Vector Laplacian - Vector Laplacian

I matematikk og fysikk er vektor Laplace-operatøren , betegnet med , oppkalt etter Pierre-Simon Laplace , en differensialoperatør definert over et vektorfelt . Vektoren Laplacian ligner på den skalare Laplacian . Mens den skalare Laplacianen gjelder for et skalarfelt og returnerer en skalærmengde, gjelder vektoren Laplacian et vektorfelt , og returnerer et vektormengde. Når det beregnes i ortonormale kartesiske koordinater , er det returnerte vektorfeltet lik vektorfeltet til den skalare Laplacian anvendt på hver vektorkomponent. ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$

Definisjon

Den vektor-Laplace-operatoren av et vektorfelt er definert som ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) - \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A}).}

I kartesiske koordinater reduserer dette til den mye enklere formen:

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = (\ nabla ^ {2} A_ {x}, \ nabla ^ {2} A_ {y}, \ nabla ^ {2} A_ {z}), }

hvor , og er komponentene i . Dette kan sees som et spesielt tilfelle av Lagranges formel; se Vector trippelprodukt . ${\ displaystyle A_ {x}}$ ${\ displaystyle A_ {y}}$ ${\ displaystyle A_ {z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

For uttrykk av vektoren Laplacian i andre koordinatsystemer, se Del i sylindriske og sfæriske koordinater .

Generalisering

Laplacian av et hvilket som helst tensorfelt ("tensor" inkluderer skalær og vektor) er definert som divergensen i gradienten til tensoren: ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {T} = (\ nabla \ cdot \ nabla) \ mathbf {T}.}

For det spesielle tilfellet hvor er en skalar (en tensor på grad null), tar Laplacian på seg den kjente formen. ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

Hvis er en vektor (en tensor av første grad), er gradienten et kovariantderivat som resulterer i en tensor av andre grad, og divergensen til dette er igjen en vektor. Formelen for vektoren Laplacian ovenfor kan brukes for å unngå tensor-matematikk og kan vises å være ekvivalent med divergensen til den jakobiske matrisen vist nedenfor for gradienten til en vektor: ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

{\ displaystyle \ nabla \ mathbf {T} = (\ nabla T_ {x}, \ nabla T_ {y}, \ nabla T_ {z}) = {\ begin {bmatrix} T_ {xx} & T_ {xy} & T_ { xz} \\ T_ {yx} & T_ {yy} & T_ {yz} \\ T_ {zx} & T_ {zy} & T_ {zz} \ end {bmatrix}}, {\ text {hvor}} T_ {uv} \ equiv {\ frac {\ partiell T_ {u}} {\ delvis v}}.}

Og på samme måte kan et prikkprodukt, som evaluerer til en vektor, av en vektor ved gradienten til en annen vektor (en tensor av 2. grad) sees på som et produkt av matriser:

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} A_ {x} & A_ {y} & A_ {z} \ end {bmatrix}} \ nabla \ mathbf {B} = {\ begynne {bmatrix} \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {x} & \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {y} & \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {z} \ end { bmatrix}}.}

Denne identiteten er et koordinatavhengig resultat, og er ikke generell.

Bruk i fysikk

Et eksempel på bruken av vektoren Laplacian er Navier-Stokes-ligningene for en Newtonsk ukomprimerbar flyt :

{\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partiell t}} + (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} \ høyre) = \ rho \ mathbf {f} - \ nabla p + \ mu \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {v} \ høyre),}

hvor uttrykket med vektoren Laplace-operatoren av hastighetsfeltet representerer den viskøse spenningene i væsken. ${\ displaystyle \ mu \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {v} \ høyre)}$