Terminalhastighet - Terminal velocity

Terminalhastighet er maksimal hastighet (hastighet) som et objekt kan oppnå når den faller gjennom en væske ( luft er det vanligste eksemplet). Det oppstår når summen av dragkraften ( F _d ) og oppdriften er lik den nedadgående tyngdekraften ( F _G ) som virker på objektet. Siden nettokraften på objektet er null, har objektet null akselerasjon .

I væskedynamikk beveger et objekt seg med sin endehastighet hvis hastigheten er konstant på grunn av begrensningskraften som utøves av væsken det beveger seg gjennom.

Når hastigheten på et objekt øker, øker også dragkraften som virker på det, som også avhenger av stoffet det passerer gjennom (for eksempel luft eller vann). Ved en viss hastighet vil motstanden eller motstandskraften være lik tyngdekraften på objektet (oppdrift er vurdert nedenfor). På dette tidspunktet slutter objektet å akselerere og fortsetter å falle med en konstant hastighet som kalles terminalhastigheten (også kalt sedimenteringshastighet). Et objekt som beveger seg nedover raskere enn terminalhastigheten (for eksempel fordi det ble kastet nedover, det falt fra en tynnere del av atmosfæren, eller det endret form) vil bremse til det når terminalhastigheten. Dra avhenger av det projiserte området , her representert med objektets tverrsnitt eller silhuett i et horisontalt plan. Et objekt med et stort projisert område i forhold til massen, for eksempel en fallskjerm, har en lavere terminalhastighet enn en med et lite projisert område i forhold til massen, for eksempel en pil. Generelt øker terminalhastigheten til et objekt for samme form og materiale med størrelsen. Dette er fordi den nedadgående kraften (vekten) er proporsjonal med terningen i den lineære dimensjonen, men luftmotstanden er omtrent proporsjonal med tverrsnittsområdet som bare øker som kvadratet til den lineære dimensjonen. For svært små gjenstander som støv og tåke, blir terminalhastigheten lett overvunnet av konveksjonsstrømmer som forhindrer dem i å nå bakken, og derfor forblir de suspendert i luften på ubestemt tid. Luftforurensning og tåke er eksempler på konveksjonsstrømmer.

Eksempler

Basert på vindmotstand, for eksempel, er terminalhastigheten til en fallskjermhopper i en mage-til-jord (dvs. nedadgående) fritt fall- stilling omtrent 195  km/t (120  mph ; 54  m/s ). Denne hastigheten er den asymptotiske grenseverdien for hastigheten, og kreftene som virker på kroppen balanserer hverandre mer og mer tett når terminalhastigheten nærmer seg. I dette eksemplet oppnås en hastighet på 50% av terminalhastigheten etter bare ca. 3 sekunder, mens det tar 8 sekunder å nå 90%, 15 sekunder for å nå 99% og så videre.

Høyere hastigheter kan oppnås hvis fallskjermhopperen trekker i lemmene (se også freeflying ). I dette tilfellet øker terminalhastigheten til omtrent 320 km/t (200 mph eller 90 m/s), som er nesten terminalhastigheten til vandrefalken som dykker ned på byttet. Den samme terminalhastigheten oppnås for en typisk .30-06 kule som faller nedover-når den vender tilbake til bakken etter å ha blitt skutt oppover eller falt fra et tårn-ifølge en undersøkelse fra den amerikanske hæren fra 1920.

Konkurransehastighets fallskjermhoppere flyr i en posisjon ned-ned og kan nå hastigheter på 530 km/t (330 mph; 150 m/s); den nåværende rekorden holdes av Felix Baumgartner som hoppet fra en høyde på 128 100 fot (39 000 m) og nådde 1 357,6 km/t (840 mph; 380 m/s), selv om han oppnådde denne hastigheten i stor høyde hvor tettheten av luften er mye lavere enn på jordoverflaten, og gir en tilsvarende lavere dragkraft.

Biologen JBS Haldane skrev,

For musen og ethvert mindre dyr utgjør [tyngdekraften] praktisk talt ingen farer. Du kan slippe en mus nedover en tusen meter stor gruve; og når den kommer til bunnen, får den et lite sjokk og går bort. En rotte blir drept, en mann er ødelagt, en hest spruter. For motstanden som presenteres for luftens bevegelse er proporsjonal med overflaten på objektet i bevegelse. Del et dyrs lengde, bredde og høyde med ti; vekten reduseres til en tusendel, men overflaten bare til en hundredel. Så motstanden mot fall i det lille dyret er relativt ti ganger større enn drivkraften.

Fysikk

Ved bruk av matematiske termer er terminalhastigheten - uten å ta hensyn til oppdriftseffekter - gitt av

hvor

• ${\ displaystyle V_ {t}}$ representerer terminalhastighet,
• ${\ displaystyle m}$er massen til det fallende objektet,
• ${\ displaystyle g}$er akselerasjonen på grunn av tyngdekraften ,
• ${\ displaystyle C_ {d}}$er dragkoeffisienten ,
• ${\ displaystyle \ rho}$er tettheten til væsken som objektet faller gjennom, og
• ${\ displaystyle A}$er det projiserte området til objektet.

I virkeligheten nærmer et objekt seg asymptotisk til terminalhastigheten .

Oppdriftseffekter, på grunn av den oppadrettede kraft på gjenstanden ved det omgivende fluid, kan tas hensyn til ved hjelp av Arkimedes prinsipp : massen har til å bli redusert med det fortrengte fluid masse , med det volum av gjenstanden. Så i stedet for å bruke den reduserte massen i denne og påfølgende formler. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ rho V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m_ {r} = m- \ rho V}$

Terminalen hastigheten til en gjenstand endrer seg på grunn av egenskapene til fluidet, massen av objektet og dets projiserte tverrsnittsoverflateareal .

Lufttettheten øker med synkende høyde, med omtrent 1% per 80 meter (se barometrisk formel ). For gjenstander som faller gjennom atmosfæren, reduseres terminalhastigheten for hver 160 meter (520 fot) fallhastighet med 1%. Etter å ha nådd den lokale terminalhastigheten, mens du fortsetter fallet, reduseres hastigheten for å endre seg med den lokale terminalhastigheten.

Avledning for terminalhastighet

Ved å bruke matematiske termer, definere ned til å være positiv, er nettokraften som virker på et objekt som faller nær overflaten av jorden (i henhold til dragligningen ):

med v ( t ) objektets hastighet som funksjon av tiden t .

Ved likevekt , den nettokraft er lik null ( F _netto = 0), og hastigheten blir slutthastighet lim _{t → ∞} v ( t ) = V _t :

Løsning for V _t gir

${\ displaystyle V_ {t} = {\ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho AC_ {d}}}}}}$

( 5 )

Avledning av løsningen for hastigheten v som en funksjon av tiden t

Dragligningen er - forutsatt at ρ , g og C d er konstanter: $${\ displaystyle ma = m {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = mg-{\ frac {1} {2}} \ rho v^{2} AC_ {d} .}$$ Selv om dette er en Riccati-ligning som kan løses ved reduksjon til en andreordens lineær differensialligning, er det lettere å skille variabler . En mer praktisk form for denne ligningen kan oppnås ved å gjøre substitusjonen α 2 = ρAC d/2 mg. Å dele begge sider med m gir $${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = g \ left (1- \ alpha ^{2} v ^{2} \ right).}$$ Ligningen kan ordnes om til $${\ displaystyle \ mathrm {d} t = {\ frac {\ mathrm {d} v} {g (1- \ alpha ^{2} v ^{2})}}}.}$$ Tar integralet av begge sider gir $${\ displaystyle \ int _ {0}^{t} {\ mathrm {d} t '} = {1 \ over g} \ int _ {0}^{v} {\ frac {\ mathrm {d} v' } {1- \ alpha ^{2} v ^{\ prime 2}}}.}$$ Etter integrering blir dette $${\ displaystyle t-0 = {1 \ over g} \ left [{\ ln (1+ \ alpha v ') \ over 2 \ alpha}-{\ frac {\ ln (1- \ alpha v')} { 2 \ alpha}}+C \ høyre] _ {v '= 0}^{v' = v} = {1 \ over g} \ venstre [{\ ln {\ frac {1+ \ alpha v '} {1 -\ alpha v '}} \ over 2 \ alpha}+C \ right] _ {v' = 0}^{v '= v}}$$ eller i en enklere form $${\ displaystyle t = {1 \ over 2 \ alpha g} \ ln {\ frac {1+ \ alpha v} {1- \ alpha v}} = {\ frac {\ mathrm {artanh} (\ alpha v)} {\ alpha g}},}$$ med artanh den omvendte hyperbolske tangensfunksjonen . Alternativt, $${\ displaystyle {\ frac {1} {\ alpha}} \ tanh (\ alpha gt) = v,}$$ med tanh den hyperbolske tangensfunksjonen . Forutsatt at g er positiv (som det ble definert til å være), og idet man anvendte α tilbake, hastigheten v blir $${\ displaystyle v = {\ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho AC_ {d}}}} \ tanh \ left (t {\ sqrt {\ frac {g \ rho AC_ {d}} {2m}}} \Ikke sant).}$$ Bruker formelen for terminalhastighet $${\ displaystyle V_ {t} = {\ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho AC_ {d}}}}}}$$ ligningen kan skrives om som $${\ displaystyle v = V_ {t} \ tanh \ left (t {\ frac {g} {V_ {t}}} \ right).}$$ Etter hvert som tiden har en tendens til uendelig ( t → ∞), har den hyperboliske tangenten en tendens til 1, noe som resulterer i terminalhastigheten $${\ displaystyle V_ {t} = \ lim _ {t \ to \ infty} v (t) = {\ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho AC_ {d}}}}}}$$

Terminalhastighet i en krypende flyt

For veldig sakte bevegelse av væsken er væskens treghetskrefter ubetydelige (antagelse av masseløs væske) i forhold til andre krefter. Slike strømmer er kalt snik eller Stokes flyter og den betingelse som skal oppfylles for at strømmer som skal snikstrømmer er det Reynolds-tall , . Bevegelsesligningen for krypende flyt (forenklet Navier - Stokes ligning ) er gitt av ${\ displaystyle Re \ ll 1}$

hvor

• ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ er væskehastighetsvektorfeltet,
• ${\ displaystyle p}$ er væsketrykkfeltet,
• ${\ displaystyle \ mu}$er væske/væske viskositeten .

Den analytiske løsningen for krypstrømmen rundt en kule ble først gitt av Stokes i 1851. Fra Stokes løsning kan dragkraften som virker på sfæren med diameter oppnås som ${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle D = 3 \ pi \ mu dV \ qquad {\ text {eller}} \ qquad C_ {d} = {\ frac {24} {Re}}}$

( 6 )

hvor Reynolds tall . Uttrykket for dragkraften gitt av ligning ( 6 ) kalles Stokes lov . ${\ displaystyle Re = {\ frac {\ rho d} {\ mu}} V}$

Når verdien av er substituert i ligningen ( 5 ), får vi uttrykket for terminalhastigheten til et sfærisk objekt som beveger seg under krypende strømningsforhold: ${\ displaystyle C_ {d}}$

hvor er tettheten til objektet. ${\ displaystyle \ rho _ {s}}$

applikasjoner

De krypende strømningsresultatene kan brukes for å studere sedimentering av sedimenter nær havbunnen og fall av fuktighetsfall i atmosfæren. Prinsippet brukes også i viskometeret for fallende sfære , en eksperimentell enhet som brukes til å måle viskositeten til svært viskøse væsker, for eksempel olje, parafin, tjære etc.

Terminalhastighet i nærvær av oppdriftskraft

Når det tas hensyn til oppdriftseffektene, kan et objekt som faller gjennom et fluid under sin egen vekt nå en terminalhastighet (sedimenteringshastighet) hvis nettokraften som virker på objektet blir null. Når terminalhastigheten er nådd, balanseres objektets vekt nøyaktig av oppdriftskraften og dragkraften. Det er

${\ displaystyle W = F_ {b}+D}$

( 1 )

hvor

• ${\ displaystyle W}$ er vekten av objektet,
• ${\ displaystyle F_ {b}}$ er oppdriftskraften som virker på objektet, og
• ${\ displaystyle D}$ er dragkraften som virker på objektet.

Hvis det fallende objektet er sfærisk i form, er uttrykket for de tre kreftene gitt nedenfor:

${\ displaystyle W = {\ frac {\ pi} {6}} d^{3} \ rho _ {s} g,}$

( 2 )

${\ displaystyle F_ {b} = {\ frac {\ pi} {6}} d^{3} \ rho g,}$

( 3 )

${\ displaystyle D = C_ {d} {\ frac {1} {2}} \ rho V^{2} A,}$

( 4 )

hvor

• ${\ displaystyle d}$ er diameteren på det sfæriske objektet,
• ${\ displaystyle g}$ er gravitasjonsakselerasjonen,
• ${\ displaystyle \ rho}$ er tettheten av væsken,
• ${\ displaystyle \ rho _ {s}}$ er tettheten til objektet,
• ${\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} \ pi d^{2}}$ er det projiserte området av sfæren,
• ${\ displaystyle C_ {d}}$ er dragkoeffisienten, og
• ${\ displaystyle V}$er den karakteristiske hastigheten (tatt som terminalhastighet, ).${\ displaystyle V_ {t}}$

Substitusjon av ligninger ( 2 - 4 ) i ligning ( 1 ) og løsning for terminalhastighet, for å gi følgende uttrykk ${\ displaystyle V_ {t}}$

${\ displaystyle V_ {t} = {\ sqrt {{\ frac {4gd} {3C_ {d}}} \ venstre ({\ frac {\ rho _ {s}-\ rho} {\ rho}} \ høyre) }}.}$

( 5 )

I ligning ( 1 ) antas det at objektet er tettere enn væsken. Hvis ikke, bør tegnet på dragkraften bli negativt siden objektet vil bevege seg oppover, mot tyngdekraften. Eksempler er bobler dannet på bunnen av et champagneglass og heliumballonger. Terminalhastigheten vil i slike tilfeller ha en negativ verdi, tilsvarende hastigheten for å stige opp.

Se også

• Stokes lov
• Terminal ballistikk

Referanser

Eksterne linker

• Terminal Velocity - NASA -nettsted
• Innebygd video av Space Shuttle Solid Rocket Boosters reduserer raskt til terminalhastighet ved inngang til den tykkere atmosfæren , fra 2900 miles i timen (Mach 3.8) kl. 5:15 i videoen, til 220 mph ved 6:45 når fallskjermene er utplassert 90 sekunder senere - NASA video og lyd, @ io9.com.
• Terminal avregningshastighet for en kule i det hele tatt realistiske Reynolds Numbers, av Heywood Tables -tilnærming.