Umiddelbart på - Instanton

Den dx ¹ ⊗σ ₃ koeffisient av en BPST Inst på (x ¹ , x ² ) -slice av R ⁴ hvor σ ₃ er den tredje Pauli matrisen (øverst til venstre). Den dx ² ⊗σ ₃ -koeffisient (øverst til høyre). Disse koeffisientene bestemmer begrensningen av BPST instanton A med g = 2, ρ = 1, z = 0 til denne skiven. Den tilsvarende feltstyrken sentrert rundt z = 0 (nederst til venstre). En visuell fremstilling av feltstyrken til en BPST instanton med senter z på komprimeringen S ⁴ av R ⁴ (nederst til høyre). BPST instanton er en klassisk instanton -løsning på Yang - Mills -ligningene på R ⁴ .

En instanton (eller pseudopartikkel ) er en forestilling som dukker opp i teoretisk og matematisk fysikk . En instanton er en klassisk løsning på bevegelsesligninger med en begrenset , ikke-null handling , enten i kvantemekanikk eller i kvantefeltteori . Mer presist er det en løsning på bevegelsesligningene for den klassiske feltteorien på en euklidisk romtid .

I slike kvanteteorier kan løsninger på bevegelsesligninger betraktes som kritiske punkter i handlingen . Handlingens kritiske punkter kan være lokale maksima for handlingen, lokale minima eller sadelpunkter . Instantons er viktige i kvantefeltteori fordi:

• de fremstår i banen integral som de ledende kvantekorreksjonene til den klassiske oppførselen til et system, og
• de kan brukes til å studere tunneleringsatferden i forskjellige systemer, for eksempel en Yang - Mills -teori .

Relevant for dynamikk , tillater instantons -familier å gjensidig relatere instantonene, det vil si forskjellige kritiske punkter i bevegelsesligningen. I fysikk er instantons spesielt viktige fordi kondensering av instantons (og støyinduserte anti-instantons) antas å være forklaringen på den støyinduserte kaotiske fasen kjent som selvorganisert kritikk .

Matematikk

Matematisk er en Yang-Mills instanton en selv-dobbel eller anti-selv-dobbel forbindelse i en hovedbunt over et firdimensjonalt Riemannian-mangfold som spiller rollen som fysisk rom-tid i ikke-abelsk målingsteori . Instantons er topologisk utrivelige løsninger av Yang - Mills -ligninger som absolutt minimerer energifunksjonen innenfor deres topologiske type. De første slike løsningene ble oppdaget i tilfelle av fire-dimensjonalt euklidisk rom komprimert til den fire-dimensjonale sfæren , og viste seg å være lokalisert i romtid, noe som førte til navnene pseudopartikkel og instanton .

Yang - Mills instantons er eksplisitt konstruert i mange tilfeller ved hjelp av twistor -teori , som relaterer dem til algebraiske vektorbunter på algebraiske overflater , og via ADHM -konstruksjonen , eller hyperkähler -reduksjon (se hyperkähler -manifold ), en sofistikert lineær algebraprosedyre . Det banebrytende arbeidet til Simon Donaldson , som han senere ble tildelt Fields-medaljen for , brukte modulens plass av instantons over en gitt fire-dimensjonal differensierbar manifold som en ny invariant av manifolden som avhenger av dens differensierbare struktur og anvendte den på konstruksjonen av homeomorfe, men ikke diffeomorfe fire-manifolder. Mange metoder utviklet for å studere instantons har også blitt brukt på monopoler . Dette er fordi magnetiske monopoler oppstår som løsninger for en dimensjonsreduksjon av Yang - Mills -ligningene.

Kvantemekanikk

Et instanton kan brukes til å beregne overgangssannsynligheten for en kvantemekanisk partikkeltunnel gjennom en potensiell barriere. Ett eksempel på et system med en instanton- effekt er en partikkel i et potensial med dobbel brønn . I motsetning til en klassisk partikkel er det ikke sannsynlig at den krysser et område med potensiell energi som er høyere enn sin egen energi.

Motivasjon til å vurdere instantons

Tenk på kvantemekanikken til en enkelt partikkelbevegelse inne i dobbeltbrønnpotensialet Den potensielle energien tar sin minimale verdi på , og disse kalles klassiske minima fordi partikkelen har en tendens til å ligge i en av dem i den klassiske mekanikken. Det er to laveste energitilstander i den klassiske mekanikken. ${\ displaystyle V (x) = {1 \ over 4} (x^{2} -1)^{2}.}$${\ displaystyle x = \ pm 1}$

I kvantemekanikk løser vi Schrödinger -ligningen

${\ displaystyle -{\ hbar ^{2} \ over 2m} {\ partiell ^{2} \ over \ delvis x ^{2}} \ psi +V (x) \ psi (x) = E \ psi (x ),}$

å identifisere energiens egenstater. Hvis vi gjør dette, finner vi bare den unike laveste energitilstanden i stedet for to tilstander. Grunntilstandsbølgefunksjonen lokaliserer seg ved begge de klassiske minima i stedet for bare en av dem på grunn av kvanteforstyrrelser eller kvantetunnel. ${\ displaystyle x = \ pm 1}$

Instantons er verktøyet for å forstå hvorfor dette skjer innenfor den semiklassiske tilnærmingen til den stiintegrerte formuleringen i euklidisk tid. Vi vil først se dette ved å bruke WKB -tilnærmingen som omtrent beregner selve bølgefunksjonen, og vil gå videre for å introdusere instantons ved å bruke banenintegralformuleringen.

Tilnærming til WKB

En måte å beregne denne sannsynligheten på er ved hjelp av den semiklassiske WKB-tilnærmingen , som krever at verdien er liten. Den tidsuavhengige Schrödinger -ligningen for partikkelen leser ${\ displaystyle \ hbar}$

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} \ psi} {dx^{2}}} = {\ frac {2m (V (x) -E)} {\ hbar^{2}}} \ psi. }$

Hvis potensialet var konstant, ville løsningen være en plan bølge, opp til en proporsjonalitetsfaktor,

${\ displaystyle \ psi = \ exp (-\ mathrm {i} kx) \,}$

med

${\ displaystyle k = {\ frac {\ sqrt {2m (EV)}} {\ hbar}}.}$

Dette betyr at hvis energien til partikkelen er mindre enn den potensielle energien, får man en eksponensielt avtagende funksjon. Den tilhørende tunneleringsamplituden er proporsjonal med

${\ displaystyle e^{-{\ frac {1} {\ hbar}} \ int _ {a}^{b} {\ sqrt {2m (V (x) -E)}} \, dx},}$

hvor a og b er begynnelsen og endepunktet for tunnelingbanen.

Baneintegral tolkning via instantons

Alternativt kan bruken av baneintegralene tillater en Inst tolkning og det samme resultat kan oppnås med denne fremgangsmåten. I stiintegralformulering kan overgangsamplituden uttrykkes som

${\ displaystyle K (a, b; t) = \ langle x = a | e^{-{\ frac {i \ mathbb {H} t} {\ hbar}}} | x = b \ rangle = \ int d [x (t)] e^{\ frac {iS [x (t)]} {\ hbar}}.}$

Etter prosessen med Wick -rotasjon (analytisk fortsettelse) til euklidisk romtid ( ), får man ${\ displaystyle it \ rightarrow \ tau}$

${\ displaystyle K_ {E} (a, b; \ tau) = \ langle x = a | e^{-{\ frac {\ mathbb {H} \ tau} {\ hbar}}} | x = b \ rangle = \ int d [x (\ tau)] e^{-{\ frac {S_ {E} [x (\ tau)]} {\ hbar}}},}$

med den euklidiske handlingen

${\ displaystyle S_ {E} = \ int _ {\ tau _ {a}}^{\ tau _ {b}} \ venstre ({\ frac {1} {2}} m \ venstre ({\ frac {dx } {d \ tau}} \ høyre)^{2}+V (x) \ høyre) d \ tau.}$

De potensielle energiforandringene tegnes under Wick -rotasjonen og minima omdannes til maksima, og viser derved to "åser" med maksimal energi. ${\ displaystyle V (x) \ rightarrow -V (x)}$${\ displaystyle V (x)}$

La oss nå vurdere det lokale minimumet for den euklidiske handlingen med dobbeltbrønnpotensialet , og vi bestemte oss for enkel beregning. Siden vi vil vite hvordan de to klassisk laveste energitilstandene er forbundet, la oss sette og . For og , vi kan skrive om den euklidiske handlingen som ${\ displaystyle S_ {E}}$${\ displaystyle V (x) = {1 \ over 4} (x^{2} -1)^{2}}$${\ displaystyle m = 1}$${\ displaystyle x = \ pm 1}$${\ displaystyle a = -1}$${\ displaystyle b = 1}$${\ displaystyle a = -1}$${\ displaystyle b = 1}$

${\ displaystyle S_ {E} = \ int _ {\ tau _ {a}}^{\ tau _ {b}} d \ tau {1 \ over 2} \ venstre ({dx \ over d \ tau}-{ \ sqrt {2V (x)}} \ right)^{2}+{\ sqrt {2}} \ int _ {\ tau _ {a}}^{\ tau _ {b}} d \ tau {dx \ over d \ tau} {\ sqrt {V (x)}}}$

${\ displaystyle \ quad = \ int _ {\ tau _ {a}}^{\ tau _ {b}} d \ tau {1 \ over 2} \ venstre ({dx \ over d \ tau}-{\ sqrt {2V (x)}} \ høyre)^{2}+\ int _ {-1}^{1} dx {1 \ over {\ sqrt {2}}} (1-x^{2}).}$

${\ displaystyle \ quad \ geq {2 {\ sqrt {2}} \ over 3}.}$

Ovennevnte ulikhet er mettet av løsningen av med tilstanden og . Slike løsninger finnes, og løsningen tar den enkle formen når og . Den eksplisitte formelen for instanton -løsningen er gitt av ${\ displaystyle {dx \ over d \ tau} = {\ sqrt {2V (x)}}}$${\ displaystyle x (\ tau _ {a}) =-1}$${\ displaystyle x (\ tau _ {b}) = 1}$${\ displaystyle \ tau _ {a} =-\ infty}$${\ displaystyle \ tau _ {b} = \ infty}$

${\ displaystyle x (\ tau) = \ tanh \ left ({1 \ over {\ sqrt {2}}} (\ tau -\ tau _ {0}) \ right).}$

Her er en vilkårlig konstant. Siden denne løsningen hopper fra ett klassisk vakuum til et annet klassisk vakuum øyeblikkelig rundt , kalles det en instanton. ${\ displaystyle \ tau _ {0}}$${\ displaystyle x = -1}$${\ displaystyle x = 1}$${\ displaystyle \ tau = \ tau _ {0}}$

Eksplisitt formel for potensial med dobbel brønn

Den eksplisitte formelen for egenenergier til Schrödinger-ligningen med dobbeltbrønnspotensial har blitt gitt av Müller-Kirsten med avledning av både en forstyrrelsesmetode (pluss grensebetingelser) brukt på Schrödinger-ligningen, og eksplisitt avledning fra banenintegralet (og WKB ). Resultatet er følgende. Definere parametere for Schrödinger -ligningen og potensialet ved ligningene

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} y (z)} {dz^{2}}}+[EV (z)] y (z) = 0,}$

og

${\ displaystyle V (z) =-{\ frac {1} {4}} z^{2} h^{4}+{\ frac {1} {2}} c^{2} z^{4} , \; \; \; c^{2}> 0, \; h^{4}> 0,}$

Egenverdiene for er funnet å være: ${\ displaystyle q_ {0} = 1,3,5, ...}$

${\ displaystyle E _ {\ pm} (q_ {0}, h^{2}) =-{\ frac {h^{8}} {2^{5} c^{2}}}+{\ frac { 1} {\ sqrt {2}}} q_ {0} h^{2}-{\ frac {c^{2} (3q_ {0}^{2} +1)} {2h^{4}}} -{\ frac {{\ sqrt {2}} c^{4} q_ {0}} {8h^{10}}} (17q_ {0}^{2} +19)+O ({\ frac {1 } {h^{16}}})}$

${\ displaystyle \ mp {\ frac {2^{q_ {0} +1} h^{2} (h^{6}/2c^{2})^{q_ {0}/2}} {{\ sqrt {\ pi}} 2^{q_ {0}/4} [(q_ {0} -1)/2]!}} e^{-h^{6}/6 {\ sqrt {2}} c ^{2}}.}$

Disse egenverdiene degenererer tydeligvis asymptotisk ( ) som forventet som en konsekvens av den harmoniske delen av potensialet. ${\ displaystyle h^{2} \ rightarrow \ infty}$

Resultater

Resultater oppnådd fra det matematisk veldefinerte euklidiske banen integral kan være Wick-rotert tilbake og gi de samme fysiske resultatene som ville oppnås ved passende behandling av (potensielt divergerende) Minkowskian path integral. Som det fremgår av dette eksemplet, tilsvarer beregning av overgangssannsynligheten for partikkelen til tunnelen gjennom et klassisk forbudt område ( ) med Minkowskian path -integralet å beregne overgangssannsynligheten for tunnel gjennom et klassisk tillatt område (med potensial - V ( X ) ) i den euklidiske banen integral (billedlig sett-i det euklidiske bildet-tilsvarer denne overgangen en partikkel som ruller fra den ene bakken med et dobbeltbrønnpotensial som står på hodet til den andre bakken). Denne klassiske løsningen av de euklidiske bevegelsesligningene kalles ofte "kink -løsning" og er et eksempel på en instanton . I dette eksemplet blir de to "vacua" (dvs. bakketilstandene) til potensialet med dobbel brønn til åser i den euklideaniserte versjonen av problemet. ${\ displaystyle V (x)}$

Dermed lar instanton-feltløsningen av (euklidisk, dvs. med imaginær tid) (1 + 1) -dimensjonal feltteori-først kvantisert kvantemekanisk beskrivelse-tolkes som en tunneleffekt mellom de to vakua (grunntilstander-høyere tilstander krever periodiske instantons) av det fysiske (1-dimensjonale rommet + sanntid) Minkowskian-systemet. I tilfelle av potensialet med dobbel brønn skrevet

${\ displaystyle V (\ phi) = {\ frac {m^{4}} {2g^{2}}} \ venstre (1-{\ frac {g^{2} \ phi^{2}} {m ^{2}}} \ høyre)^{2}}$

instanton, dvs. løsning av

${\ displaystyle {\ frac {d ^{2} \ phi} {d \ tau ^{2}}} = V '(\ phi),}$

(dvs. med energi ), er ${\ displaystyle E_ {cl} = 0}$

${\ displaystyle \ phi _ {c} (\ tau) = {\ frac {m} {g}} \ tanh \ venstre [m (\ tau -\ tau _ {0}) \ høyre],}$

hvor er den euklidiske tiden. ${\ displaystyle \ tau = it}$

Legg merke til at en naiv forstyrrelsesteori rundt en av de to vacuaene alene (av Minkowskian-beskrivelsen) aldri ville vise denne ikke-forstyrrende tunneleffekten , noe som dramatisk ville endre bildet av vakuumstrukturen til dette kvantemekaniske systemet. Faktisk må den naive forstyrrelsesteorien suppleres med grensebetingelser, og disse gir den ikke -forstyrrende effekten, som det fremgår av den eksplisitte formelen ovenfor og analoge beregninger for andre potensialer som et cosinuspotensial (jf. Mathieu -funksjonen ) eller andre periodiske potensialer (jf. f.eks. Lamé -funksjon og sfæroidal bølgefunksjon ) og uansett om man bruker Schrödinger -ligningen eller banenintegralet .

Derfor kan det være at den perturbative tilnærmingen ikke fullstendig beskriver vakuumstrukturen til et fysisk system. Dette kan ha viktige konsekvenser, for eksempel i teorien om "aksjoner" der de ikke-trivielle QCD-vakuumeffektene (som instantonene ) ødelegger Peccei-Quinn-symmetrien eksplisitt og forvandler masseløse Nambu-Goldstone-bosoner til massive pseudo-Nambu-Goldstone de .

Periodiske instantons

I endimensjonal feltteori eller kvantemekanikk definerer man som `` instanton '' en feltkonfigurasjon som er en løsning på den klassiske (Newton-lignende) bevegelsesligningen med euklidisk tid og endelig euklidisk handling. I konteksten av soliton -teorien er den tilsvarende løsningen kjent som en knekk . I lys av deres analogi med oppførselen til klassiske partikler er slike konfigurasjoner eller løsninger, så vel som andre, samlet kjent som pseudopartikler eller pseudoklassiske konfigurasjoner. `` Instanton´´ (kink) -løsningen ledsages av en annen løsning kjent som `` anti-instanton´´ (anti-kink), og instanton og anti-instanton kjennetegnes med `` topologiske ladninger '' +1 og −1 henholdsvis, men har samme euklidiske handling.

`` Periodiske instantons´´ er en generalisering av instantons. I eksplisitt form er de uttrykkelige når det gjelder jakobiske elliptiske funksjoner som er periodiske funksjoner (effektivt generaliseringer av trigonometriske funksjoner). I grensen for uendelig periode reduseres disse periodiske instantonene - ofte kjent som `` bounces '', `` bobler´´ eller lignende - til instantons.

Stabiliteten til disse pseudoklassiske konfigurasjonene kan undersøkes ved å utvide lagrangianeren som definerer teorien rundt pseudopartikkelkonfigurasjonen og deretter undersøke ligningen av små svingninger rundt den. For alle versjoner av kvartspotensialer (dobbeltbrønn, invertert dobbeltbrønn) og periodisk (Mathieu) potensial ble disse ligningene oppdaget å være Lamé-ligninger, se Lamé-funksjoner . Egenverdiene til disse ligningene er kjente og tillater i tilfelle ustabilitet beregning av forfallshastigheter ved evaluering av banenintegralet.

Instantons i reaksjonshastighetsteorien

I konteksten av reaksjonshastighetsteorien brukes periodiske instantons for å beregne tunnelen av atomer i kjemiske reaksjoner. Fremgangen til en kjemisk reaksjon kan beskrives som bevegelsen av pseudopartikkel på en høydimensjonal potensiell energioverflate (PES). Den termiske hastighetskonstanten kan deretter relateres til den imaginære delen av den frie energien ved ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle k (\ beta) =-{\ frac {2} {\ hbar}} {\ text {Im}} \ mathrm {F} = {\ frac {2} {\ beta \ hbar}} {\ text {Im}} \ {\ text {ln}} (Z_ {k}) \ approx {\ frac {2} {\ hbar \ beta}} {\ frac {{\ text {Im}} Z_ {k}} { {\ text {Re}} Z_ {k}}}, \ \ {\ text {Re}} Z_ {k} \ gg {\ text {Im}} Z_ {k}}$

hvorved er den kanoniske partisjonsfunksjonen som beregnes ved å ta sporet av Boltzmann -operatøren i posisjonsrepresentasjonen. ${\ displaystyle Z_ {k}}$

${\ displaystyle Z_ {k} = {\ text {Tr}} (e^{-\ beta {\ hat {H}}}) = \ int d \ mathbf {x} \ left \ langle \ mathbf {x} \ venstre | e^{-\ beta {\ hat {H}}} \ høyre | \ mathbf {x} \ høyre \ rangle}$

Ved å bruke en vekerotasjon og identifisere den euklidiske tiden med en, oppnås en integrert sti -representasjon for partisjonsfunksjonen i masseveide koordinater ${\ displaystyle \ hbar \ beta = 1/(k_ {b} T)}$

${\ displaystyle Z_ {k} = \ oint {\ mathcal {D}} \ mathbf {x} (\ tau) e^{-S_ {E} [\ mathbf {x} (\ tau)]/\ hbar}, \ \ \ S_ {E} = \ int _ {0}^{\ beta \ hbar} \ venstre ({\ frac {\ dot {\ mathbf {x}}} {2}}^{2}+V (\ mathbf {x} (\ tau)) \ right) d \ tau}$

Banens integral tilnærmes deretter via en bratteste nedstigningsintegrasjon som bare tar hensyn til bidragene fra de klassiske løsningene og kvadratiske svingninger rundt dem. Dette gir for hastighetskonstant uttrykk i masseveide koordinater

${\ displaystyle k (\ beta) = {\ frac {2} {\ beta \ hbar}} \ left ({\ frac {{\ text {det}} \ left [-{\ frac {\ partial ^{2} } {\ partiell \ tau ^{2}}}+\ mathbf {V} '' (x _ {\ tekst {RS}} (\ tau)) \ høyre]} {{\ tekst {det}} \ venstre [- {\ frac {\ partiell ^{2}} {\ delvis \ tau ^{2}}}+\ mathbf {V} '' (x _ {\ tekst {Inst}} (\ tau)) \ høyre]}}} \ høyre)^{\ frac {1} {2}} {\ exp \ left ({\ frac {-S_ {E} [x _ {\ text {inst}} (\ tau)+S_ {E} [x _ {\ tekst {RS}} (\ tau)]} {\ hbar}} \ høyre)}}$

hvor er en periodisk instanton og er den trivielle løsningen av pseudopartikkelen i hvile som representerer reaktanttilstandskonfigurasjonen. ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {\ text {Inst}}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {\ text {RS}}}$

Invertert formel med dobbelt brønn

Når det gjelder dobbeltbrønnspotensialet, kan man utlede egenverdiene for det inverterte dobbeltbrønnpotensialet. I dette tilfellet er imidlertid egenverdiene komplekse. Definere parametere ved ligningene

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} y} {dz^{2}}}+[EV (z)] y (z) = 0, \; \; \; V (z) = {\ frac {1} {4}} h^{4} z^{2}-{\ frac {1} {2}} c^{2} z^{4},}$

egenverdiene som gitt av Müller-Kirsten er, for ${\ displaystyle q_ {0} = 1,3,5, ...,}$

${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} q_ {0} h^{2}-{\ frac {3c^{2}} {4h^{4}}} (q_ {0}^{ 2} +1)-{\ frac {q_ {0} c^{4}} {h^{10}}} (4q_ {0}^{2} +29)+O ({\ frac {1} { h^{16}}}) \ pm i {\ frac {2^{q_ {0}} h^{2} (h^{6}/2c^{2})^{q_ {0}/2} } {(2 \ pi)^{1/2} [(q_ {0} -1)/2]!}} E^{-h^{6}/6c^{2}}.}$

Den imaginære delen av dette uttrykket stemmer overens med det velkjente resultatet av Bender og Wu. I notasjonen deres${\ displaystyle \ hbar = 1, q_ {0} = 2K+1, h^{6}/2c^{2} = \ epsilon.}$

Kvantfeltteori

Hypersphere ${\ displaystyle S^{3}}$
Hypersphere stereografisk projeksjon Paralleller (rød), meridianer (blå) og hypermeridianer (grønn).

Ved å studere Quantum Field Theory (QFT) kan vakuumstrukturen til en teori trekke oppmerksomhet til instantons. Akkurat som et kvantemekanisk system med dobbel brønn illustrerer, er et naivt vakuum kanskje ikke det sanne vakuumet til en feltteori. Videre kan det sanne vakuumet til en feltteori være et "overlapp" av flere topologisk ulikverdige sektorer, såkalt " topologisk vacua ".

Et godt forstått og illustrerende eksempel på en instanton og dens tolkning kan bli funnet i sammenheng med en QFT med en ikke-abelsk målemetode , en Yang-Mills-teori . For en Yang-Mills-teori kan disse inekvivalente sektorene (i en passende måler) klassifiseres av den tredje homotopigruppen til SU (2) (hvis gruppefordeling er 3-sfæren ). Et visst topologisk vakuum (en "sektor" av det sanne vakuumet) er merket med en uendret transformasjon , Pontryagin -indeksen . Siden den tredje homotopigruppen av har blitt funnet å være settet med heltall , ${\ displaystyle S^{3}}$${\ displaystyle S^{3}}$

${\ displaystyle \ pi _ {3}}$${\ displaystyle (S^{3}) =}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} \,}$

Det er uendelig mange topologisk ulige vacua, betegnet med , hvor er deres tilsvarende Pontryagin -indeks. En instanton er en feltkonfigurasjon som oppfyller de klassiske bevegelsesligningene i den euklidiske romtiden, som tolkes som en tunneleffekt mellom disse forskjellige topologiske vakua. Det blir igjen merkes med et helt antall, dens Pontryagin indeks, . Man kan tenke seg et instanton med indeks for å kvantifisere tunneling mellom topologisk vacua og . Hvis Q = 1, heter konfigurasjonen BPST instanton etter oppdagerne Alexander Belavin , Alexander Polyakov , Albert S. Schwarz og Yu. S. Tyupkin . Teoriens sanne vakuum er merket med en "vinkel" theta og er en overlapping av de topologiske sektorene: ${\ displaystyle | N \ rangle}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle | N \ rangle}$${\ displaystyle | N+Q \ rangle}$

${\ displaystyle | \ theta \ rangle = \ sum _ {N =-\ infty}^{N =+\ infty} e^{i \ theta N} | N \ rangle.}$

Gerard 't Hooft utførte først feltteoretisk beregning av effektene av BPST -instanton i en teori koblet til fermioner i [1] . Han viste at null moduser for Dirac-ligningen i instanton-bakgrunnen fører til en ikke-forstyrrende multi-fermion-interaksjon i den lavenergieffektive handlingen.

Yang - Mills teori

Den klassiske Yang - Mills -handlingen på en hovedbunt med strukturgruppe G , base M , forbindelse A og krumning (Yang - Mills field tensor) F er

${\ displaystyle S_ {YM} = \ int _ {M} \ venstre | F \ høyre |^{2} d \ mathrm {vol} _ {M},}$

hvor er volumformen på . Dersom det indre produkt på , den Lie algebra av i hvilken tar verdier, er gitt ved den Killing skjema på , da dette kan betegnes som , ettersom ${\ displaystyle d \ mathrm {vol} _ {M}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ int _ {M} \ mathrm {Tr} (F \ kile *F)}$

${\ displaystyle F \ wedge *F = \ langle F, F \ rangle d \ mathrm {vol} _ {M}.}$

For eksempel, for målergruppen U (1) , vil F være den elektromagnetiske feltensoren . Fra prinsippet om stasjonær handling følger Yang - Mills -ligningene. De er

${\ displaystyle \ mathrm {d} F = 0, \ quad \ mathrm {d} {*F} = 0.}$

Den første av disse er en identitet, fordi d F = d ² A = 0, men den andre er en andreordens delvis differensialligning for forbindelsen A , og hvis Minkowski-strømvektoren ikke forsvinner, null på rhs. av den andre ligningen erstattes av . Men legg merke til hvor like disse ligningene er; de skiller seg ut med en Hodge -stjerne . Dermed en løsning på den enklere første ordens (ikke-lineære) ligning ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$

${\ displaystyle {*F} = \ pm F \,}$

er automatisk også en løsning av Yang - Mills -ligningen. Denne forenklingen skjer på 4 manifolder med: slik at på 2-former. Slike løsninger eksisterer vanligvis, selv om deres presise karakter avhenger av dimensjonen og topologien til grunnrommet M, hovedpakken P og målergruppen G. ${\ displaystyle s = 1}$${\ displaystyle *^{2} =+1}$

I nonabelian Yang - Mills teorier, og hvor D er det ytre kovariante derivatet . Videre Bianchi -identiteten${\ displaystyle DF = 0}$${\ displaystyle D*F = 0}$

${\ displaystyle DF = dF+A \ kile FF \ kile A = d (dA+A \ kile A)+A \ kile (dA+A \ kile A)-(dA+A \ kile A) \ kile A = 0 }$

er fornøyd.

I kvantefeltteori er en instanton en topologisk ikke- triviell feltkonfigurasjon i fire-dimensjonalt euklidisk rom (betraktet som Wick-rotasjonen i Minkowski romtid ). Nærmere bestemt refererer det til et Yang - Mills målerfelt A som nærmer seg ren måler ved romlig uendelig . Dette betyr feltstyrken

${\ displaystyle \ mathbf {F} = d \ mathbf {A} +\ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A}}$

forsvinner i det uendelige. Navnet instanton stammer fra det faktum at disse feltene er lokalisert i rom og (euklidisk) tid - med andre ord på et bestemt øyeblikk.

Tilfellet med instantons på to-dimensjonale rommet kan være lettere å visualisere fordi denne slipper frem det enkleste tilfellet av kalibergruppe , nemlig U (1), som er en abelsk gruppe . I dette tilfellet kan feltet A visualiseres som et vektorfelt . En instanton er en konfigurasjon der pilene for eksempel peker vekk fra et sentralt punkt (dvs. en "pinnsvin" -tilstand). I euklidske fire dimensjoner , , abelske instantons er umulig. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{4}}$

Feltkonfigurasjonen til et instanton er veldig forskjellig fra vakuumets . På grunn av dette kan øyeblikkene ikke studeres ved å bruke Feynman -diagrammer , som bare inkluderer forstyrrende effekter. Instantons er grunnleggende ikke-forstyrrende .

Yang - Mills energien er gitt av

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^{4}} \ operatorname {Tr} [*\ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {F}]}$

der ∗ er Hodge dual . Hvis vi insisterer på at løsningene til Yang - Mills -ligningene har begrenset energi , må løsningens krumning ved uendelig (tatt som en grense ) være null. Dette betyr at Chern-Simons invarianten kan defineres ved grensen på 3 rom. Dette tilsvarer, via Stokes 'teorem , å ta integralet

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^{4}} \ operatorname {Tr} [\ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {F}].}$

Dette er en homotopi -invariant, og den forteller oss hvilken homotopiklasse instanton tilhører.

Siden integralen til en ikke -negativ integrand alltid er ikke -negativ,

${\ displaystyle 0 \ leq {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^{4}} \ operatorname {Tr} [(*\ mathbf {F} +e ^{-i \ theta} \ mathbf {F}) \ wedge (\ mathbf {F} +e ^{i \ theta}*\ mathbf {F})] = \ int _ {\ mathbb {R} ^{4}} \ operatorname { Tr} [*\ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {F} +\ cos \ theta \ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {F}]}$

for all real θ. Så, dette betyr

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^{4}} \ operatorname {Tr} [*\ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {F}] \ geq { \ frac {1} {2}} \ left | \ int _ {\ mathbb {R} ^{4}} \ operatorname {Tr} [\ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {F}] \ right |.}$

Hvis denne grensen er mettet, er løsningen en BPS -tilstand. For slike tilstander, enten ∗ F = F eller ∗ F = - F avhengig av tegnet på homotopi -invarianten .

I standardmodellen er instantons til stede både i den elektriske svake sektoren og den kromodynamiske sektoren. Instanton-effekter er viktige for å forstå dannelsen av kondensater i vakuumet for kvantekromodynamikk (QCD) og for å forklare massen av den såkalte 'eta-prime-partikkelen', et Goldstone-boson som har oppnådd masse gjennom den aksiale strømavviket til QCD. Legg merke til at det noen ganger også er en tilsvarende soliton i en teori med en ekstra romdimensjon. Nyere forskning på instantons knytter dem til emner som D-branes og sorte hull og selvfølgelig vakuumstrukturen til QCD. For eksempel, i orienterte strengteorier , er en Dp-brane en målingsteori instanton i verdens volum ( p  + 5) -dimensjonal U ( N ) gauge-teori på en stabel N D ( p  + 4) -braner.

Ulike dimensjoner

Instantons spiller en sentral rolle i den ikke -forstyrrende dynamikken i målingsteorier. Den form for fysisk eksitasjon som gir et momenton avhenger av antall dimensjoner i romtiden, men overraskende nok er formalismen for å håndtere disse instantonene relativt dimensjonsuavhengig.

I 4-dimensjonale gauge-teorier, som beskrevet i forrige seksjon, er instantons gauge-bunter med en ikke - tradisjonell fire-form karakteristisk klasse . Hvis målesymmetrien er en enhetsgruppe eller spesiell enhetsgruppe, så er denne karakteristiske klassen den andre Tsjern -klassen , som forsvinner i tilfelle av målergruppen U (1). Hvis målersymmetrien er en ortogonal gruppe, er denne klassen den første Pontrjagin -klassen .

I 3-dimensjonale gaugeteorier med Higgs felt , 't Hooft-Polyakov enpoler spille rollen som instantons. I sin 1,977 papir kvark Innesperring og Topology av Gauge grupper , Alexander Polyakov vist at INST effekter i 3-dimensjonale QED koplet til et skalarfelt som fører til en masse for foton .

I todimensjonale abelske måtteteorier er verdensark instantons magnetiske virvler . De er ansvarlige for mange ikke -forstyrrende effekter innen strengteori, og spiller en sentral rolle i speilsymmetri .

I 1-dimensjonal kvantemekanikk beskriver instantoner tunneling , som er usynlig i forstyrrelsesteorien.

4d supersymmetriske måle teorier

Supersymmetriske gauge -teorier følger ofte teorier om ikke -normalisering , noe som begrenser typer kvantekorreksjoner som er tillatt. Mange av disse teoremene gjelder bare korreksjoner som kan beregnes i forstyrrelsesteorien, og instantons, som ikke sees i forstyrrelsesteorien, gir de eneste korreksjonene til disse størrelsene.

Feltteoretiske teknikker for umiddelbare beregninger i supersymmetriske teorier ble grundig studert på 1980 -tallet av flere forfattere. Fordi supersymmetri garanterer kansellering av fermioniske mot bosoniske ikke-null-moduser i instanton-bakgrunnen, reduseres den involverte t Hooft-beregningen av instanton-sadelpunktet til en integrasjon over null-moduser.

I N  = 1 supersymmetriske målingsteorier kan instantoner endre superpotensialet , noen ganger løfte alle vacua. I 1984 beregnet Ian Affleck , Michael Dine og Nathan Seiberg øyeblikkelige korreksjoner til superpotensialet i sitt papir Dynamical Supersymmetry Breaking in Supersymmetric QCD . Nærmere bestemt, de var bare i stand til å utføre beregningen når teorien inneholder en mindre smak av kiral materie enn antall farger i den spesielle enhetsmålergruppen, fordi i nærvær av færre smaker fører en ubrutt ikke -libellisk målesymmetri til en infrarød divergens og ved flere smaker er bidraget lik null. For dette spesielle valget av kiral materie, kan vakuumforventningsverdiene for materielle skalarfeltene velges for å fullstendig bryte målesymmetrien ved svak kobling, slik at en pålitelig semiklassisk sadelpunktberegning kan fortsette. Da de vurderte forstyrrelser med forskjellige masseord, var de i stand til å beregne superpotensialet i nærvær av vilkårlig antall farger og smaker, gyldig selv når teorien ikke lenger er svakt koblet.

I N  = 2 supersymmetriske gauge -teorier mottar superpotensialet ingen kvantekorreksjoner. Imidlertid ble korreksjonen til metriket for modulrommet til vacua fra instantons beregnet i en serie papirer. Først ble den ene instanton -korreksjonen beregnet av Nathan Seiberg i Supersymmetry og Nonperturbative beta -funksjoner . Hele settet med korreksjoner for SU (2) Yang - Mills -teorien ble beregnet av Nathan Seiberg og Edward Witten i " Elektrisk - magnetisk dualitet, monopolkondensering og innesperring i N = 2 supersymmetrisk Yang - Mills -teori ," i prosessen med å lage en emne som i dag er kjent som Seiberg - Witten -teorien . De utvidet beregningen til SU (2) målingsteorier med grunnleggende materie i monopoler, dualitet og kiral symmetri som bryter i N = 2 supersymmetrisk QCD . Disse resultatene ble senere utvidet for forskjellige målergrupper og materieinnhold, og direkte gauge -teoriverkningen ble også oppnådd i de fleste tilfeller. For målingsteorier med målergruppe U (N) har Seiberg-Witten-geometrien blitt avledet fra målingsteori ved bruk av Nekrasov-partisjonsfunksjoner i 2003 av Nikita Nekrasov og Andrei Okounkov og uavhengig av Hiraku Nakajima og Kota Yoshioka .

I N  = 4 supersymmetriske gauge -teorier fører instantonene ikke til kvantekorreksjoner for metriken på modula -rommet til vacua.

Se også

• Instanton væske
• Caloron
• Sidney Coleman  - amerikansk fysiker
• Holstein – Sild metode
• Gravitasjonell instanton  -Fire-dimensjonal komplett Riemannian manifold som tilfredsstiller vakuum Einstein-ligningene
• Semiklassisk overgangstilstandsteori
• Yang-Mills ligninger
• Målteori (matematikk)

Referanser og notater

Merknader

Sitater

Generell

• Instantons in Gauge Theories , en samling av artikler om instantons, redigert av Mikhail A. Shifman , doi : 10.1142/2281
• Solitons and Instantons , R. Rajaraman (Amsterdam: Nord-Holland, 1987), ISBN  0-444-87047-4
• The Uses of Instantons , av Sidney Coleman i Proc. Int. School of Subnuclear Physics , (Erice, 1977); og i Aspekter av symmetri s. 265, Sidney Coleman, Cambridge University Press, 1985, ISBN  0-521-31827-0 ; og i Instantons in Gauge Theories
• Solitons, Instantons og Twistors . M. Dunajski, Oxford University Press. ISBN  978-0-19-857063-9 .
• The Geometry of Four-Manifolds , SK Donaldson, PB Kronheimer, Oxford University Press, 1990, ISBN  0-19-853553-8 .

Eksterne linker

• Ordbokdefinisjonen av instanton i Wiktionary