Strukturell stabilitet - Structural stability

I matematikk er strukturell stabilitet en grunnleggende egenskap for et dynamisk system som betyr at banenees kvalitative oppførsel ikke påvirkes av små forstyrrelser (for å være nøyaktig C ^{1 -} små forstyrrelser).

Eksempler på slike kvalitative egenskaper er antall faste punkter og periodiske baner (men ikke periodene deres). I motsetning til Lyapunov-stabilitet , som vurderer forstyrrelser av innledende forhold for et fast system, håndterer strukturell stabilitet forstyrrelser av selve systemet. Varianter av dette begrepet gjelder systemer med vanlige differensiallikninger , vektorfelt på glatte manifolder og strømmer generert av dem, og diffeomorfismer .

Strukturelt stabile systemer ble introdusert av Aleksandr Andronov og Lev Pontryagin i 1937 under navnet "systèmes grossiers", eller grove systemer . De kunngjorde en karakterisering av grove systemer i flyet, Andronov – Pontryagin-kriteriet . I dette tilfellet er strukturelt stabile systemer typiske , de danner et åpent tett sett i rommet til alle systemer utstyrt med passende topologi. I høyere dimensjoner er dette ikke lenger sant, noe som indikerer at typisk dynamikk kan være veldig kompleks (jf. Merkelig tiltrekker ). En viktig klasse av strukturelt stabile systemer i vilkårlige dimensjoner er gitt av Anosov diffeomorfismer og strømmer.

Definisjon

La G være en åpen domene i R ⁿ med kompakt lukking og glatt ( n -1)-dimensjonale grense . Tenk på rommet X ¹ ( G ) som består av begrensninger for G av C ¹ vektorfelt på R ⁿ som er tverrgående til grensen til G og er innoverrettet. Dette rommet er utstyrt med C ^1- beregningen på vanlig måte. Et vektorfelt F ∈ X ¹ ( G ) er svakt strukturelt stabilt hvis det for noen tilstrekkelig liten forstyrrelse F ₁ er de tilsvarende strømningene topologisk ekvivalente på G : det eksisterer en homeomorfisme h : G → G som transformerer de orienterte banene til F til orienterte baner av F ₁ . Hvis dessuten en eller annen ε > 0 den homeomorfi h kan velges til å være C ⁰ ε -nær til kartet identitet når F ₁ tilhører en passende området av F , avhengig av ε , deretter F heter (sterkt) strukturelt stabil . Disse definisjonene strekker seg på en enkel måte til tilfellet med n- dimensjonale kompakte glatte manifolder med grense. Andronov og Pontryagin betraktet opprinnelig den sterke eiendommen. Analoge definisjoner kan gis for diffeomorfismer i stedet for vektorfelt og strømmer: i denne innstillingen må homeomorfismen h være en topologisk konjugasjon .

Det er viktig å merke seg at topologisk ekvivalens realiseres med tap av glatthet: kartet h kan generelt ikke være en diffeomorfisme. Dessuten, selv om topologisk ekvivalens respekterer de orienterte banene, i motsetning til topologisk konjugasjon, er den ikke tidskompatibel. Således relevant oppfatningen av topologisk ekvivalens er en betydelig svekkelse av naive C ¹ conjugacy av vektorfelt. Uten disse begrensningene kunne ingen kontinuerlig tidssystem med faste punkter eller periodiske baner ha vært strukturelt stabile. Svakt strukturelt stabile systemer danner et åpent sett i X ¹ ( G ), men det er ukjent om den samme egenskapen holder i sterke tilfeller.

Eksempler

Nødvendige og tilstrekkelige betingelser for den strukturelle stabilitet av C ¹ vektorfelt på enheten skiven D , som er tverrgående til den grense og på den to-sfæren S ² er blitt bestemt i den grunnpapir av Andronov og Pontryagin. I henhold til Andronov – Pontryagin-kriteriet er slike felt strukturelt stabile hvis og bare hvis de bare har endelig mange entallpunkter ( likevektstilstander ) og periodiske baner ( grensesykluser ), som alle er ikke-degenererte (hyperbolske), og ikke har sal-til-sadel-tilkoblinger. Videre er det ikke-vandrende settet til systemet nettopp foreningen av entallpunkter og periodiske baner. Spesielt kan ikke strukturelle stabile vektorfelt i to dimensjoner ha homokliniske baner, noe som enormt kompliserer dynamikken, som oppdaget av Henri Poincaré .

Strukturell stabilitet av ikke-entallige glatte vektorfelt på torus kan undersøkes ved hjelp av teorien utviklet av Poincaré og Arnaud Denjoy . Ved hjelp av Poincaré-gjentakelseskartet reduseres spørsmålet for å bestemme strukturell stabilitet av sirkelens diffeomorfismer . Som en konsekvens av den Denjoy teorem , en orientering bevare C ² diffeomorphism ƒ av sirkelen er strukturelt stabil hvis og bare hvis dens omdreiningsantall er rasjonell, ρ ( ƒ ) = p / q , og den periodiske baner, som alle har periode q , er ikke-degenererte: Jacobian av ƒ ^q på periodiske punkter er forskjellig fra 1, se sirkelkart .

Dmitri Anosov oppdaget at hyperbolske automatiseringer av torusen, som Arnolds kattekart , er strukturelt stabile. Han generaliserte deretter denne uttalelsen til en bredere klasse av systemer, som siden har blitt kalt Anosov diffeomorphisms og Anosov flow. Et kjent eksempel på Anosov-strømning er gitt av den geodesiske strømmen på en overflate med konstant negativ krumning, jf. Hadamard biljard .

Historie og betydning

Systemets strukturelle stabilitet gir en begrunnelse for å anvende den kvalitative teorien om dynamiske systemer til analyse av konkrete fysiske systemer. Ideen om en slik kvalitativ analyse går tilbake til arbeidet med Henri Poincaré på tre-body problem i himmelsk mekanikk . Rundt samme tid undersøkte Aleksandr Lyapunov grundig stabiliteten til små forstyrrelser i et individuelt system. I praksis er evolusjonsloven til systemet (dvs. differensiallikningene) aldri kjent nøyaktig på grunn av tilstedeværelsen av forskjellige små interaksjoner. Det er derfor avgjørende å vite at grunnleggende trekk ved dynamikken er de samme for enhver liten forstyrrelse av "modell" -systemet, hvis evolusjon styres av en viss kjent fysisk lov. Kvalitativ analyse ble videreutviklet av George Birkhoff på 1920-tallet, men ble først formalisert med introduksjon av konseptet grovt system av Andronov og Pontryagin i 1937. Dette ble umiddelbart brukt på analyse av fysiske systemer med svingninger av Andronov, Witt og Khaikin. Begrepet "strukturell stabilitet" skyldes Solomon Lefschetz , som hadde tilsyn med oversettelsen av deres monografi til engelsk. Ideer om strukturell stabilitet ble tatt opp av Stephen Smale og hans skole på 1960-tallet i sammenheng med hyperbolsk dynamikk. Tidligere initierte Marston Morse og Hassler Whitney, og René Thom utviklet en parallell teori om stabilitet for forskjellige kart, som utgjør en viktig del av singularitetsteorien . Thom så for seg anvendelser av denne teorien på biologiske systemer. Både Smale og Thom jobbet i direkte kontakt med Maurício Peixoto , som utviklet Peixotos teorem på slutten av 1950-tallet.

Da Smale begynte å utvikle teorien om hyperbolske dynamiske systemer, håpet han at strukturelt stabile systemer ville være "typiske". Dette ville ha vært i samsvar med situasjonen i lave dimensjoner: dimensjon to for strømninger og dimensjon en for diffeomorfismer. Imidlertid fant han snart eksempler på vektorfelt på høyere dimensjonale manifolder som ikke kan gjøres strukturelt stabile av en vilkårlig liten forstyrrelse (slike eksempler er senere konstruert på manifolder av dimensjon tre). Dette betyr at i høyere dimensjoner er strukturelt stabile systemer ikke tette . I tillegg kan et strukturelt stabilt system ha tverrgående homokliniske baner av hyperbolske sadel lukkede baner og uendelig mange periodiske baner, selv om faseplassen er kompakt. Den nærmeste høyere-dimensjonale analogen av strukturelt stabile systemer vurdert av Andronov og Pontryagin er gitt av Morse-Smale-systemene .

Se også

• Homeostase
• Selvstabilisering , superstabilisering
• Stabilitetsteori

Referanser

• Andronov, Aleksandr A .; Lev S. Pontryagin (1988) [1937]. VI Arnold (red.). "Грубые системы" [Grove systemer]. Geometriske metoder i teorien om differensiallikninger . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 250. Springer-Verlag, New York. ISBN   0-387-96649-8 .
• DV Anosov (2001) [1994], "Rough system" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Charles Pugh og Maurício Matos Peixoto (red.). "Strukturell stabilitet" . Scholarpedia .