, 2) -tensorer er indre produkter. I (0, M ) -innføringen i tabellen angir M dimensionaliteten til det underliggende vektorrommet eller mangfoldet fordi for hver dimensjon i rommet er det nødvendig med en egen indeks for å velge den dimensjonen for å få en maksimal kovariant antisymmetrisk tensor.

Å heve en indeks på en ( n , m ) -tensor gir en ( n + 1, m -1 ) -tensor; dette tilsvarer å bevege seg diagonalt ned og til venstre på bordet. Symmetrisk betyr det å senke en indeks å bevege seg diagonalt opp og til høyre på bordet. Sammentrekning av en overdel med en lavere indeks på en ( n , m ) -tensor gir en ( n -1 , m -1 ) -tensor; dette tilsvarer å bevege seg diagonalt opp og til venstre på bordet.

Orientering definert av et ordnet sett med vektorer.

Omvendt orientering tilsvarer å negere det utvendige produktet.

Geometrisk tolkning av klasse n -elementer i en ekte eksteriøralgebra for n = 0 (signert punkt), 1 (rettet linjesegment eller vektor), 2 (orientert planelement), 3 (orientert volum). Det utvendige produktet av n vektorer kan visualiseres som en hvilken som helst n -dimensjonal form (f.eks. N - parallelotop , n - ellipsoid ); med størrelse ( hypervolume ), og orientering er definert ved at det på sin n - 1 -dimensjonal grense og på hvilken side det innvendig er.

Egenskaper

Forutsatt et grunnlag for et reelt vektorrom, f.eks. En koordinatramme i omgivelsesrommet, kan en tensor representeres som en organisert flerdimensjonal rekke numeriske verdier med hensyn til dette spesifikke grunnlaget. Å endre grunnlaget transformerer verdiene i matrisen på en karakteristisk måte som gjør det mulig å definere tensorer som objekter som følger denne transformasjonsatferden. For eksempel er det invarianter av tensorer som må bevares under enhver endring av grunnlaget, og derved bare gjøre visse flerdimensjonale tallriser til en tensor. Sammenlign dette med matrisen som representerer ikke å være en tensor, for tegnendringen under transformasjoner som endrer retningen. ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$

Fordi komponentene i vektorer og deres dualiteter transformeres annerledes under endringen av deres doble baser, er det en kovariant og/eller kontravariant transformasjonslov som relaterer matrisene, som representerer tensoren med hensyn til det ene grunnlaget og det med hensyn til det andre . Tallene på henholdsvis vektorer: n ( kontravariantindekser ) og dobbelvektorer: m ( kovarianteindekser ) i inngang og utgang til en tensor bestemmer typen (eller valensen ) av tensoren, et par naturlige tall ( n , m ) , som bestemmer den presise formen for transformasjonsloven. De rekkefølgen på en tensor er summen av disse to tallene.

Ordren (også grad ellerrang ) av en tensor er dermed summen av ordenene til argumentene pluss rekkefølgen til den resulterende tensoren. Dette er også dimensionaliteten til rekken av tall som er nødvendig for å representere tensoren med hensyn til et bestemt grunnlag, eller tilsvarende, antall indekser som trengs for å merke hver komponent i den matrisen. For eksempel, på et fast grunnlag, er et standard lineært kart som kartlegger en vektor til en vektor, representert av en matrise (et 2-dimensjonalt array), og er derfor en 2.-ordens tensor. En enkel vektor kan representeres som en 1-dimensjonal matrise, og er derfor en 1.-ordens tensor. Skalarer er enkle tall og er dermed tensors i 8. orden. På denne måten har tensoren som representerer skalarproduktet, tar to vektorer og resulterer i en skalar orden2 + 0 = 2, det samme som spenningstensoren, tar en vektor og returnerer en annen1 + 1 = 2. Symbolet, somkartlegger to vektorer til en vektor, ville ha rekkefølge2 + 1 = 3.${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$

Samlingen av tensorer på et vektorrom og dets dobbel danner en tensoralgebra , som tillater produkter av vilkårlige tensorer. Enkle applikasjoner av tensorer av orden 2 , som kan representeres som en firkantmatrise, kan løses ved smart arrangement av transponerte vektorer og ved å anvende reglene for matrisemultiplikasjon, men tensorproduktet skal ikke forveksles med dette.

Notasjon

Det er flere notasjonssystemer som brukes til å beskrive tensorer og utføre beregninger som involverer dem.

Ricci calculus

Ricci calculus er den moderne formalismen og notasjonen for tensorindekser: indikerer indre og ytre produkter , kovarians og kontravariasjon , summering av tensorkomponenter, symmetri og antisymmetri , og partielle og kovariante derivater .

Einstein summasjonskonvensjon

Den Einstein summering konvensjonen dispenserer med å skrive summeringsskilt , slik summering implisitt. Ethvert gjentatt indekssymbol summeres over: hvis indeksen i brukes to ganger i et gitt ledd i et tensoruttrykk, betyr det at begrepet skal summeres for alle i . Flere forskjellige par indekser kan summeres på denne måten.

Penrose grafisk notasjon

Penrose grafisk notasjon er en diagrammatisk notasjon som erstatter symbolene for tensorer med former, og indeksene deres med linjer og kurver. Det er uavhengig av grunnelementer, og krever ingen symboler for indeksene.

Abstrakt indeksnotasjon

Den abstrakte indeksnotasjonen er en måte å skrive tensorer på slik at indeksene ikke lenger blir betraktet som numeriske, men snarere er ubestemte . Denne notasjonen fanger indeksenes ekspressivitet og grunn-uavhengigheten til indeksfri notasjon.

Komponentfri notasjon

En komponentfri behandling av tensorer bruker notasjon som understreker at tensorer ikke stoler på noe grunnlag, og er definert i form av tensorproduktet av vektorrom .

Operasjoner

Det er flere operasjoner på tensorer som igjen produserer en tensor. Den lineære naturen til tensor innebærer at to tensorer av samme type kan legges sammen, og at tensorer kan multipliseres med en skalar med resultater som er analoge med skalering av en vektor . På komponenter utføres disse operasjonene ganske enkelt komponentmessig. Disse operasjonene endrer ikke type tensor; men det er også operasjoner som produserer en tensor av forskjellig type.

Tensorprodukt

Den tensorprodukt tar to tensors, S og T , og frembringer en ny tensor, S ⊗ T , hvis ordre er summen av rekkefølgene av de opprinnelige tensorer. Når det beskrives som flerlinjære kart, multipliserer tensorproduktet ganske enkelt de to tensorene, dvs.

${\ displaystyle (S \ otimes T) (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}, v_ {n+1}, \ ldots, v_ {n+m}) = S (v_ {1}, \ ldots , v_ {n}) T (v_ {n+1}, \ ldots, v_ {n+m}),}$

som igjen produserer et kart som er lineært i alle sine argumenter. På komponenter er effekten å multiplisere komponentene i de to inngangstensorene parvis, dvs.

${\ displaystyle (S \ otimes T) _ {j_ {1} \ ldots j_ {k} j_ {k+1} \ ldots j_ {k+m}}^{i_ {1} \ ldots i_ {l} i_ { l+1} \ ldots i_ {l+n}} = S_ {j_ {1} \ ldots j_ {k}}^{i_ {1} \ ldots i_ {l}} T_ {j_ {k+1} \ ldots j_ {k+m}}^{i_ {l+1} \ ldots i_ {l+n}},}$

Hvis S er av typen ( l , k ) og T er av typen ( n , m ) , har tensorproduktet S ⊗ T type ( l + n , k + m ) .

Kontraksjon

Tensorkontraksjon er en operasjon som reduserer en type ( n , m ) tensor til en type ( n - 1, m - 1) tensor, hvorav sporet er et spesielt tilfelle. Det reduserer derved den totale størrelsen på en tensor med to. Operasjonen oppnås ved å summere komponenter som en spesifisert kontravariantindeks er den samme som en spesifisert kovariantindeks for å produsere en ny komponent. Komponenter som de to indeksene er forskjellige for, kastes. For eksempel kan en (1, 1) -tensor kontraheres til en skalar gjennom . Hvor summeringen igjen antydes. Når (1, 1) -tensoren tolkes som et lineært kart, er denne operasjonen kjent som sporet . ${\ displaystyle T_ {i}^{j}}$${\ displaystyle T_ {i}^{i}}$

Sammentrekningen brukes ofte i forbindelse med tensorproduktet for å trekke en indeks fra hver tensor.

Sammentrekningen kan også forstås ved å bruke definisjonen av en tensor som et element i et tensorprodukt av kopier av mellomrommet V med mellomrommet V ^∗ ved først å dekomponere tensoren til en lineær kombinasjon av enkle tensorer, og deretter bruke en faktor fra V ^* til en faktor fra V . For eksempel kan en tensor skrives som en lineær kombinasjon ${\ displaystyle T \ in V \ otimes V \ otimes V^{*}}$

${\ displaystyle T = v_ {1} \ otimes w_ {1} \ otimes \ alpha _ {1}+v_ {2} \ otimes w_ {2} \ otimes \ alpha _ {2}+\ cdots+v_ {N} \ otimes w_ {N} \ otimes \ alpha _ {N}.}$

Sammentrekningen av T på det første og siste sporet er deretter vektoren

${\ displaystyle \ alpha _ {1} (v_ {1}) w_ {1}+\ alpha _ {2} (v_ {2}) w_ {2}+\ cdots+\ alpha _ {N} (v_ {N) }) w_ {N}.}$

I et vektorrom med et indre produkt (også kjent som en metrisk ) g , brukes begrepet sammentrekning for å fjerne to kontravariant eller to kovariante indekser ved å danne et spor med den metriske tensoren eller dens inverse. For eksempel kan en (2, 0) -tensor kontraheres til en skalar gjennom (nok en gang forutsatt summeringskonvensjonen). ${\ displaystyle T^{ij}}$${\ displaystyle T^{ij} g_ {ij}}$

Hev eller senk en indeks

Når et vektorrom er utstyrt med en ikke -generert bilinær form (eller metrisk tensor som det ofte kalles i denne sammenhengen), kan operasjoner defineres som konverterer en kontravariant (øvre) indeks til en kovariant (nedre) indeks og omvendt. En metrisk tensor er en (symmetrisk) ( 0, 2) -tensor; det er dermed mulig å trekke en øvre indeks på en tensor med en av de nedre indeksene til den metriske tensoren i produktet. Dette gir en ny tensor med samme indeksstruktur som den forrige tensoren, men med lavere indeks generelt vist i samme posisjon som den kontrakterte øvre indeksen. Denne operasjonen er ganske grafisk kjent som å senke en indeks .

Motsatt kan den inverse operasjonen defineres, og kalles heve en indeks . Dette tilsvarer en lignende sammentrekning på produktet med en (2, 0) -tensor. Denne inverse metriske tensoren har komponenter som er matrisen invers av de til den metriske tensoren.

applikasjoner

Kontinuummekanikk

Viktige eksempler er gitt av kontinuummekanikk . Spenningene inne i et fast legeme eller væske er beskrevet av et tensorfelt. Den spenningstensoren og deformasjonstensoren er begge andre-ordens tensor felter, og er forbundet i et generelt lineært elastisk materiale ved hjelp av en fjerde-ordens elastisitet tensor felt. I detalj har tensorkvantifiseringsspenningen i et tredimensjonalt fast objekt komponenter som enkelt kan representeres som et 3 × 3-array. De tre sidene til et kubeformet uendelig volum segment av det faste stoffet er hver utsatt for en gitt kraft. Kraftens vektorkomponenter er også tre i antall. Dermed kreves 3 × 3 eller 9 komponenter for å beskrive spenningen ved dette kubeformede uendelige segmentet. Innenfor dette faststoffet er det en hel masse med varierende spenningsmengder, som hver krever 9 mengder for å beskrive. Dermed er en andreordens tensor nødvendig.

Hvis et bestemt overflateelement inne i materialet skilles ut, vil materialet på den ene siden av overflaten utøve en kraft på den andre siden. Generelt vil ikke denne kraften være ortogonal i forhold til overflaten, men den vil avhenge av orienteringen av overflaten på en lineær måte. Dette beskrives av en tensor av typen (2, 0) , i lineær elastisitet , eller mer presist av et tensorfelt av typen (2, 0) , siden spenningene kan variere fra punkt til punkt.

Andre eksempler fra fysikk

Vanlige applikasjoner inkluderer:

• Elektromagnetisk tensor (eller Faraday tensor) i elektromagnetisme
• Endelige deformasjonstensorer for beskrivelse av deformasjoner og belastningstensor for belastning i kontinuummekanikk
• Permittivitet og elektrisk følsomhet er tensorer i anisotropiske medier
• Fire-tensors i generell relativitet (f.eks spennings-energi tensor ), som brukes til å representere moment flussmidler
• Sfæriske tensor operatorer er de egenfunksjonene quantum vinkelmoment operatør i sfæriske koordinater
• Diffusjonstensorer, grunnlaget for diffusjonstensoravbildning , representerer diffusjonshastigheter i biologiske miljøer
• Kvantemekanikk og kvanteberegning bruker tensorprodukter for kombinasjon av kvantetilstander

Søknader om ordretensorer> 2

Konseptet med en tensor av orden to er ofte i konflikt med matrisen. Tensorer av høyere orden fanger imidlertid opp ideer som er viktige innen vitenskap og ingeniørfag, slik det har blitt vist suksessivt på mange områder etter hvert som de utvikler seg. Dette skjer for eksempel innen datasyn , med den trifokale tensoren som generaliserer den grunnleggende matrisen .

Feltet av ikke-lineære optiske studerer endringer i material polarisasjon tetthet under ekstreme elektriske felt. Polarisasjonsbølgene som genereres er relatert til de genererende elektriske feltene gjennom den ikke -lineære følsomhetstensoren. Hvis polarisasjonen P ikke er lineært proporsjonal med det elektriske feltet E , kalles mediet ikke -lineært . Til en god tilnærming (for tilstrekkelig svake felt, forutsatt at det ikke er permanente dipolmomenter), er P gitt av en Taylor -serie i E hvis koeffisienter er de ikke -lineære følsomhetene:

${\ displaystyle {\ frac {P_ {i}} {\ varepsilon _ {0}}} = \ sum _ {j} \ chi _ {ij}^{(1)} E_ {j}+\ sum _ {jk } \ chi _ {ijk}^{(2)} E_ {j} E_ {k}+\ sum _ {jk \ ell} \ chi _ {ijk \ ell}^{(3)} E_ {j} E_ { k} E _ {\ ell}+\ cdots. \!}$

Her er den lineære følsomheten, gir Pockels -effekten og den andre harmoniske generasjonen , og gir Kerr -effekten . Denne utvidelsen viser måten høyere ordens tensorer oppstår naturlig i emnet. ${\ displaystyle \ chi ^{(1)}}$${\ displaystyle \ chi ^{(2)}}$${\ displaystyle \ chi ^{(3)}}$

Generaliseringer

Tensorprodukter av vektorrom

Vektorrommene i et tensorprodukt trenger ikke være de samme, og noen ganger kalles elementene i et slikt mer generelt tensorprodukt "tensors". For eksempel er et element i tensorproduktområdet V ⊗ W en andreordens "tensor" i denne mer generelle forstand, og en ordnet d tensor kan på samme måte defineres som et element i et tensorprodukt av d forskjellige vektorrom. En type ( n , m ) tensor, i den forstand som er definert tidligere, er også en tensor av orden n + m i denne mer generelle forstand. Konseptet med tensorprodukt kan utvides til vilkårlige moduler over en ring .

Tensorer i uendelige dimensjoner

Forestillingen om en tensor kan generaliseres på en rekke måter til uendelige dimensjoner . Den ene er for eksempel via tensorproduktet fra Hilbert -mellomrom . En annen måte å generalisere ideen om tensor, vanlig i ikke-lineær analyse , er via multilinear kartdefinisjonen der man i stedet for å bruke endelige dimensjonale vektorrom og deres algebraiske dualer bruker uendelig-dimensjonale Banach-mellomrom og deres kontinuerlige dual . Tensorer lever dermed naturlig på Banach -manifolder og Fréchet -manifolder .

Tensortetthet

Anta at et homogent medium fyller R ³ , slik at tettheten av mediet er beskrevet ved en enkelt skalar verdi ρ i kg m ^-3 . Massen, i kg, for en region Ω oppnås ved å multiplisere ρ med volumet av regionen Ω , eller ekvivalent integrere konstanten ρ over regionen:

${\ displaystyle m = \ int _ {\ Omega} \ rho \, dx \, dy \, dz}$

hvor de kartesiske koordinatene xyz måles i m. Hvis lengdenhetene endres til cm, må de numeriske verdiene til koordinatfunksjonene skaleres med en faktor 100:

${\ displaystyle x '= 100x, \ quad y' = 100y, \ quad z '= 100z}$

Den numeriske verdien av tettheten ρ må da også transformeres med for å kompensere, slik at den numeriske verdien av massen i kg fortsatt er gitt ved integral av . Dermed (i enheter på kg cm ⁻³ ). ${\ displaystyle 100^{-3} \ mathrm {m^{3}/cm^{3}}}$${\ displaystyle \ rho \, dx \, dy \, dz}$${\ displaystyle \ rho '= 100^{-3} \ rho}$

Mer generelt, hvis de kartesiske koordinatene xyz gjennomgår en lineær transformasjon, må den numeriske verdien av tettheten ρ endres med en faktor i gjensidigheten til den absolutte verdien av determinanten for koordinattransformasjonen, slik at integralet forblir invariant, av endring av variabler formel for integrasjon. En slik mengde som skaleres med det gjensidige av den absolutte verdien av determinanten til koordinatovergangskartet kalles en skalartetthet . For å modellere en ikke-konstant tetthet er ρ en funksjon av variablene xyz (et skalarfelt ), og under en krumlinjet endring av koordinater, transformeres det ved gjensidig av jakobianeren av koordinatendringen. For mer om den inneboende betydningen, se Density on a manifold .

En tensortetthet transformeres som en tensor under en koordinatendring, bortsett fra at den i tillegg henter en faktor for absoluttverdien til determinanten for koordinatovergangen:

${\ displaystyle T_ {j '_ {1} \ dots j' _ {q}}^{i '_ {1} \ dots i' _ {p}} [\ mathbf {f} \ cdot R] = | \ det R |^{-w} \ venstre (R^{-1} \ høyre) _ {i_ {1}}^{i '_ {1}} \ cdots \ venstre (R^{-1} \ høyre) _ {i_ {p}}^{i '_ {p}}}$ ${\ displaystyle T_ {j_ {1}, \ ldots, j_ {q}}^{i_ {1}, \ ldots, i_ {p}} [\ mathbf {f}]}$ ${\ displaystyle R_ {j '_ {1}}^{j_ {1}} \ cdots R_ {j' _ {q}}^{j_ {q}}.}$

Her kalles w vekten. Generelt kalles enhver tensor multiplisert med en effekt av denne funksjonen eller dens absolutte verdi en tensortetthet, eller en vektet tensor. Et eksempel på en tensortetthet er strømtettheten til elektromagnetisme .

Under en affin transformasjon av koordinatene transformeres en tensor av den lineære delen av selve transformasjonen (eller dens inverse) på hver indeks. Disse kommer fra de rasjonelle representasjonene til den generelle lineære gruppen. Men dette er ikke helt den mest generelle lineære transformasjonsloven som et slikt objekt kan ha: tensortettheter er ikke-rasjonelle, men er fortsatt halvenkelige representasjoner. En ytterligere klasse transformasjoner kommer fra den logaritmiske representasjonen av den generelle lineære gruppen, en reduserbar, men ikke halvenkel representasjon, bestående av en ( x , y ) ∈ R ² med transformasjonsloven

${\ displaystyle (x, y) \ mapsto (x+y \ log \ left | \ det R \ right |, y).}$

Geometriske objekter

Transformasjonsloven for en tensor oppfører seg som en funktor på kategorien tillatte koordinatsystemer, under generelle lineære transformasjoner (eller andre transformasjoner innenfor en klasse, for eksempel lokale diffeomorfismer .) Dette gjør en tensor til et spesielt tilfelle av et geometrisk objekt, i den tekniske følelsen av at det er en funksjon av koordinatsystemet som transformerer funksjonelt under koordinatendringer. Eksempler på objekter som adlyder mer generelle former for transformasjonslover er jetfly og, mer generelt sett, naturlige bunter .

Spinnere

Ved endring fra en ortonormal basis (kalt en ramme ) til en annen ved en rotasjon, transformeres komponentene i en tensor ved den samme rotasjonen. Denne transformasjonen er ikke avhengig av banen som går gjennom rammene. Imidlertid er rammene ikke bare koblet sammen (se orienteringsforvikling og platetriks ): det er kontinuerlige baner i rammen med rammer med samme begynnelse og sluttkonfigurasjon som ikke er deformerbare til hverandre. Det er mulig å feste en ekstra diskret invariant til hver ramme som inneholder denne stiavhengigheten, og som viser seg (lokalt) å ha verdier på ± 1. En spinor er et objekt som transformeres som en tensor under rotasjoner i rammen, bortsett fra et mulig tegn som bestemmes av verdien av denne diskrete invarianten.

Kort oppsummert er spinorer elementer i rotasjonsgruppens spin -representasjon , mens tensorer er elementer i dens tensor -representasjoner . Andre klassiske grupper har tensorrepresentasjoner, og så også tensorer som er kompatible med gruppen, men alle ikke-kompakte klassiske grupper har også uendelige dimensjonale enhetsrepresentasjoner.

Historie

Konseptene om senere tensoranalyse oppsto fra arbeidet til Carl Friedrich Gauss i differensialgeometri , og formuleringen var mye påvirket av teorien om algebraiske former og invarianter utviklet i midten av det nittende århundre. Selve ordet "tensor" ble introdusert i 1846 av William Rowan Hamilton for å beskrive noe annet enn det som nå menes med en tensor. Den moderne bruken ble introdusert av Woldemar Voigt i 1898.

Tensor calculus ble utviklet rundt 1890 av Gregorio Ricci-Curbastro under tittelen absolute differential calculus , og opprinnelig presentert av Ricci-Curbastro i 1892. Den ble gjort tilgjengelig for mange matematikere ved publiseringen av Ricci-Curbastro og Tullio Levi-Civitas 1900 klassisk tekst Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (Metoder for absolutt differensialberegning og deres applikasjoner).

I det 20. århundre, kom temaet å bli kjent som tensor analyse , og oppnådd bredere aksept med innføringen av Einstein 's teori om generell relativitet , er rundt 1915. Generelt relativitets formulert helt i språket tensorer. Einstein hadde lært om dem, med store vanskeligheter, fra geometret Marcel Grossmann . Levi-Civita innledet deretter en korrespondanse med Einstein for å rette opp feil Einstein hadde gjort i sin bruk av tensoranalyse. Korrespondansen varte 1915–17, og var preget av gjensidig respekt:

Jeg beundrer elegansen i beregningsmetoden din; det må være hyggelig å sykle gjennom disse feltene på hesten til ekte matematikk, mens vi liknende må gå hardt til fots.

-  Albert Einstein

Tensorer ble også funnet å være nyttige på andre felt, for eksempel kontinuummekanikk . Noen kjente eksempler på tensorer i differensialgeometri er kvadratiske former som metriske tensorer og Riemann-krumningstensoren . Den utvendige algebraen til Hermann Grassmann , fra midten av det nittende århundre, er i seg selv en tensorteori og svært geometrisk, men det var en stund før den ble sett, med teorien om differensielle former , som naturlig forent med tensorberegning. Arbeidet til Élie Cartan gjorde differensialformer til en av de grunnleggende typer tensorer som ble brukt i matematikk.

Fra omtrent 1920 -tallet og utover ble det innsett at tensorer spiller en grunnleggende rolle i algebraisk topologi (for eksempel i Künneth -setningen ). Tilsvarende er det typer tensorer i arbeid i mange grener av abstrakt algebra , spesielt innen homologisk algebra og representasjonsteori . Flerlinjær algebra kan utvikles i større generellitet enn for skalarer som kommer fra et felt . For eksempel kan skalarer komme fra en ring . Men teorien er da mindre geometrisk og beregninger mer tekniske og mindre algoritmiske. Tensorer generaliseres innenfor kategoriteori ved hjelp av begrepet monoid kategori , fra 1960 -tallet .

Se også

• Array datatype , for tensor lagring og manipulasjon

Grunnleggende

• Kartesisk tensor
• Fiberbunt
• Ordliste over tensor teori
• Flerlinjær projeksjon
• En-form
• Tensorprodukt av moduler

applikasjoner

• Anvendelse av tensorteori i ingeniørfag
• Kontinuummekanikk
• Kovariant derivat
• Krumning
• Diffusjon tensor MR
• Einstein -feltligninger
• Væskemekanikk
• Tyngdekraften
• Multilinear subspace learning
• Riemannisk geometri
• Struktur tensor
• Tensor dekomponering
• Tensor -derivat
• Tensor -programvare

Merknader

Referanser

Spesifikk

Generell

• Denne artikkelen inneholder materiale fra tensor på PlanetMath , som er lisensiert under Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Eksterne linker

• Weisstein, Eric W. "Tensor" . MathWorld .
• Ray M. Bowen og CC Wang (1976). Introduction to Vectors and Tensors, Vol 1: Linear and Multilinear Algebra . New York, NY: Plenum Press. hdl : 1969.1/2502 .CS1 maint: bruker forfatterparameter ( lenke )
• Ray M. Bowen og CC Wang (2006). Introduction to Vectors and Tensors, Vol 2: Vector and Tensor Analysis . hdl : 1969.1/3609 .CS1 maint: bruker forfatterparameter ( lenke )
• An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering av Joseph C. Kolecki, Glenn Research Center, Cleveland, Ohio, utgitt av NASA
• Foundations of Tensor Analysis for Students of Physics and Engineering With an Introduction to theory of relativity av Joseph C. Kolecki, Glenn Research Center, Cleveland, Ohio, utgitt av NASA
• En diskusjon om de forskjellige tilnærmingene til undervisning i tensorer, og anbefalinger av lærebøker
• Sharipov, Ruslan (2004). "Rask introduksjon til tensoranalyse". arXiv : matematikk.HO/0403252 .
• Richard Feynmans foredrag om tensorer.