Variasjonsulikhet - Variational inequality

I matematikk er en variasjonell ulikhet en ulikhet som involverer en funksjonell , som må løses for alle mulige verdier av en gitt variabel , som vanligvis tilhører et konveks sett . Den matematiske teorien om variasjonsulikheter ble opprinnelig utviklet for å håndtere likevektsproblemer , nettopp Signorini-problemet : i det modellproblemet ble den involverte funksjonen oppnådd som den første variasjonen av den involverte potensielle energien . Derfor har den en variasjonell opprinnelse , tilbakekalt med navnet på det generelle abstrakte problemet. Teoriens anvendbarhet har siden blitt utvidet til å omfatte problemer fra økonomi , økonomi , optimalisering og spillteori .

Historie

Det første problemet som involverte en variasjonsulikhet var Signorini-problemet , stilt av Antonio Signorini i 1959 og løst av Gaetano Fichera i 1963, ifølge referansene ( Antman 1983 , s. 282–284) og ( Fichera 1995 ): de første papirene av teorien var ( Fichera 1963 ) og ( Fichera 1964a ), ( Fichera 1964b ). Senere beviste Guido Stampacchia sin generalisering til Lax – Milgram-teoremet i ( Stampacchia 1964 ) for å studere regelmessighetsproblemet for delvise differensiallikninger og laget navnet "variasjonsulikhet" for alle problemene som involverte ulikheter av denne typen. Georges Duvaut oppfordret sine studenter til å studere og utvide arbeidet til Fichera, etter å ha deltatt på en konferanse i Brixen 1965, hvor Fichera presenterte sin studie av Signorini-problemet, som Antman 1983 , s. 283 rapporter: dermed ble teorien allment kjent i hele Frankrike . Også i 1965 utvidet Stampacchia og Jacques-Louis Lions tidligere resultater av ( Stampacchia 1964 ), og kunngjorde dem i avisen ( Lions & Stampacchia 1965 ): full bevis på resultatene deres dukket opp senere i avisen ( Lions & Stampacchia 1967 ).

Definisjon

Etter Antman (1983 , s. 283) er den formelle definisjonen av en variasjonsulikhet den følgende.

Definisjon 1. Gitt et Banach-rom , en delmengde av og en funksjonell fra til det dobbelte rommet i rommet , er det variasjonelle ulikhetsproblemet problemet med å løse for variabelen som tilhører følgende ulikhet : ${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$${\ displaystyle F \ colon {\ boldsymbol {K}} \ til {\ boldsymbol {E}} ^ {\ ast}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}} ^ {\ ast}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$

${\ displaystyle \ langle F (x), yx \ rangle \ geq 0 \ qquad \ forall y \ i {\ boldsymbol {K}}}$

hvor er dualitetsparringen . ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ colon {\ boldsymbol {E}} ^ {\ ast} \ times {\ boldsymbol {E}} \ to \ mathbb {R}}$

Generelt kan variasjonsulikhetsproblemet formuleres på ethvert endelig - eller uendelig - dimensjonalt Banach-rom . De tre åpenbare trinnene i studien av problemet er følgende:

1. Bevis eksistensen av en løsning: dette trinnet innebærer den matematiske korrektheten av problemet, og viser at det i det minste er en løsning.
2. Bevis det unike ved den gitte løsningen: dette trinnet innebærer den fysiske korrektheten av problemet, og viser at løsningen kan brukes til å representere et fysisk fenomen. Det er et spesielt viktig skritt siden de fleste av problemene modellert av variasjonsforskjeller er av fysisk opprinnelse.
3. Finn løsningen.

Eksempler

Problemet med å finne den minimale verdien av en reell verdi av reell variabel

Dette er et standard eksempelproblem, rapportert av Antman (1983 , s. 283): vurder problemet med å finne den minimale verdien av en differensierbar funksjon over et lukket intervall . La være et punkt der minimum oppstår. Tre tilfeller kan oppstå: ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle I = [a, b]}$${\ displaystyle x ^ {\ ast}}$${\ displaystyle I}$

1. hvis da ${\ displaystyle a <x ^ {\ ast} <b,}$${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x ^ {\ ast}) = 0;}$
2. hvis da ${\ displaystyle x ^ {\ ast} = a,}$${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x ^ {\ ast}) \ geq 0;}$
3. hvis da ${\ displaystyle x ^ {\ ast} = b,}$${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x ^ {\ ast}) \ leq 0.}$

Disse nødvendige forholdene kan oppsummeres som problemet med å finne slike ${\ displaystyle x ^ {\ ast} \ i I}$

${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x ^ {\ ast}) (yx ^ {\ ast}) \ geq 0 \ quad}$ til ${\ displaystyle \ quad \ forall y \ i I.}$

Det absolutte minimumet må søkes mellom løsningene (hvis mer enn en) av den foregående ulikheten : Vær oppmerksom på at løsningen er et reelt tall , derfor er dette en endelig dimensjonal variasjonell ulikhet.

Den generelle endelige dimensjonale variasjonsulikheten

En formulering av det generelle problemet i er følgende: gitt en delmengde av og en kartlegging , består det endelige - dimensjonale variasjonelle ulikhetsproblemet forbundet med å finne en dimensjonsvektor som hører til slik at ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle F \ kolon K \ til \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle \ langle F (x), yx \ rangle \ geq 0 \ qquad \ forall y \ in K}$

hvor er standard indre produkt på vektorområdet . ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Variasjonsulikheten for Signorini-problemet

Den klassiske Signorini problem : hvordan skal være likevekt konfigurasjon av den oransje sfærisk formede elastiske legeme som hviler på den blå stive friksjonsløs plan ?

I historisk oversikt ( Fichera 1995 ), Gaetano Fichera beskriver dannelsen av sin løsning på Signorini problemet : problemet består i å finne den elastiske likevekt konfigurasjon av et anisotropisk ikke-homogent elastisk legeme som ligger på et undersett av den tre- dimensjonale euklidske plass hvis grense er , hviler på en stiv friksjonsfri overflate og under kun dets massekrefter . Løsningen på problemet eksisterer og er unik (under presise forutsetninger) i settet med tillatte forskyvninger, dvs. settet med forskyvningsvektorer som tilfredsstiller systemet med tvetydige grensebetingelser hvis og bare hvis ${\ displaystyle {\ boldsymbol {u}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ left (u_ {1} ({\ boldsymbol {x}}), u_ {2} ({\ boldsymbol {x}}) , u_ {3} ({\ boldsymbol {x}}) \ høyre)}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ delvis A}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}$

${\ displaystyle B ({\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}}) - F ({\ boldsymbol {v}}) \ geq 0 \ qquad \ forall {\ boldsymbol {v}} \ in {\ matematikk {U}} _ {\ Sigma}}$

hvor og er følgende funksjoner skrevet med Einstein-notasjonen${\ displaystyle B ({\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}})}$${\ displaystyle F ({\ boldsymbol {v}})}$

${\ displaystyle B ({\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}}) = - \ int _ {A} \ sigma _ {ik} ({\ boldsymbol {u}}) \ varepsilon _ {ik} ({\ boldsymbol {v}}) \, \ mathrm {d} x}$ ,    ,    ${\ displaystyle F ({\ boldsymbol {v}}) = \ int _ {A} v_ {i} f_ {i} \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ partial A \ setminus \ Sigma} \! \! \! \! \! v_ {i} g_ {i} \, \ mathrm {d} \ sigma}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}} \ i {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}$

hvor for alle , ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} \ i A}$

• ${\ displaystyle \ Sigma}$ er den kontaktflaten (eller mer generelt et kontaktsett ),
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {f}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ left (f_ {1} ({\ boldsymbol {x}}), f_ {2} ({\ boldsymbol {x}}) , f_ {3} ({\ boldsymbol {x}}) \ høyre)}$ er kroppskraften påført kroppen,
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {g}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ left (g_ {1} ({\ boldsymbol {x}}), g_ {2} ({\ boldsymbol {x}}) , g_ {3} ({\ boldsymbol {x}}) \ høyre)}$ er overflatekraften påført , ${\ displaystyle \ delvis A \! \ setminus \! \ Sigma}$
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ boldsymbol {\ varepsilon}} ({\ boldsymbol {u}}) = \ venstre (\ varepsilon _ {ik} ({\ boldsymbol {u}}) \ høyre ) = \ left ({\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {k}}} + {\ frac {\ partial u_ {k}} {\ delvis x_ {i}}} \ høyre) \ høyre)}$ er den uendelig minimale belastningen tensor ,
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ left (\ sigma _ {ik} \ right)}$ er Cauchy stress tensor , definert som

${\ displaystyle \ sigma _ {ik} = - {\ frac {\ partial W} {\ partial \ varepsilon _ {ik}}} \ qquad \ forall i, k = 1,2,3}$

hvor er den elastiske potensielle energien og er elastisiteten tensor . ${\ displaystyle W ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) = a_ {ikjh} ({\ boldsymbol {x}}) \ varepsilon _ {ik} \ varepsilon _ {jh}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {a}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ left (a_ {ikjh} ({\ boldsymbol {x}}) \ right)}$

Se også

• Komplementaritetsteori
• Differensiell variasjonsulikhet
• Utvidet matematisk programmering for likevektsproblemer
• Matematisk programmering med likevektsbegrensninger
• Hinderproblem
• Projisert dynamisk system
• Signorini-problem
• Ensidig kontakt

Referanser

Historiske referanser

• Antman, Stuart (1983), "The influence of elasticity in analysis: modern utvikling", Bulletin of the American Mathematical Society , 9 (3): 267–291, doi : 10.1090 / S0273-0979-1983-15185-6 , MR   0714990 , Zbl   0533.73001 . En historisk artikkel om det fruktbare samspillet mellom elastisitetsteori og matematisk analyse : opprettelsen av teorien om variasjonsulikheter av Gaetano Fichera er beskrevet i §5, side 282–284.
• Duvaut, Georges (1971), "Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus" , Actes du Congrès international des mathématiciens, 1970 , ICM Proceedings , Mathématiques appliquées (E), Histoire et Enseignement (F) - Volum 3, Paris : Gauthier-Villars , s. 71–78, arkivert fra originalen (PDF) 2015-07-25 , hentet 2015-07-25 . En kort forskningsundersøkelse som beskriver feltet med variasjonsforskjeller, nettopp underfeltet av kontinuummekanikkproblemer med ensidige begrensninger.
• Fichera, Gaetano (1995), "La nascita della teoria delle disequazioni variazionali ricordata dopo trent'anni", Incontro scientifico italo-spagnolo. Roma, 21. ottobre 1993 , Atti dei Convegni Lincei (på italiensk), 114 , Roma : Accademia Nazionale dei Lincei , s. 47–53 . Fødselen til teorien om variasjonsulikheter husket tretti år senere (engelsk oversettelse av tittelen) er en historisk artikkel som beskriver begynnelsen på teorien om variasjonsulikheter fra grunnleggerens synspunkt.

Vitenskapelige arbeider

• Facchinei, Francisco; Pang, Jong-Shi (2003), Finite Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Vol. 1 , Springer Series in Operations Research, Berlin - Heidelberg - New York : Springer-Verlag , ISBN   0-387-95580-1 , Zbl   1062.90001
• Facchinei, Francisco; Pang, Jong-Shi (2003), Finite Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Vol. 2 , Springer Series in Operations Research, Berlin - Heidelberg - New York : Springer-Verlag , ISBN   0-387-95581-X , Zbl   1062.90001
• Fichera, Gaetano (1963), "Sul problema elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno", Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (på italiensk), 34 (2): 138–142 , Zbl   0128.18305 . " Om det elastostatiske problemet med Signorini med tvetydige grensebetingelser " (engelsk oversettelse av tittelen) er en kort forskningsnotat som kunngjør og beskriver løsningen på Signorini-problemet.
• Fichera, Gaetano (1964a), "Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: il problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno", Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (på italiensk), 7 (2 ): 91–140, Zbl   0146.21204 . " Elastostatiske problemer med ensidige begrensninger: Signorini-problemet med tvetydige grensebetingelser " (engelsk oversettelse av tittelen) er det første papiret der en eksistens- og unikhetssats for Signorini-problemet er bevist.
• Fichera, Gaetano (1964b), "Elastostatiske problemer med ensidige begrensninger: Signorini-problemet med tvetydige grensebetingelser", Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963 , Roma : Edizioni Cremonese, s. 613–679 . En engelsk oversettelse av ( Fichera 1964a ).
• Glowinski, Roland ; Lions, Jacques-Louis ; Trémolières, Raymond (1981), Numerisk analyse av variasjonelle ulikheter. Oversatt fra fransk , Studies in Mathematics and its Applications, 8 , Amsterdam - New York - Oxford : North-Holland , s. Xxix + 776, ISBN   0-444-86199-8 , MR   0635927 , Zbl   0463.65046
• Kinderlehrer, David ; Stampacchia, Guido (1980), En introduksjon til variasjonelle ulikheter og deres applikasjoner , ren og anvendt matematikk, 88 , Boston - London - New York - San Diego - Sydney - Tokyo - Toronto : Academic Press , ISBN   0-89871-466-4 , Zbl   0457.35001 .
• Lions, Jacques-Louis ; Stampacchia, Guido (1965), "Inéquations variationnelles non coercives" , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , 261 : 25–27, Zbl   0136.11906 , tilgjengelig på Gallica . Kunngjøringer om resultatene av papir ( Lions & Stampacchia 1967 ).
• Lions, Jacques-Louis ; Stampacchia, Guido (1967), "Variational inequalities" , Communications on Pure and Applied Mathematics , 20 (3): 493–519, doi : 10.1002 / cpa.3160200302 , Zbl   0152.34601 , arkivert fra originalen 05/01/2013 Ekstern lenke i |journal= ( hjelp ) . Et viktig papir som beskriver forfatterenes abstrakte tilnærming til teorien om variasjonelle ulikheter.
• Roubíček, Tomáš (2013), Ikke-lineær partiell differensialligning med applikasjoner , ISNM. International Series of Numerical Mathematics, 153 (2. utg.), Basel – Boston – Berlin: Birkhäuser Verlag , s. Xx + 476, doi : 10.1007 / 978-3-0348-0513-1 , ISBN   978-3-0348-0512-4 , MR   3014456 , Zbl   1270.35005 .
• Stampacchia, Guido (1964), "Formes bilineaires coercitives sur les ensembles convexes" , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , 258 : 4413–4416, Zbl   0124.06401 , tilgjengelig på Gallica . Papiret som inneholder Stampacchias generalisering av Lax – Milgram-teoremet .

Eksterne linker

• Panagiotopoulos, PD (2001) [1994], "Variational inequalities" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Alessio Figalli, om globale homogene løsninger på Signorini-problemet ,