Tilnærming til WKB - WKB approximation

I matematisk fysikk er WKB-tilnærmingen eller WKB-metoden en metode for å finne tilnærmet løsninger på lineære differensiallikninger med romlig varierende koeffisienter. Det brukes vanligvis til en semiklassisk beregning i kvantemekanikk der bølgefunksjonen omarbeides som en eksponensiell funksjon, utvides semiklassisk, og deretter antas amplituden eller fasen å endre seg sakte.

Navnet er en initialisme for Wentzel – Kramers – Brillouin . Det er også kjent som LG eller Liouville – Green-metoden . Andre ofte brukte bokstavkombinasjoner inkluderer JWKB og WKBJ , der "J" står for Jeffreys.

Kort historie

Denne metoden er oppkalt etter fysikerne Gregor Wentzel , Hendrik Anthony Kramers og Léon Brillouin , som alle utviklet den i 1926. I 1923 hadde matematikeren Harold Jeffreys utviklet en generell metode for å tilnærme løsninger på lineære andreordens differensiallikninger, en klasse som inkluderer Schrödinger-ligningen . Schrödinger-ligningen ble ikke utviklet før to år senere, og Wentzel, Kramers og Brillouin var tilsynelatende uvitende om dette tidligere arbeidet, så Jeffreys blir ofte neglisjert. Tidlige tekster i kvantemekanikk inneholder et hvilket som helst antall kombinasjoner av initialene, inkludert WBK, BWK, WKBJ, JWKB og BWKJ. En autoritativ diskusjon og kritisk undersøkelse er gitt av Robert B. Dingle.

Tidligere opptredener av i hovedsak likeverdige metoder er: Francesco Carlini i 1817, Joseph Liouville i 1837, George Green i 1837, Lord Rayleigh i 1912 og Richard Gans i 1915. Liouville og Green kan sies å ha grunnlagt metoden i 1837, og den er også ofte referert til som Liouville – Green eller LG-metoden.

Det viktige bidraget Jeffreys, Wentzel, Kramers og Brillouin til metoden var inkluderingen av behandlingen av vendepunkter , som forbinder de flyktige og svingende løsningene på hver side av vendepunktet. For eksempel kan dette skje i Schrödinger-ligningen på grunn av en potensiell energibakke .

WKB-metoden

Generelt er WKB-teori en metode for tilnærming til løsningen av en differensialligning hvis høyeste derivat multipliseres med en liten parameter ε . Metoden for tilnærming er som følger.

For en differensialligning

${\ displaystyle \ varepsilon {\ frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} + a (x) {\ frac {d ^ {n-1} y} {dx ^ {n-1} }} + \ cdots + k (x) {\ frac {dy} {dx}} + m (x) y = 0,}$

anta en løsning av formen for en asymptotisk serieutvidelse

${\ displaystyle y (x) \ sim \ exp \ left [{\ frac {1} {\ delta}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ delta ^ {n} S_ {n} (x )\Ikke sant]}$

i grensen δ → 0 . Den asymptotiske skaleringen av δ når det gjelder ε vil bli bestemt av ligningen - se eksemplet nedenfor.

Settes de ovenfor ansatz inn i differensialligningen og avbryter ut eksponentialuttrykk som gjør det mulig å løse for et vilkårlig antall ledd S _n (x) i utvidelsen.

WKB-teori er et spesielt tilfelle av flerskala- analyse .

Et eksempel

Dette eksemplet kommer fra teksten til Carl M. Bender og Steven Orszag . Tenk på andreordens homogene lineære differensialligning

${\ displaystyle \ epsilon ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = Q (x) y,}$

hvor . Erstatter ${\ displaystyle Q (x) \ neq 0}$

${\ displaystyle y (x) = \ exp \ left [{\ frac {1} {\ delta}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ delta ^ {n} S_ {n} (x) \Ikke sant]}$

resulterer i ligningen

${\ displaystyle \ epsilon ^ {2} \ left [{\ frac {1} {\ delta ^ {2}}} \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ delta ^ {n} S_ {n} '\ høyre) ^ {2} + {\ frac {1} {\ delta}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ delta ^ {n} S_ {n}' '\ høyre ] = Q (x).}$

Til ledende orden (forutsatt at serien for øyeblikket vil være asymptotisk konsistent), kan ovennevnte tilnærmes som

${\ displaystyle {\ frac {\ epsilon ^ {2}} {\ delta ^ {2}}} S_ {0} '^ {2} + {\ frac {2 \ epsilon ^ {2}} {\ delta}} S_ {0} 'S_ {1}' + {\ frac {\ epsilon ^ {2}} {\ delta}} S_ {0} '' = Q (x).}$

I grensen δ → 0 er den dominerende balansen gitt av

${\ displaystyle {\ frac {\ epsilon ^ {2}} {\ delta ^ {2}}} S_ {0} '^ {2} \ sim Q (x).}$

Så δ er proporsjonal med ε . Å sette dem like og sammenligne krefter gir

${\ displaystyle \ epsilon ^ {0}: \ quad S_ {0} '^ {2} = Q (x),}$

som kan gjenkjennes som Eikonal-ligningen , med løsning

${\ displaystyle S_ {0} (x) = \ pm \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ sqrt {Q (t)}} \, dt.}$

Tatt i betraktning førsteordens krefter til ε- rettelser

${\ displaystyle \ epsilon ^ {1}: \ quad 2S_ {0} 'S_ {1}' + S_ {0} '' = 0.}$

Dette har løsningen

${\ displaystyle S_ {1} (x) = - {\ frac {1} {4}} \ ln Q (x) + k_ {1},}$

hvor k ₁ er en vilkårlig konstant.

Vi har nå et par tilnærminger til systemet (et par, fordi S ₀ kan ta to tegn); førsteordens WKB-tilnærming vil være en lineær kombinasjon av de to:

${\ displaystyle y (x) \ approx c_ {1} Q ^ {- {\ frac {1} {4}}} (x) \ exp \ left [{\ frac {1} {\ epsilon}} \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ sqrt {Q (t)}} \, dt \ right] + c_ {2} Q ^ {- {\ frac {1} {4}}} (x) \ exp \ left [- {\ frac {1} {\ epsilon}} \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ sqrt {Q (t)}} \, dt \ right].}$

Betegnelser med høyere ordre kan oppnås ved å se på ligninger for høyere krefter på δ . Eksplisitt,

${\ displaystyle 2S_ {0} 'S_ {n}' + S '' _ {n-1} + \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} S '_ {j} S' _ {nj} = 0}$

for n ≥ 2.

Presisjon av den asymptotiske serien

Den asymptotiske serien for y ( x ) er vanligvis en divergerende serie , hvis generelle begrep δ ⁿ S _n (x) begynner å øke etter en viss verdi n  =  n _maks . Derfor er den minste feilen oppnådd med WKB-metoden i beste fall av rekkefølgen for den siste inkluderte termen.

For ligningen

${\ displaystyle \ epsilon ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = Q (x) y,}$

med Q (x) <0 en analytisk funksjon, kan verdien og størrelsen på den siste termen estimeres som følger: ${\ displaystyle n _ {\ max}}$

${\ displaystyle n _ {\ max} \ ca 2 \ epsilon ^ {- 1} \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x _ {\ ast}} {\ sqrt {-Q (z)}} \ , dz \ right |,}$

${\ displaystyle \ delta ^ {n _ {\ max}} S_ {n _ {\ max}} (x_ {0}) \ approx {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {n _ {\ max}}}} \ exp [-n _ {\ max}],}$

hvor er det punktet som må evalueres og er (det komplekse) vendepunktet der , nærmest . ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle y (x_ {0})}$${\ displaystyle x _ {\ ast}}$${\ displaystyle Q (x _ {\ ast}) = 0}$${\ displaystyle x = x_ {0}}$

Tallet n _max kan tolkes som antall svingninger mellom og nærmeste vendepunkt. ${\ displaystyle x_ {0}}$

Hvis er en sakte skiftende funksjon, ${\ displaystyle \ epsilon ^ {- 1} Q (x)}$

${\ displaystyle \ epsilon \ left | {\ frac {dQ} {dx}} \ right | \ ll Q ^ {2},}$

tallet n _max vil være stort, og minimumsfeilen til den asymptotiske serien vil være eksponentielt liten.

Søknad til Schrödinger-ligningen

Ovennevnte eksempel kan brukes spesielt på den endimensjonale, tidsuavhengige Schrödinger-ligningen ,

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ Psi (x) + V (x) \ Psi ( x) = E \ Psi (x),}$

som kan skrives om som

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ Psi (x) = {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ left (V (x) - E \ høyre) \ Psi (x).}$

Tilnærming vekk fra vendepunktene

Bølgefunksjonen kan skrives om som eksponentiell for en annen funksjon Φ (nært knyttet til handlingen ), som kan være kompleks,

${\ displaystyle \ Psi (x) = e ^ {\ Phi (x)},}$

så det

${\ displaystyle \ Phi '' (x) + \ left [\ Phi '(x) \ right] ^ {2} = {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ left (V (x) -E \ høyre),}$

hvor Φ 'indikerer derivatet av Φ med hensyn til x . Dette derivatet Φ 'kan skilles i reelle og imaginære deler ved å introdusere de virkelige funksjonene A og B ,

${\ displaystyle \ Phi '(x) = A (x) + iB (x).}$

Amplituden til bølgefunksjonen er da

${\ displaystyle \ exp \ left [\ int _ {x_ {0}} ^ {x} A (x ') \, dx' \ right],}$

mens fasen er

${\ displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x} B (x ') \, dx'.}$

De virkelige og imaginære delene av Schrödinger-ligningen blir da

${\ displaystyle A '(x) + A (x) ^ {2} -B (x) ^ {2} = {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ left (V (x) - E \ høyre),}$

${\ displaystyle B '(x) + 2A (x) B (x) = 0.}$

Deretter brukes den semiklassiske tilnærmingen. Dette betyr at hver funksjon utvides som en kraftserie i ħ . Fra ovenstående ligninger kan det sees at kraftserien må starte med minst en rekkefølge på 1 / ħ for å tilfredsstille den virkelige delen av ligningen. For å oppnå en god klassisk grense er det nødvendig å starte med så høy styrke av Plancks konstant ħ som mulig:

${\ displaystyle A (x) = {\ frac {1} {\ hbar}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ hbar ^ {n} A_ {n} (x),}$

${\ displaystyle B (x) = {\ frac {1} {\ hbar}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ hbar ^ {n} B_ {n} (x).}$

Til nullen rekkefølge i denne utvidelsen kan betingelsene på A og B skrives,

${\ displaystyle A_ {0} (x) ^ {2} -B_ {0} (x) ^ {2} = 2m \ left (V (x) -E \ right),}$

${\ displaystyle A_ {0} (x) B_ {0} (x) = 0 \ ;.}$

De første derivatene A '(x) og B' (x) ble kastet, fordi de inkluderer faktorer av orden 1 / ħ , høyere enn den dominerende ħ ⁻² .

Deretter, hvis amplituden varierer tilstrekkelig sakte sammenlignet med fasen ( ), følger det at ${\ displaystyle A_ {0} (x) = 0}$

${\ displaystyle B_ {0} (x) = \ pm {\ sqrt {2m \ left (EV (x) \ right)}},}$

som bare er gyldig når den totale energien er større enn den potensielle energien, som alltid er tilfelle i klassisk bevegelse .

Etter samme prosedyre på neste rekkefølge av utvidelsen, følger det

På den annen side, hvis det er fasen som varierer sakte (sammenlignet med amplituden), ( ) da ${\ displaystyle B_ {0} (x) = 0}$

${\ displaystyle A_ {0} (x) = \ pm {\ sqrt {2m \ left (V (x) -E \ right)}},}$

som bare er gyldig når den potensielle energien er større enn den totale energien (regimet der kvantetunnel forekommer).

Å finne neste rekkefølge av utvidelsesutbyttet, som i eksemplet i forrige avsnitt,

I den klassisk tillatte regionen, nemlig regionen der integrand i eksponenten er imaginær og den omtrentlige bølgefunksjonen er oscillerende. I den klassisk forbudte regionen vokser eller forfaller løsningene. Det er tydelig i nevneren at begge disse omtrentlige løsningene blir entall nær de klassiske vendepunktene , der E = V (x) , og ikke kan være gyldige. (Vendepunktene er punktene der den klassiske partikkelen endrer retning.) ${\ displaystyle V (x) <E}$${\ displaystyle V (x)> E}$

Atferd nær vendepunktene

Vi vurderer nå oppførselen til bølgefunksjonen nær vendepunktene. For dette trenger vi en annen metode. I nærheten av de første vendepunktene, x ₁ , kan begrepet utvides i en kraftserie, ${\ displaystyle {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ venstre (V (x) -E \ høyre)}$

${\ displaystyle {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ left (V (x) -E \ right) = U_ {1} \ cdot (x-x_ {1}) + U_ {2} \ cdot (x-x_ {1}) ^ {2} + \ cdots \ ;.}$

Til første ordre finner man

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ Psi (x) = U_ {1} \ cdot (x-x_ {1}) \ cdot \ Psi (x).}$

Denne differensialligningen er kjent som Airy-ligningen , og løsningen kan skrives i form av Airy-funksjoner ,

${\ displaystyle \ Psi (x) = C_ {A} {\ textrm {Ai}} \ left ({\ sqrt [{3}] {U_ {1}}} \ cdot (x-x_ {1}) \ right ) + C_ {B} {\ textrm {Bi}} \ venstre ({\ sqrt [{3}] {U_ {1}}} \ cdot (x-x_ {1}) \ høyre).}$

Selv om bølgefunksjonen for en hvilken som helst fast verdi er avgrenset nær vendepunktene, vil bølgefunksjonen bli toppet der, som det fremgår av bildene ovenfor. Når det blir mindre, øker høyden på bølgefunksjonen ved vendepunktene. ${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle \ hbar}$

Matchingsbetingelsene

Det gjenstår nå å konstruere en global (omtrentlig) løsning på Schrödinger-ligningen. For at bølgefunksjonen skal være kvadratisk integrerbar, må vi bare ta den eksponentielt forfallende løsningen i de to klassisk forbudte områdene. Disse må da "koble" ordentlig gjennom vendepunktene til den klassisk tillatte regionen. For de fleste verdier av E vil ikke denne samsvaringsprosedyren fungere: Funksjonen oppnådd ved å koble løsningen nær det klassisk tillatte området vil ikke være enig med funksjonen som oppnås ved å koble løsningen nær den klassisk tillatte regionen. Kravet om at de to funksjonene er enige, stiller en betingelse for energien E , som vil gi en tilnærming til de nøyaktige kvanteenerginivåene. ${\ displaystyle + \ infty}$${\ displaystyle - \ infty}$

Gitt de to koeffisientene på den ene siden av det klassiske vendepunktet, kan de 2 koeffisientene på den andre siden av det klassiske vendepunktet bestemmes ved å bruke Airy-funksjonen for å koble dem sammen. Dermed kan et forhold mellom og bli funnet. Dette forholdet oppnås ved bruk av kjent asymptotisk for luftig funksjon. Forholdet kan bli funnet å være som følger (ofte referert til som "forbindelsesformler"): ${\ displaystyle C_ {0}, \ theta}$${\ displaystyle C _ {+}, C _ {-}}$

${\ displaystyle C _ {+} = + {\ frac {1} {2}} C_ {0} \ cos {\ left (\ theta - {\ frac {\ pi} {4}} \ right)},}$

${\ displaystyle C _ {-} = - {\ frac {1} {2}} C_ {0} \ sin {\ left (\ theta - {\ frac {\ pi} {4}} \ right)}.}$

Nå kan de globale (omtrentlig) løsningene konstrueres. Det samme kan gjøres ved de andre vendepunktene; anta at det bare er en annen, x ₂ . Uttrykket der vil imidlertid se annerledes ut enn det som er bestemt ovenfor ved x ₁ av en forskjell i argumentet til disse trigonometriske funksjonene.

Den samsvarende tilstanden, som er nødvendig for å få en enkeltverdig, kvadratisk integrert tilnærmet løsning, har følgende form:

${\ displaystyle \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} {\ sqrt {2m \ left (EV (x) \ right)}} \, dx = (n + 1/2) \ pi \ hbar,}$

hvor er vendepunktene for potensialet diskutert, hvor integranden forsvinner. Her er n et ikke-negativt heltall. Denne tilstanden kan også skrives om slik ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$

Området som er lukket av den klassiske energikurven er .${\ displaystyle 2 \ pi \ hbar (n + 1/2)}$

Uansett er tilstanden på energien en versjon av Bohr – Sommerfeld-kvantiseringsbetingelsen , med en " Maslov-korreksjon " lik 1/2.

Det er mulig å vise at etter å ha samlet sammen tilnærmingene i de forskjellige regionene, får man en god tilnærming til den faktiske egenfunksjonen. Spesielt er de Maslov-korrigerte Bohr – Sommerfeld-energiene gode tilnærminger til de faktiske egenverdiene til Schrödinger-operatøren. Spesielt er feilen i energiene liten sammenlignet med den typiske avstanden til kvanteenerginivåene. Dermed, selv om den "gamle kvanteteorien" til Bohr og Sommerfeld til slutt ble erstattet av Schrödinger-ligningen, gjenstår noe av denne teorien, som en tilnærming til egenverdiene til den aktuelle Schrödinger-operatøren.

Sannsynlighetstettheten

Man kan deretter beregne sannsynlighetstettheten assosiert med den omtrentlige bølgefunksjonen. Sannsynligheten for at kvantepartikkelen vil bli funnet i det klassisk forbudte området er liten. I det klassisk tillatte området er sannsynligheten for at kvantepartikkelen vil bli funnet i et gitt intervall omtrent den brøkdelen av tiden den klassiske partikkelen bruker i dette intervallet over en bevegelsesperiode. Siden den klassiske partikkelens hastighet går til null ved vendepunktene, bruker den mer tid nær vendepunktene enn i andre klassisk tillatte regioner. Denne observasjonen utgjør toppen i bølgefunksjonen (og dens sannsynlighetstetthet) nær vendepunktene.

Anvendelser av WKB-metoden på Schrödinger-ligninger med et stort utvalg av potensialer og sammenligning med forstyrrelsesmetoder og baneintegraler behandles i Müller-Kirsten.

Se også

Referanser

Moderne referanser

• Bender, Carl ; Orszag, Steven (1978). Avanserte matematiske metoder for forskere og ingeniører . McGraw-Hill. ISBN 0-07-004452-X.CS1 maint: flere navn: forfatterliste ( lenke )
• Child, MS (1991). Semiklassisk mekanikk med molekylære applikasjoner . Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-855654-3.
• Griffiths, David J. (2004). Introduksjon til kvantemekanikk (2. utg.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
• Liboff, Richard L. (2003). Innledende kvantemekanikk (4. utgave) . Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
• Olver, Frank William John (1974). Asymptotika og spesielle funksjoner . Akademisk presse. ISBN 0-12-525850-X.
• Razavy, Mohsen (2003). Quantum Theory of Tunneling . Verdens vitenskapelig. ISBN 981-238-019-1.
• Sakurai, JJ (1993). Moderne kvantemekanikk . Addison-Wesley. ISBN 0-201-53929-2.

Historiske referanser

• Carlini, Francesco (1817). Ricerche sulla convergenza della serie che serva alla soluzione del problema di Keplero . Milano.
• Liouville, Joseph (1837). "Sur le développement des fonctions et séries.". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 1 : 16–35.
• Green, George (1837). "På bevegelse av bølger i en variabel kanal med liten dybde og bredde". Transaksjoner fra Cambridge Philosophical Society . 6 : 457–462.
• Rayleigh, Lord (John William Strutt) (1912). "Om forplantning av bølger gjennom et lagdelt medium, med spesiell henvisning til spørsmålet om refleksjon" . Proceedings of the Royal Society A . 86 (586): 207–226. Bibcode : 1912RSPSA..86..207R . doi : 10.1098 / rspa.1912.0014 .
• Gans, Richard (1915). "Fortplantzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium" . Annalen der Physik . 47 (14): 709–736. Bibcode : 1915AnP ... 352..709G . doi : 10.1002 / andp.19153521402 .
• Jeffreys, Harold (1924). "På visse omtrentlige løsninger av lineære differensiallikninger av andre orden". Proceedings of the London Mathematical Society . 23 : 428–436. doi : 10.1112 / plms / s2-23.1.428 .
• Brillouin, Léon (1926). "La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 183 : 24–26.
• Kramers, Hendrik A. (1926). "Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung". Zeitschrift für Physik . 39 (10–11): 828–840. Bibcode : 1926ZPhy ... 39..828K . doi : 10.1007 / BF01451751 . S2CID  122955156 .
• Wentzel, Gregor (1926). "Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik". Zeitschrift für Physik . 38 (6–7): 518–529. Bibcode : 1926ZPhy ... 38..518W . doi : 10.1007 / BF01397171 . S2CID  120096571 .

Eksterne linker

• Fitzpatrick, Richard (2002). "WKB-tilnærmingen" . (En anvendelse av WKB-tilnærmingen til spredning av radiobølger fra ionosfæren.)