Signaturoperatør - Signature operator

I matematikk er signaturoperatøren en elliptisk differensialoperator definert på et bestemt underrom av differensialformens rom på en jevnt dimensjonal kompakt Riemannian manifold , hvis analytiske indeks er den samme som den topologiske signaturen til manifolden hvis dimensjonen til manifold er et multiplum av fire. Det er en forekomst av en Dirac-type operatør.

Definisjon i det jevndimensjonale tilfellet

La være en kompakt Riemannian manifold med jevn dimensjon . La ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 2l}$

${\ displaystyle d: \ Omega ^ {p} (M) \ rightarrow \ Omega ^ {p + 1} (M)}$

være det ytre avledede på- ordens differensialformer på . Riemannian-beregningen lar oss definere Hodge-stjerneoperatøren og med det det indre produktet ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ star}$

${\ displaystyle \ langle \ omega, \ eta \ rangle = \ int _ {M} \ omega \ wedge \ star \ eta}$

på skjemaer. Betegn med

${\ displaystyle d ^ {*}: \ Omega ^ {p + 1} (M) \ høyre pil \ Omega ^ {p} (M)}$

den tilstøtende operatøren av utvendig differensial . Denne operatøren kan uttrykkes utelukkende med Hodge-stjerneoperatøren som følger: ${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle d ^ {*} = (- 1) ^ {2l (p + 1) + 2l + 1} \ star d \ star = - \ star d \ star}$

Vurder nå å handle på rommet i alle former . En måte å betrakte dette som en gradert operator er følgende: La være en involusjon i rommet av alle former definert av: ${\ displaystyle d + d ^ {*}}$${\ displaystyle \ Omega (M) = \ bigoplus _ {p = 0} ^ {2l} \ Omega ^ {p} (M)}$${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle \ tau (\ omega) = i ^ {p (p-1) + l} \ star \ omega \ quad, \ quad \ omega \ in \ Omega ^ {p} (M)}$

Det er bekreftet at anti-pendler med og følgelig veksler - eigenspaces av ${\ displaystyle d + d ^ {*}}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle (\ pm 1)}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {\ pm} (M)}$${\ displaystyle \ tau}$

Følgelig

${\ displaystyle d + d ^ {*} = {\ begin {pmatrix} 0 & D \\ D ^ {*} & 0 \ end {pmatrix}}}$

Definisjon: Operatøren med ovennevnte gradering henholdsvis operatøren ovenfor kalles signaturoperatøren for . ${\ displaystyle d + d ^ {*}}$${\ displaystyle D: \ Omega _ {+} (M) \ rightarrow \ Omega _ {-} (M)}$${\ displaystyle M}$

Definisjon i det oddedimensjonale tilfellet

I de odde-dimensjonale tilfellet man definerer signaturen operatør som skal virke på selv-dimensjonale former . ${\ displaystyle i (d + d ^ {*}) \ tau}$${\ displaystyle M}$

Hirzebruch signatursetning

Hvis , slik at dimensjonen av er et multiplum av fire, antyder Hodge-teorien at: ${\ displaystyle l = 2k}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ mathrm {index} (D) = \ mathrm {sign} (M)}$

hvor den høyre side er det topologiske signatur ( dvs. den signaturen til en kvadratisk form på definert av koppen produkt ). ${\ displaystyle H ^ {2k} (M) \}$

The Heat Equation tilnærming til Atiyah-Singer indeksteoremet kan deretter brukes til å vise at:

${\ displaystyle \ mathrm {sign} (M) = \ int _ {M} L (p_ {1}, \ ldots, p_ {l})}$

hvor er den Hirzebruch L-polynom , og de Pontrjagin skjemaene på . ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle p_ {i} \}$${\ displaystyle M}$

Homotopi-invarians av de høyere indeksene

Kaminker og Miller beviste at de høyere indeksene til signaturoperatøren er homotopy-invariante.

Se også

• Hirzebruch signatursetning
• Pontryagin-klasse
• Friedrich Hirzebruch
• Michael Atiyah
• Isadore Singer

Merknader

Referanser

• Atiyah, MF; Bott, R. (1967), "A Lefschetz fixed-point formula for elliptic complexes I", Annals of Mathematics , 86 (2): 374–407, doi : 10.2307 / 1970694 , JSTOR   1970694
• Atiyah, MF; Bott, R .; Patodi, VK (1973), "On the heat equation and the index theorem", Inventiones Math. , 19 (4): 279–330, doi : 10.1007 / bf01425417
• Gilkey, PB (1973), "Curvature and the eigenvalues ​​of the Laplacian for elliptic complexes", Advances in Mathematics , 10 (3): 344–382, doi : 10.1016 / 0001-8708 (73) 90119-9
• Hirzebruch, Friedrich (1995), Topologiske metoder i algebraisk geometri, 4. utgave , Berlin og Heidelberg: Springer-Verlag. Pp. 234, ISBN   978-3-540-58663-0
• Kaminker, Jerome; Miller, John G. (1985), "Homotopy Invariance of the Analytic Index of Signature Operators over C * -Algebras" (PDF) , Journal of Operator Theory , 14 : 113–127