Matematikk for trefaset elektrisk kraft - Mathematics of three-phase electric power

En spenningssyklus i et trefasesystem, merket 0 til 360 ° (2π radianer) langs tidsaksen. Den plottede linjen representerer variasjonen av momentan spenning (eller strøm) med hensyn til tid. Denne syklusen gjentas med en frekvens som er avhengig av kraftsystemet.

I elektroteknikk har trefasede elektriske kraftsystemer minst tre ledere som bærer vekslende spenninger som blir forskjøvet i tid med en tredjedel av perioden. Et trefasesystem kan være arrangert i delta (∆) eller stjerne (Y) (også betegnet som wye i noen områder). Et wye -system tillater bruk av to forskjellige spenninger fra alle tre fasene , for eksempel et 230/400 V system som gir 230 V mellom nøytralen (senternav) og hvilken som helst av fasene, og 400 V over to faser. Et deltasystemarrangement gir bare én spenning, men det har en større redundans, ettersom det kan fortsette å fungere normalt med en av de tre forsyningsviklingene offline, om enn 57,7% av total kapasitet. Harmonisk strøm i nøytralen kan bli veldig stor hvis ikke -lineære belastninger er tilkoblet.

Definisjoner

I en tilkoblet topologi med en stjerne (wye), med rotasjonssekvens L1 - L2 - L3, kan de tidsvarierende momentane spenningene beregnes for hver fase A, C, B henholdsvis ved å:

${\ displaystyle V_ {L1-N} = V_ {P} \ sin \ venstre (\ theta \ høyre) \, \!}$

${\ displaystyle V_ {L2 -N} = V_ {P} \ sin \ left (\ theta -{\ frac {2} {3}} \ pi \ right) = V_ {P} \ sin \ left (\ theta + {\ frac {4} {3}} \ pi \ right)}$

${\ displaystyle V_ {L3 -N} = V_ {P} \ sin \ left (\ theta -{\ frac {4} {3}} \ pi \ right) = V_ {P} \ sin \ left (\ theta + {\ frac {2} {3}} \ pi \ right)}$

hvor:

${\ displaystyle V_ {P}}$ er toppspenningen,

${\ displaystyle \ theta = 2 \ pi ft \, \!}$ er fasevinkelen i radianer

${\ displaystyle t}$ er tiden i sekunder

${\ displaystyle f}$ er frekvensen i sykluser per sekund og

spenninger L1-N, L2-N og L3-N refereres til stjerneforbindelsespunktet.

Diagrammer

Bildene nedenfor viser hvordan et system med seks ledninger som leverer tre faser fra en generator kan erstattes av bare tre. En trefasetransformator er også vist.

• 

  Elementær seks-leders trefaset generator, med hver fase ved hjelp av et separat par overføringsledninger.

• 

  Elementær tre-leders trefaset generator, som viser hvordan fasene bare kan dele tre overføringsledninger.

• 

  Hver fase i en trefasetransformator har sitt eget par viklinger, med en delt kjerne.

Balansert belastning

Vanligvis fordeles lastene i elektriske systemer så jevnt som praktisk mellom fasene. Det er vanlig praksis å først diskutere et balansert system og deretter beskrive effekten av ubalanserte systemer som avvik fra elementærtilfellet.

Konstant kraftoverføring

En viktig egenskap ved trefaset effekt er at den øyeblikkelige effekten som er tilgjengelig for en resistiv belastning,, er konstant til enhver tid. Faktisk, la ${\ displaystyle \ scriptstyle P \, = \, VI \, = \, {\ frac {1} {R}} V^{2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} P_ {Li} & = {\ frac {V_ {Li}^{2}} {R}} \\ P_ {TOT} & = \ sum _ {i} P_ {Li} \ end {align}}}$

For å forenkle matematikken definerer vi en ikke -dimensjonalisert effekt for mellomliggende beregninger,${\ displaystyle \ scriptstyle p \, = \, {\ frac {1} {V_ {P}^{2}}} P_ {TOT} R}$

${\ displaystyle p = \ sin ^{2} \ theta +\ sin ^{2} \ left (\ theta -{\ frac {2} {3}} \ pi \ right) +\ sin ^{2} \ left (\ theta -{\ frac {4} {3}} \ pi \ right) = {\ frac {3} {2}}}$

Derfor (erstatter tilbake):

${\ displaystyle P_ {TOT} = {\ frac {3V_ {P}^{2}} {2R}}.}$

Siden vi har eliminert kan vi se at den totale effekten ikke varierer med tiden. Dette er avgjørende for at store generatorer og motorer skal fungere jevnt. ${\ displaystyle \ theta}$

Legg også merke til at uttrykket for ovenstående bruker mer klassisk form ved bruk av rotens gjennomsnittlige firkantspenning : ${\ displaystyle V = {\ frac {V_ {p}} {\ sqrt {2}}}}$${\ displaystyle P_ {TOT}}$

${\ displaystyle P_ {TOT} = {\ frac {3V^{2}} {R}}}$.

Lasten trenger ikke å være motstandsdyktig for å oppnå en konstant øyeblikkelig effekt siden den kan skrives som så lenge den er balansert eller lik for alle faser

${\ displaystyle Z = | Z | e^{j \ varphi}}$

slik at toppstrømmen er

${\ displaystyle I_ {P} = {\ frac {V_ {P}} {| Z |}}}$

for alle faser og øyeblikkelige strømmer er

${\ displaystyle I_ {L1} = I_ {P} \ sin \ left (\ theta -\ varphi \ right)}$

${\ displaystyle I_ {L2} = I_ {P} \ sin \ left (\ theta -{\ frac {2} {3}} \ pi -\ varphi \ right)}$

${\ displaystyle I_ {L3} = I_ {P} \ sin \ left (\ theta -{\ frac {4} {3}} \ pi -\ varphi \ right)}$

Nå er de øyeblikkelige kreftene i fasene

${\ displaystyle P_ {L1} = V_ {L1} I_ {L1} = V_ {P} I_ {P} \ sin \ venstre (\ theta \ høyre) \ sin \ venstre (\ theta -\ varphi \ høyre)}$

${\ displaystyle P_ {L2} = V_ {L2} I_ {L2} = V_ {P} I_ {P} \ sin \ venstre (\ theta -{\ frac {2} {3}} \ pi \ right) \ sin \ venstre (\ theta -{\ frac {2} {3}} \ pi -\ varphi \ høyre)}$

${\ displaystyle P_ {L3} = V_ {L3} I_ {L3} = V_ {P} I_ {P} \ sin \ venstre (\ theta -{\ frac {4} {3}} \ pi \ right) \ sin \ venstre (\ theta -{\ frac {4} {3}} \ pi -\ varphi \ høyre)}$

Bruke vinkelsubtraksjonsformler :

${\ displaystyle P_ {L1} = {\ frac {V_ {P} I_ {P}} {2}} \ venstre [\ cos \ venstre (\ varphi \ høyre) -\ cos \ venstre (2 \ theta -\ varphi \ høyre) \ høyre]}$

${\ displaystyle P_ {L2} = {\ frac {V_ {P} I_ {P}} {2}} \ venstre [\ cos \ venstre (\ varphi \ høyre) -\ cos \ venstre (2 \ theta -{\ frac {4} {3}} \ pi -\ varphi \ right) \ right]}$

${\ displaystyle P_ {L3} = {\ frac {V_ {P} I_ {P}} {2}} \ venstre [\ cos \ venstre (\ varphi \ høyre) -\ cos \ venstre (2 \ theta -{\ frac {8} {3}} \ pi -\ varphi \ right) \ right]}$

som gir en total øyeblikkelig effekt

${\ displaystyle P_ {TOT} = {\ frac {V_ {P} I_ {P}} {2}} \ venstre \ {3 \ cos \ varphi -\ venstre [\ cos \ venstre (2 \ theta -\ varphi \ høyre)+\ cos \ venstre (2 \ theta -{\ frac {4} {3}} \ pi -\ varphi \ høyre)+\ cos \ venstre (2 \ theta -{\ frac {8} {3}} \ pi -\ varphi \ right) \ right] \ right \}}$

Siden de tre begrepene i firkantede parenteser er et trefasesystem, summerer de seg til null og den totale effekten blir

${\ displaystyle P_ {TOT} = {\ frac {3V_ {P} I_ {P}} {2}} \ cos \ varphi}$

eller

${\ displaystyle P_ {TOT} = {\ frac {3V_ {P}^{2}} {2 | Z |}} \ cos \ varphi}$

viser påstanden ovenfor.

Igjen, ved hjelp av roten betyr kvadratisk spenning , kan skrives i vanlig form ${\ displaystyle V = {\ frac {V_ {p}} {\ sqrt {2}}}}$${\ displaystyle P_ {TOT}}$

${\ displaystyle P_ {TOT} = {\ frac {3V^{2}} {Z}} \ cos \ varphi}$.

Ingen nøytral strøm

Når det gjelder like store belastninger på hver av de tre fasene, strømmer ingen nettstrøm i nøytralen. Nøytralstrømmen er den inverterte vektorsummen av linjestrømmene. Se Kirchhoffs kretslover .

${\ displaystyle {\ begin {align} I_ {L1} & = {\ frac {V_ {L1-N}} {R}}, \; I_ {L2} = {\ frac {V_ {L2-N}} { R}}, \; I_ {L3} = {\ frac {V_ {L3-N}} {R}} \\-I_ {N} & = I_ {L1}+I_ {L2}+I_ {L3} \ slutt {align}}}$

Vi definerer en ikke-dimensjonalisert strøm ,: ${\ displaystyle i = {\ frac {I_ {N} R} {V_ {P}}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} i & = \ sin \ left (\ theta \ right)+\ sin \ left (\ theta -{\ frac {2 \ pi} {3}} \ right)+\ sin \ left (\ theta +{\ frac {2 \ pi} {3}} \ right) \\ & = \ sin \ left (\ theta \ right) +2 \ sin \ left (\ theta \ right) \ cos \ left ( {\ frac {2 \ pi} {3}} \ høyre) \\ & = \ sin \ venstre (\ theta \ høyre)-\ sin \ venstre (\ theta \ høyre) \\ & = 0 \ ende {justert} }}$

Siden vi har vist at nøytralstrømmen er null, kan vi se at fjerning av den nøytrale kjernen ikke vil ha noen effekt på kretsen, forutsatt at systemet er balansert. Slike tilkoblinger brukes vanligvis bare når belastningen på de tre fasene er en del av det samme utstyret (for eksempel en trefaset motor), da ellers bytte av last og små ubalanser ville forårsake store spenningsvariasjoner.

Ubalanserte systemer

I praksis har systemer sjelden perfekt balansert last, strøm, spenning og impedans i alle tre fasene. Analysen av ubalanserte saker er sterkt forenklet ved bruk av teknikkene til symmetriske komponenter . Et ubalansert system analyseres som superposisjonen til tre balanserte systemer, hver med den positive, negative eller null sekvensen av balanserte spenninger.

Når vi spesifiserer ledningsstørrelser i et trefasesystem, trenger vi bare å vite størrelsen på fasen og nøytrale strømmer. Nøytralstrømmen kan bestemmes ved å legge de tre fasestrømmene sammen som komplekse tall og deretter konvertere fra rektangulære til polare koordinater. Dersom det trefasede kvadratisk middelverdi (RMS) strømmene er , og , er den nøytrale RMS-strøm: ${\ displaystyle I_ {L1}}$${\ displaystyle I_ {L2}}$${\ displaystyle I_ {L3}}$

${\ displaystyle I_ {L1}+I_ {L2} \ cos \ left ({\ frac {2} {3}} \ pi \ right)+jI_ {L2} \ sin \ left ({\ frac {2} {3 }} \ pi \ right)+I_ {L3} \ cos \ left ({\ frac {4} {3}} \ pi \ right)+jI_ {L3} \ sin \ left ({\ frac {4} {3 }} \ pi \ right)}$

som løser seg til

${\ displaystyle I_ {L1} -I_ {L2} {\ frac {1} {2}}-I_ {L3} {\ frac {1} {2}}+j {\ frac {\ sqrt {3}} { 2}} \ venstre (I_ {L2} -I_ {L3} \ høyre)}$

Den polare størrelsen på dette er kvadratroten av summen av kvadratene til de virkelige og imaginære delene, noe som reduserer til

${\ displaystyle {\ sqrt {I_ {L1}^{2}+I_ {L2}^{2}+I_ {L3}^{2} -I_ {L1} I_ {L2} -I_ {L1} I_ {L3 } -I_ {L2} I_ {L3}}}}$

Ikke-lineære belastninger

Med lineære belastninger bærer nøytralen bare strømmen på grunn av ubalanse mellom fasene. Enheter som bruker likeretter-kondensator frontender (for eksempel switch-mode strømforsyninger for datamaskiner, kontorutstyr og lignende) introduserer tredje orden harmoniske. Tredje harmoniske strømmer er i fase i hver av tilførselsfasene og vil derfor legge sammen i nøytralen som kan føre til at nøytralstrømmen i et wye-system overskrider fasestrømmene.

Roterende magnetfelt

Ethvert polyfasesystem, i kraft av tidsforskyvningen av strømmen i fasene, gjør det mulig å enkelt generere et magnetfelt som roterer ved linjefrekvensen. En slik roterende magnetfelt som gjør flerfasede asynkronmotorer mulig. Faktisk, hvor induksjonsmotorer må kjøre på enfaset kraft (slik som vanligvis distribueres i hjem), må motoren inneholde en mekanisme for å produsere et roterende felt, ellers kan ikke motoren generere noe stillestående dreiemoment og vil ikke starte. Feltet produsert av en enfaset vikling kan gi energi til en motor som allerede roterer, men uten hjelpemekanismer vil ikke motoren akselerere fra et stopp.

Et roterende magnetfelt med jevn amplitude krever at alle tre fasestrømmene er like store og nøyaktig forskjøvet en tredjedel av en syklus i fase. Ubalansert drift resulterer i uønskede effekter på motorer og generatorer.

Konvertering til andre fasesystemer

Forutsatt at to spenningsbølgeformer har minst en relativ forskyvning på tidsaksen, bortsett fra et multiplum av en halv syklus, kan ethvert annet polyfasesett med spenninger oppnås med en rekke passive transformatorer . Slike matriser vil jevnt balansere polyfasebelastningen mellom fasene i kildesystemet. For eksempel kan balansert tofaset strøm hentes fra et trefaset nettverk ved å bruke to spesialkonstruerte transformatorer, med kraner på 50% og 86,6% av primærspenningen. Denne Scott T- tilkoblingen produserer et ekte tofasesystem med 90 ° tidsforskjell mellom fasene. Et annet eksempel er generering av systemer med høyere faseordre for store likerettersystemer , for å produsere en jevnere DC- utgang og for å redusere de harmoniske strømningene i forsyningen.

Når trefase er nødvendig, men bare enfase er lett tilgjengelig fra strømleverandøren, kan en fasekonverter brukes til å generere trefaset strøm fra enfasetilførselen. En motorgenerator brukes ofte i fabrikkindustrielle applikasjoner.

Systemmålinger

I et trefasesystem kreves det minst to transdusere for å måle effekt når det ikke er noen nøytral, eller tre transdusere når det er en nøytral. Blondels teorem sier at antall måleelementer som kreves er ett mindre enn antall strømførende ledere.

Se også

Referanser

• Stevenson, William D. Jr. (1975). Elementer i analyser av kraftsystemer . McGraw-Hill Electrical and Electronic Engineering Series (3. utg.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-061285-4.