Hirzebruch signatur setning - Hirzebruch signature theorem

I differensialtopologi , et område av matematikk , er Hirzebruch-signatursetningen (noen ganger kalt Hirzebruch-indekssetningen) Friedrich Hirzebruchs resultat fra 1954 som uttrykker signaturen til et jevnt lukket orientert manifold ved en lineær kombinasjon av Pontryagin-tall kalt L-slekten . Den ble brukt i beviset på Hirzebruch - Riemann - Roch -setningen .

Erklæring om teoremet

L-slekten er slekten for den multiplikative sekvensen av polynomer assosiert med den karakteristiske kraftserien

${\ displaystyle {x \ over \ tanh (x)} = \ sum _ {k \ geq 0} {{2^{2k} B_ {2k} \ over (2k)!} x^{2k}} = 1+ {x^{2} \ over 3}-{x^{4} \ over 45}+\ cdots.}$

De to første av de resulterende L-polynomene er:

• ${\ displaystyle L_ {1} = {\ tfrac {1} {3}} p_ {1}}$
• ${\ displaystyle L_ {2} = {\ tfrac {1} {45}} (7p_ {2} -p_ {1}^{2})}$

Ved å ta for Pontryagin-klassene i tangentbunten av en 4 n dimensjonal glatt lukket orientert manifold M oppnår man L-klassene til M. Hirzebruch viste at den n-th L-klassen av M evaluert på den grunnleggende klassen M, , er lik , signaturen til M (dvs. signaturen til skjæringsskjemaet på den 2. n. kohomologigruppen til M): ${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle p_ {i} (M)}$${\ displaystyle [M]}$${\ displaystyle \ sigma (M)}$

${\ displaystyle \ sigma (M) = \ langle L_ {n} (p_ {1} (M), \ dots, p_ {n} (M)), [M] \ rangle.}$

Skisse av bevis på signatursetningen

René Thom hadde tidligere bevist at signaturen ble gitt av en lineær kombinasjon av Pontryagin -tall , og Hirzebruch fant den eksakte formelen for denne lineære kombinasjonen ved å introdusere forestillingen om slekten til en multiplikativ sekvens.

Siden den rasjonelt orienterte kobordismringen er lik ${\ displaystyle \ Omega _ {*}^{\ text {SO}} \ otimes \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^{\ text {SO}} \ otimes \ mathbb {Q} = \ mathbb {Q} [\ mathbb {P} ^{2} (\ mathbb {C}), \ mathbb {P} ^{4} (\ mathbb {C}), \ ldots],}$

polynomalgebra generert av de orienterte kobordismeklassene i de jevnt dimensjonale komplekse prosjektive rom , er det nok å bekrefte at ${\ displaystyle [\ mathbb {P} ^{2i} (\ mathbb {C})]}$

${\ displaystyle \ sigma (\ mathbb {P} ^{2i}) = 1 = \ langle L_ {i} (p_ {1} (\ mathbb {P} ^{2i}), \ ldots, p_ {n} ( \ mathbb {P} ^{2i})), [\ mathbb {P} ^{2i}] \ rangle}$

for alt jeg.

Generaliseringer

Signatursetningen er et spesialtilfelle av Atiyah - Singer -indekssetningen for signaturoperatøren . Den analytiske indeksen til signaturoperatøren tilsvarer manifoldens signatur, og dens topologiske indeks er manifoldens L-slekt. Etter setningen Atiyah – Singer er disse like.

Referanser

Kilder