Herdet representasjon - Tempered representation

I matematikk, en herdet representasjon av en lineær semisimple Lie gruppe er en representasjon som har en basis som matrise koeffisienter ligger i den L- ^p plass

L ^2+ε ( G )

for alle ε> 0.

Formulering

Denne betingelsen, som nettopp gitt, er litt svakere enn betingelsen om at matrisekoeffisientene er kvadratintegrerbare , med andre ord ligger i

L ² ( G ),

som ville være definisjonen på en diskret serierepresentasjon . Hvis G er en lineær semisimple Lie -gruppe med en maksimal kompakt undergruppe K , blir en tillatt representasjon ρ av G herdet hvis betingelsen ovenfor gjelder for K -endelige matrisekoeffisientene til ρ.

Definisjonen ovenfor brukes også for mer generelle grupper, for eksempel p -adiske Lie -grupper og begrensede sentrale utvidelser av semi -enkle reelle algebraiske grupper. Definisjonen av "herdet representasjon" gir mening for vilkårlige unimodulære lokalt kompakte grupper , men på grupper med uendelige sentre som uendelige sentrale utvidelser av semisimple Lie -grupper oppfører den seg ikke godt og erstattes vanligvis med en litt annen definisjon. Mer presist kalles en ureduserbar representasjon herdet hvis den er enhetlig når den er begrenset til sentrum Z , og de absolutte verdiene til matrisekoeffisientene er i L ^2+ε ( G / Z ).

Herdede representasjoner på semisimple Lie-grupper ble først definert og studert av Harish-Chandra (ved hjelp av en annen, men tilsvarende definisjon), som viste at de er nøyaktig representasjonene som trengs for Plancherel-setningen . De ble klassifisert av Knapp og Zuckerman, og brukt av Langlands i Langlands -klassifiseringen av ureduserbare representasjoner av en reduktiv Lie -gruppe G når det gjelder de herdede representasjonene til mindre grupper.

Historie

Irredusible herdede representasjoner ble identifisert av Harish-Chandra i arbeidet med harmonisk analyse av en semisimple Lie-gruppe som representasjonene som bidrar til Plancherel-tiltaket . Den opprinnelige definisjonen av en herdet representasjon, som har visse tekniske fordeler, er at dens Harish-Chandra-karakter skal være en "herdet fordeling" (se avsnittet om dette nedenfor). Det følger av Harish-Chandras resultater at det tilsvarer den mer elementære definisjonen gitt ovenfor. Herdede representasjoner ser også ut til å spille en grunnleggende rolle i teorien om automorfe former . Denne forbindelsen ble sannsynligvis først realisert av Satake (i sammenheng med Ramanujan -Petersson -antagelsen ) og Robert Langlands og tjente som en motivasjon for Langlands til å utvikle sitt klassifiseringsopplegg for ureduserbare tillatte representasjoner av virkelige og p -adiske reduktive algebraiske grupper mht. de herdede representasjonene til mindre grupper. De presise formodningene som identifiserer stedet for herdede representasjoner i det automorfe spektret ble formulert senere av James Arthur og utgjør en av de mest aktivt utviklende delene av den moderne teorien om automorfe former.

Harmonisk analyse

Herdede representasjoner spiller en viktig rolle i den harmoniske analysen på semisimple Lie -grupper . En ikke-reduserbare enhetlig fremstilling av en semisimple Lie gruppe G er herdet hvis og bare hvis det er i støtte av Plancherel måling av G . Med andre ord, herdede representasjoner er nettopp klassen av representasjoner av G som vises i den spektrale nedbrytningen av L ² -funksjoner på gruppen (mens diskrete serierepresentasjoner har en sterkere egenskap som en individuell representasjon har et positivt spektralt mål). Dette står i kontrast til situasjonen for abelske og mer generelle løselige løgn -grupper, der en annen klasse representasjoner er nødvendig for å fullt ut kunne redegjøre for den spektrale nedbrytningen. Dette kan allerede sees i det enkleste eksemplet på additivgruppen R av de reelle tallene, for hvilke matriseelementene i de ureduserbare representasjonene ikke faller til 0 i det uendelige.

I Langlands -programmet er herdede fremstillinger av ekte løgngrupper de som kommer fra enhetlige karakterer av tori av Langlands functoriality.

Eksempler

• Den Plancherel teoremet for en semisimple Lie gruppe omfatter representasjoner som ikke er den diskrete serien . Dette blir klart allerede når det gjelder gruppen SL ₂ ( R ) . De viktigste serierepresentasjonene til SL ₂ ( R ) er herdet og tar hensyn til den spektrale nedbrytningen av funksjoner som støttes på de hyperboliske elementene i gruppen. Imidlertid forekommer de ikke diskret i den vanlige representasjonen av SL ₂ ( R ).
• De to grensene for diskrete serierepresentasjoner for SL ₂ ( R ) er herdede, men ikke diskrete serier (selv om de forekommer "diskret" i listen over ureduserbare enhetsrepresentasjoner).
• For ikke-semisimple Lie-grupper er representasjoner med matrikskoeffisienter i L ^2+ε ikke alltid tilstrekkelige for Plancherel-setningen , som vist ved eksempelet på additivgruppen R av reelle tall og Fourier-integralet ; Faktisk bidrar alle irreduserbare enhetsrepresentasjoner av R til Plancherel -målet, men ingen av dem har matrisekoeffisienter i L ^2+ε .
• De komplementære serierepresentasjonene til SL ₂ ( R ) er ureduserbare enhetsrepresentasjoner som ikke er herdet.
• Den trivielle representasjonen til en gruppe G er en ureduserbar enhetsrepresentasjon som ikke er herdet med mindre G er kompakt .

Klassifisering

De ureduserbare herdede representasjonene til en semi -enkel Lie -gruppe ble klassifisert av Knapp og Zuckerman  ( 1976 , 1982 ). Faktisk klassifiserte de en mer generell representasjonsklasse kalt grunnleggende representasjoner . Hvis P = MAN er Langlands dekomponering av en cuspidal parabolsk undergruppe, deretter en enkel fremstilling er definert til å være den parabolsk induserte representasjon forbundet til en grense av diskrete serie-representasjon av M og en enhetlig fremstilling av abelsk gruppe A . Hvis grensen for diskrete serierepresentasjoner faktisk er en diskret serierepresentasjon, kalles den grunnleggende representasjonen en indusert diskret serierepresentasjon . Enhver ureduserbar herdet representasjon er en grunnleggende representasjon, og omvendt er enhver grunnleggende representasjon summen av et begrenset antall irreduserbare herdede representasjoner. Mer presist er det en direkte sum av 2 ^r irreduserbare herdede representasjoner indeksert av tegnene i en elementær abelsk gruppe R av orden 2 ^r (kalt R-gruppen ). Enhver grunnleggende representasjon, og følgelig enhver ureduserbar herdet representasjon, er et sammendrag av en indusert diskret serierepresentasjon. Imidlertid er det ikke alltid mulig å representere en irreduserbar herdet representasjon som en indusert diskret serierepresentasjon, og derfor vurderer man den mer generelle klassen av grunnleggende representasjoner.

Så de ureduserbare herdede representasjonene er bare de ureduserbare grunnleggende representasjonene, og kan klassifiseres ved å liste opp alle grunnleggende representasjoner og plukke ut de som er ureduserbare, med andre ord de som har triviell R-gruppe.

Herdede fordelinger

Feste en semisimple Ligg gruppe G med maksimal kompakt undergruppe K . Harishs-Chandra (1966 , kapittel 9) defineres en fordeling på G som skal tempereres hvis den er definert i Schwartz plass av G . Schwartz -rommet er i sin tur definert som rommet til glatte funksjoner f på G slik at for enhver reell r og hvilken som helst funksjon g oppnådd fra f ved å virke til venstre eller høyre ved elementer av den universelle omsluttende algebraen til Lie -algebraen til G , funksjonen

${\ displaystyle (1+ \ sigma)^{r} g/\ Xi}$

er avgrenset. Her Ξ er en viss sfærisk funksjon på G , invariant under venstre og høyre multiplikasjon med K , og σ er normen for loggen av p , der et element g av G er skrevet som: g = kp for k i K og p i P .

Referanser

• Cowling, M., Haagerup, U., Howe, R. Nesten L ² matrikskoeffisienter J. Reine Angew. Matte. 387 (1988), 97—110
• Harish-Chandra (1966), "Diskrete serier for semisimple Lie-grupper. II. Eksplisitt bestemmelse av karakterene" , Acta Mathematica , 116 (1): 1–111, doi : 10.1007/BF02392813 , ISSN  0001-5962 , MR  0219666 , S2CID  125806386
• Knapp, Anthony W .; Zuckerman, Gregg (1976), "Klassifisering av irreduserbare herdede representasjoner av semi-enkle løgngrupper", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 73 (7): 2178–2180, Bibcode : 1976PNAS ... 73.2178K , doi : 10.1073/pnas.73.7.2178 , ISSN  0027-8424 , JSTOR  65732 , MR  0460545 , PMC  430485 , PMID  16592331
• Knapp, Anthony W .; Zuckerman, Gregg J. (1982), "Klassifisering av irreduserbare herdede fremstillinger av semisimple grupper. Pat I", Annals of Mathematics , Second Series, 116 (2): 389–455, doi : 10.2307/2007066 , ISSN  0003-486X , JSTOR  2007066 , MR  0672840 Knapp, Anthony W .; Zuckerman, Gregg J. (1982), "Klassifisering av irreduserbare herdede fremstillinger av semisimple grupper. Del II", Annals of Mathematics , Second Series, 116 (3): 457–501, doi : 10.2307/2007019 , ISSN  0003-486X , JSTOR  2007019 , MR  0672840 Knapp, Anthony W .; Zuckerman, Gregg J. (1984), "Correction", Annals of Mathematics , Second Series, 119 (3): 639, doi : 10.2307/2007089 , ISSN  0003-486X , JSTOR  2007089 , MR  0744867
• Knapp , Representasjonsteori for semi -enkle grupper: En oversikt basert på eksempler. ISBN  0-691-09089-0
• Wallach, Nolan . Ekte reduktive grupper. Jeg . Ren og anvendt matematikk, 132. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. xx+412 s.  ISBN  0-12-732960-9