Seifert overflate - Seifert surface

En Seifert -overflate avgrenset av et sett med borromeiske ringer .

I matematikk er en Seifert -overflate (oppkalt etter den tyske matematikeren Herbert Seifert ) en orienterbar overflate hvis grense er en gitt knute eller lenke .

Slike overflater kan brukes til å studere egenskapene til den tilhørende knuten eller lenken. For eksempel er mange knop invarianter lettest beregnet ved hjelp av en Seifert overflate. Seifert -overflater er også interessante i seg selv, og gjenstand for betydelig forskning.

La L være en temmelig orientert knute eller lenke i euklidisk 3-mellomrom (eller i 3-sfæren ). En Seifert-overflate er en kompakt , koblet , orientert overflate S innebygd i 3-rom hvis grense er L slik at orienteringen på L bare er den induserte retningen fra S , og hver tilkoblede komponent i S har en ikke-tom grense.

Vær oppmerksom på at enhver kompakt, tilkoblet, orientert overflate med ikke-avgrenset grense i euklidisk 3-rom er Seifert-overflaten knyttet til grenseleddet. En enkelt knute eller lenke kan ha mange forskjellige uensartede Seifert -overflater. En Seifert -overflate må være orientert . Det er også mulig å knytte overflater til knuter som ikke er orientert eller orienterbar.

Eksempler

En Seifert -overflate for Hopf -lenken . Dette er en ring, ikke en Möbius -stripe. Den har to halvvridninger og er dermed orienterbar.

Standard Möbius -stripe har knuten for en grense, men er ikke en Seifert -overflate for knuten fordi den ikke er orienterbar.

"Sjakkbrettet" fargelegging av den vanlige minimale kryssingsprojeksjonen av treforknuten gir en Mobius -stripe med tre halve vendinger. Som med forrige eksempel, er dette ikke en Seifert -overflate ettersom den ikke er orienterbar. Å bruke Seiferts algoritme til dette diagrammet, som forventet, gir en Seifert -overflate; i dette tilfellet er det en punktert torus av slekten g = 1, og Seifert -matrisen er

{\ displaystyle V = {\ begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}

Eksistens og Seifert -matrise

Det er et teorem om at enhver kobling alltid har en tilhørende Seifert -overflate. Denne teoremet ble først utgitt av Frankl og Pontryagin i 1930. Et annet bevis ble utgitt i 1934 av Herbert Seifert og er avhengig av det som nå kalles Seifert -algoritmen. Den algoritme frembringer en overflate Seifert , gitt en projeksjon av knute eller aktuelle koblingen. ${\ displaystyle S}$

Anta at koblingen har m -komponenter ( m = 1 for en knute), diagrammet har d krysspunkter, og oppløsning av kryssene (bevaring av knutens orientering) gir f sirkler. Deretter konstrueres overflaten av f disjoint disker ved å feste d -bånd. Homologigruppen er gratis abelsk på 2 g generatorer, hvor ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle H_ {1} (S)}$

{\ displaystyle g = (2+dfm)/2}

er slekten til . Den kryss skjema Q på er skjevsymmetrisk , og det er på basis av 2 g sykluser ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle H_ {1} (S)}$

{\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {2g}}

med

{\ displaystyle Q = (Q (a_ {i}, a_ {j}))}

den direkte summen av g kopier av

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}

.

En illustrasjon av "pushoff" av en homologgenerator a i de positive og negative retningene for Seifert -overflaten i figur åtte knop.

2 g × 2 g heltall Seifert -matrisen

{\ displaystyle V = (v (i, j))}

har den knytte nummer i euklidsk 3-plass (eller i det 3-sfære ) av en _i og "pushoff" av en _j i den positive retning av . Mer presist, husker at Seifert -overflater er tohalsede, noe som betyr at vi kan utvide innstøpningen til en innebygging av , gitt en representativ sløyfe som er homologgenerator i det indre av den positive utstøtingen er og den negative utstøtingen er . ${\ displaystyle v (i, j)}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S \ ganger [-1,1]}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x \ times \ {1 \}}$ ${\ displaystyle x \ times \ {-1 \}}$

Med dette har vi

{\ displaystyle VV^{*} = Q,}

hvor V ^* = ( v ( j , i )) transponeringsmatrisen. Hvert helt 2 g × 2 g matrise med oppstår som Seifert -matrisen til en knute med slekten g Seifert -overflate. ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle VV^{*} = Q}$

Den Alexander polynom blir beregnet fra den Seifert matrise ved hvilken er et polynom av grad høyst 2 g i den ubestemte Alexander polynom er uavhengig av valget av Seifert overflate og er en invariant av knuten eller kobling. ${\ displaystyle A (t) = \ det (V-tV^{*}),}$ ${\ displaystyle t.}$ ${\ displaystyle S,}$

Den signaturen til en knute er signatur av den symmetriske Seifert matrise Det er igjen et invariant av knuten eller lenke. ${\ displaystyle V+V^{\ mathrm {T}}.}$

Slekten av en knute

Seifert -overflater er slett ikke unike: en Seifert -overflate S av slekten g og Seifert -matrisen V kan endres ved en topologisk operasjon , noe som resulterer i en Seifert -overflate S ′ av slekten g + 1 og Seifert -matrisen

{\ displaystyle V '= V \ oplus {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}

Den genus av en knute K er den knute invariant definert ved den minimale slekten g av en Seifert overflate for K .

For eksempel:

En knute - som per definisjon er grensen til en plate - har slekten null. Videre er knuten den eneste knuten med slekten null.
Den trekløver knute har slekten 1, som gjør den åttetallsknute .
Slekten til a ( p , q )- torus knute er ( p- 1) ( q- 1)/2
Graden av en knots Alexander -polynom er en nedre grense for det dobbelte av slekten.

En grunnleggende egenskap ved slekten er at den er additiv med hensyn til knutesummen :

{\ displaystyle g (K_ {1} \#K_ {2}) = g (K_ {1})+g (K_ {2})}

Generelt er slekten til en knute vanskelig å beregne, og Seifert -algoritmen produserer vanligvis ikke en Seifert -overflate av minst slekt. Av denne grunn er andre beslektede invarianter noen ganger nyttige. Den kanoniske slekten til en knute er den minste slekten av alle Seifert -overflater som kan konstrueres av Seifert -algoritmen, og den frie slekten er den minste slekten av alle Seifert -overflater hvis komplement i er et håndtak . (Komplementet til en Seifert -overflate generert av Seifert -algoritmen er alltid et håndtak.) For enhver knute holder ulikheten åpenbart, så spesielt setter disse invariantene øvre grenser for slekten. ${\ displaystyle g_ {c}}$ ${\ displaystyle g_ {f}}$ ${\ displaystyle S^{3}}$ ${\ displaystyle g \ leq g_ {f} \ leq g_ {c}}$

Se også

Referanser

Eksterne linker

Den SeifertView program av Jack van Wijk visualiserer Seifert overflater knop bygget ved hjelp Seifert algoritme.

Languages

In other projects