Taxi nummer - Taxicab number

I en anekdote av GH Hardy utviklet en syk Srinivasa Ramanujan ( bilde ) ideen om taxitall.

I matematikk , det n- te drosje antall , typisk betegnet Ta ( n ) eller Taxicab ( n ), også kalt n th Hardy-Ramanujans nummer , er definert som den minste heltall som kan uttrykkes som en sum av to positive heltall kuber i n forskjellige måter. Det mest kjente taxibilen er 1729 = Ta (2) = 1 ³ + 12 ³ = 9 ³ + 10 ³ .

Navnet er avledet fra en samtale rundt 1919 som involverte matematikere GH Hardy og Srinivasa Ramanujan . Som fortalt av Hardy:

Jeg husker en gang jeg skulle se ham [Ramanujan] da han lå syk på Putney . Jeg hadde kjørt i drosje nr. 1729 , og bemerket at tallet syntes å være ganske kjedelig, og at jeg håpet at det ikke var et ugunstig tegn. "Nei," svarte han, "det er et veldig interessant tall; det er det minste tallet som kan uttrykkes som summen av to [positive] terninger på to forskjellige måter."

Historie og definisjon

Konseptet ble først nevnt i 1657 av Bernard Frénicle de Bessy , som publiserte Hardy - Ramanujan -nummeret Ta (2) = 1729. Dette eksakte eksemplet fra 1729 ble berømt på begynnelsen av 1900 -tallet av en historie som involverte Srinivasa Ramanujan . I 1938 beviste GH Hardy og EM Wright at slike tall eksisterer for alle positive heltall n , og beviset deres konverteres enkelt til et program for å generere slike tall. Imidlertid gjør beviset ingen påstander om hvorvidt de således genererte tallene er de minste mulige, og det kan derfor ikke brukes til å finne den faktiske verdien av Ta ( n ).

Taxi -tallene etter 1729 ble funnet ved hjelp av datamaskiner. John Leech oppnådde Ta (3) i 1957. E. Rosenstiel, JA Dardis og CR Rosenstiel fant Ta (4) i 1989. JA Dardis fant Ta (5) i 1994 og det ble bekreftet av David W. Wilson i 1999. Ta ( 6) ble kunngjort av Uwe Hollerbach på NMBRTHRY -postlisten 9. mars 2008, etter et papir fra 2003 av Calude et al. det ga en 99% sannsynlighet for at tallet faktisk var Ta (6). Øvre grenser for Ta (7) til Ta (12) ble funnet av Christian Boyer i 2006.

Begrensningen av de summands til positive tall er nødvendig, fordi slik negative tall gir mulighet for flere (og mindre) forekomster av tall som kan uttrykkes som summen av kuber i n forskjellige måter. Konseptet med et cabtaxi -nummer er introdusert for å tillate alternative, mindre restriktive definisjoner av denne art. På en måte er spesifikasjonen av to stevninger og fullmakter på tre også restriktiv; et generalisert taxicab -nummer tillater at disse verdiene er henholdsvis to og tre.

Kjente taxibiler

Så langt er følgende 6 taxibiler kjent:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ta} (1) = 2 & = 1^{3}+1^{3} \ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ta} (2) = 1729 & = 1^{3}+12^{3} \\ & = 9^{3}+10^{3} \ end {justert }}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ta} (3) = 87539319 & = 167^{3}+436^{3} \\ & = 228^{3}+423^{3} \\ & = 255^{3}+414^{3} \ end {justert}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ta} (4) = 6963472309248 & = 2421^{3}+19083^{3} \\ & = 5436^{3}+18948^{3} \\ & = = 10200^{3}+18072^{3} \\ & = 13322^{3}+16630^{3} \ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ta} (5) = 48988659276962496 & = 38787^{3}+365757^{3} \\ & = 107839^{3}+362753^{3} \\ & = = 205292^{3}+342952^{3} \\ & = 221424^{3}+336588^{3} \\ & = 231518^{3}+331954^{3} \ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ta} (6) = 24153319581254312065344 & = 582162^{3}+28906206^{3} \\ & = 3064173^{3}+28894803^{3} \\ & = = 8519281^{3}+28657487^{3} \\ & = 16218068^{3}+27093208^{3} \\ & = 17492496^{3}+26590452^{3} \\ & = 18289922^{3} +26224366^{3} \ end {align}}}$

Øvre grenser for drosjetall

For følgende drosjetall er øvre grenser kjent:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Ta} (7) & \ leq & 24885189317885898975235988544 & = & 2648660966^{3}+1847282122^{3} \\ &&& = & 2685635652^{3}+1766742096^{3} \ &&& = & 2736414008^{3}+1638024868^{3} \\ &&& = & 2894406187^{3}+860447381^{3} \\ &&& = & 2915734948^{3}+459531128^{3} \\ &&& = & 2918375103^{ 3}+309481473^{3} \\ &&& = & 2919526806^{3}+58798362^{3} \ end {matrise}}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrise} \ operatorname {Ta} (8) & \ leq & 50974398750539071400590819921724352 & = & 299512063576^{3}+288873662876^{3} \\ &&& = & 336379942682^{3}+23460 &&& = & 341075727804^{3}+224376246192^{3} \\ &&& = & 347524579016^{3}+208029158236^{3} \\ &&& = & 367589585749^{3}+109276817387^{3} \\ &&8} 3}+58360453256^{3} \\ &&& = & 370633638081^{3}+39304147071^{3} \\ &&& = & 370779904362^{3}+7467391974^{3} \ end {matrise}}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrise} \ operatorname {Ta} (9) & \ leq & 136897813798023990395783317207361432493888 & = & 41632176837064^{3}+40153439139764^{3} \\ &&& = & 46756812032798^{3} &&& = & 47409526164756^{3}+31188298220688^{3} \\ &&& = & 48305916483224^{3}+28916052994804^{3} \\ &&& = & 51094952419111^{3}+15189477616793^{3} & {3} && 3}+8112103002584^{3} \\ &&& = & 51518075693259^{3}+5463276442869^{3} \\ &&& = & 51530042142656^{3}+4076877805588^{3} \\ &&& = & 51538406706318^{3} {3} \ end {matrise}}}$

$" &&& = & 17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3} \\ &&& = & 18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3} \\ &&& = & 19262797062004847^{3}+57264330& 3} 3}+3058262831974168^{3} \\ &&& = & 19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3} \\ &&& = & 19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3} \\ &&& = 194293797 {3} \\ &&& = & 19429979328281886^{3}+391313741613522^{3} \ end {matrise}}}$

${\ display { &&& = & 12993955521710159724^{3}+8548057588027946352^{3} \\ &&& = & 13239637283805550696^{3}+7925282888762885516^{3} \\ &&& = = 13600192974314732786^{3} +37 & 374373992 3}+4163116835733008647^{3} \\ &&& = & 14107248762203982476^{3}+2223357078845220136^{3} \\ &&& = & 14120022667932733461^{3}+1497369344185092651^{3} & 2014} 320} {3} \\ &&& = & 14125159098802697120^{3}+657258405504578668^{3} \\ &&& = & 14125594971660931122^{3}+284485090153030494^{3} \ end {matrise}}}$

${\ display { \\ & = 38605041855000884540004^{3}+25396279094031028611792^{3} \\ & = 39334962370186291117816^{3}+23546015462514532868036^{3} \\ & = 40406173326689071107206} {4} 4174} ^{3}+12368620118962768690237^{3} \\ & = 41912636072508031936196^{3}+6605593881249149024056^{3} \\ & = 41950587346428151112631^{3}+444868432157391026612^3 410} 3319755565063005505892^{3} \\ & = 41965847682542813143520^{3}+1952714722754103222628^{3} \\ & = 41965889731136229476526^{3}+1933097542618122241026^{3} \ 64} \ end {align}}}$

Cubefree taxibanenumre

En mer restriktiv drosje problem krever at drosje nummer være cubefree, noe som betyr at det ikke er delelig med noe annet enn en terning ³ . Når et cubefree taxibeskrivelse T er skrevet som T = x ³  +  y ³ , må tallene x og y være relativt primtall. Blant taxibilenummerene Ta (n) som er oppført ovenfor, er det bare Ta (1) og Ta (2) som er kubefrie taxibanenumre. Det minste cubefree taxibilen med tre representasjoner ble oppdaget av Paul Vojta (upublisert) i 1981 mens han var utdannet student. Det er

15170835645

= 517 ³ + 2468 ³

= 709 ³ + 2456 ³

= 1733 ³ + 2152 ³ .

Det minste cubefree taxibilen med fire representasjoner ble oppdaget av Stuart Gascoigne og uavhengig av Duncan Moore i 2003. Det er

1801049058342701083

= 92227 ³ + 1216500 ³

= 136635 ³ + 1216102 ³

= 341995 ³ + 1207602 ³

= 600259 ³ + 1165884 ³

(sekvens A080642 i OEIS ).

Se også

Merknader

Referanser

• GH Hardy og EM Wright, An Introduction to theory of Numbers , 3. utg., Oxford University Press, London & NY, 1954, Thm. 412.
• J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations , Proc. Camb. Phil. Soc. 53, 778–780, 1957.
• E. Rosenstiel, JA Dardis og CR Rosenstiel, De fire minste løsningene i distinkte positive heltall av de diofantiske ligningene = x ³ + y ³ = z ³ + w ³ = u ³ + v ³ = m ³ + n ³ , Bull. Inst. Matte. Appl. , 27 (1991) 155–157; MR 1125858 , online .
• David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number er 48988659276962496 , Journal of Integer Sequences , Vol. 2 (1999), online . (Wilson var ikke klar over JA Dardis 'tidligere oppdagelse av Ta (5) i 1994 da han skrev dette.)
• DJ Bernstein, Enumerating solutions to p (a) + q (b) = r (c) + s (d) , Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389–394.
• CS Calude, E. Calude og MJ Dinneen: Hva er verdien til Taxicab (6)? , Journal of Universal Computer Science , vol. 9 (2003), s. 1196–1203

Eksterne linker

• Et innlegg fra 2002 til nummerliste -postlisten av Randall L. Rathbun
• Grime, James; Bowley, Roger. Haran, Brady (red.). 1729: Taxi-drosjenummer eller Hardy-Ramanujan-nummer . Numberphile.
• Taxicab og annen matematikk på Euler
• Singh, Simon . Haran, Brady (red.). "Taxibanumre i Futurama" . Numberphile.