BBGKY hierarki - BBGKY hierarchy

I statistisk fysikk er BBGKY-hierarkiet ( Bogoliubov – Født – Grønt – Kirkwood – Yvon-hierarki , noen ganger kalt Bogoliubov-hierarki ) et sett med ligninger som beskriver dynamikken i et system med et stort antall interagerende partikler. Ligningen for en s -partikkel -fordelingsfunksjonen (sannsynlighetstetthetsfunksjon) i den BBGKY hierarkiet omfatter ( s  + 1) -partikkel fordelingsfunksjon, for således å danne en kombinert kjede av ligninger. Dette formelle teoretiske resultatet er oppkalt etter Nikolay Bogolyubov , Max Born , Herbert S. Green , John Gamble Kirkwood og Jacques Yvon .

Formulering

Utviklingen av et N- partikelsystem i fravær av kvantesvingninger er gitt av Liouville-ligningen for sannsynlighetsdensitetsfunksjonen i 6 N- dimensjonalt fasarom (3 rom og 3 momentumkoordinater per partikkel) ${\ displaystyle f_ {N} = f_ {N} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {N}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {N}, t)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {\ mathbf {p} _ {i}} {m} } {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {i} {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial \ mathbf {p} _ {i}}} = 0,}$

hvor er koordinatene og momentet for -th partikkel med masse , og nettokraften som virker på -th partikkel er ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {i}, \ mathbf {p} _ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} = - \ sum _ {j = 1 \ neq i} ^ {N} {\ frac {\ partial \ Phi _ {ij}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} - {\ frac {\ partial \ Phi _ {i} ^ {\ text {ext}}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}},}$

hvor er parpotensialet for interaksjon mellom partikler, og er det ytre feltpotensialet. Ved integrering over en del av variablene, kan Liouville-ligningen transformeres til en ligningskjede der den første ligningen forbinder utviklingen av en-partikkel sannsynlighets tetthetsfunksjon med to-partikkel sannsynlighets tetthetsfunksjon, andre ligning forbinder to-partikkel sannsynlighet tetthetsfunksjon med trepartikkels sannsynlighetsdensitetsfunksjon , og generelt forbinder s -te ligning s -partikkel sannsynlighetsdensitetsfunksjon ${\ displaystyle \ Phi _ {ij} (\ mathbf {q} _ {i}, \ mathbf {q} _ {j})}$${\ displaystyle \ Phi ^ {\ text {ext}} (\ mathbf {q} _ {i})}$

${\ displaystyle f_ {s} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {s}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {s}, t) = \ int f_ {N} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {N}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {N }, t) \, d \ mathbf {q} _ {s + 1} \ prikker d \ mathbf {q} _ {N} \, d \ mathbf {p} _ {s + 1} \ prikker d \ mathbf { p} _ {N}}$

med ( s  + 1) -partikkels sannsynlighetstetthetsfunksjon:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {s}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {s} {\ frac {\ mathbf {p} _ {i}} {m} } {\ frac {\ partial f_ {s}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} - \ sum _ {i = 1} ^ {s} \ left (\ sum _ {j = 1 \) neq i} ^ {s} {\ frac {\ partial \ Phi _ {ij}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} + {\ frac {\ partial \ Phi _ {i} ^ {ext }} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} \ right) {\ frac {\ partial f_ {s}} {\ partial \ mathbf {p} _ {i}}} = (Ns) \ sum _ {i = 1} ^ {s} \ int {\ frac {\ partial \ Phi _ {i \, s + 1}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} {\ frac {\ partial f_ {s + 1}} {\ partial \ mathbf {p} _ {i}}} \, d \ mathbf {q} _ {s + 1} \, d \ mathbf {p} _ {s + 1}. }$

Ligningen ovenfor for s- partikkelfordelingsfunksjon oppnås ved integrering av Liouville-ligningen over variablene . Problemet med ovenstående ligning er at den ikke er lukket. For å løse , må man vite , som igjen krever å løse og helt tilbake til den fullstendige Liouville-ligningen. Imidlertid kan man løse , hvis det kan modelleres. Et slikt tilfelle er Boltzmann-ligningen for , hvor er modellert basert på den molekylære kaoshypotesen ( Stosszahlansatz ). Faktisk er Boltzmann-ligningen kollisjonen integrert. Denne begrensende prosessen med å oppnå Boltzmann-ligning fra Liouville-ligning er kjent som Boltzmann – Grad-grense . ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {s + 1} \ dots \ mathbf {q} _ {N}, \ mathbf {p} _ {s + 1} \ dots \ mathbf {p} _ {N}}$${\ displaystyle f_ {s}}$${\ displaystyle f_ {s + 1}}$${\ displaystyle f_ {s + 2}}$${\ displaystyle f_ {s}}$${\ displaystyle f_ {s + 1}}$${\ displaystyle f_ {1} (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {p} _ {1}, t)}$${\ displaystyle f_ {2} (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {q} _ {2}, \ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {p} _ {2}, t) }$${\ displaystyle f_ {2} = f_ {2} (\ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {p_ {2}}, t)}$

Fysisk tolkning og anvendelser

Skjematisk gir Liouville-ligningen oss tidsutviklingen for hele- partikelsystemet i formen , som uttrykker en ukomprimerbar strøm av sannsynlighetstettheten i faselokalet. Vi definerer deretter de reduserte fordelingsfunksjonene trinnvis ved å integrere en annen partikels frihetsgrader . En ligning i BBGKY-hierarkiet forteller oss at tidsutviklingen for en slik følgelig er gitt av en Liouville-lignende ligning, men med et korreksjonsuttrykk som representerer kraftpåvirkning av de undertrykte partiklene. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle Df_ {N} = 0}$${\ displaystyle f_ {s} \ sim \ int f_ {s + 1}}$${\ displaystyle f_ {s}}$${\ displaystyle Ns}$

${\ displaystyle Df_ {s} \ propto {\ text {div}} _ {\ mathbf {p}} \ langle {\ text {grad}} _ {\ mathbf {q}} \ Phi _ {i, s + 1 } \ rangle _ {f_ {s + 1}}.}$

Problemet med å løse BBGKY-hierarkiet av ligninger er like vanskelig som å løse den opprinnelige Liouville-ligningen, men tilnærminger for BBGKY-hierarkiet (som tillater avkorting av kjeden til et endelig ligningssystem) kan lett gjøres. Fordelen med disse ligningene er at de høyere fordelingsfunksjonene påvirker tidsutviklingen av bare implisitt via avkorting av BBGKY-kjeden, er et vanlig utgangspunkt for mange anvendelser av kinetisk teori som kan brukes til avledning av klassiske eller kvante kinetiske ligninger. Spesielt kan avkorting ved den første ligningen eller de to første ligningene brukes til å utlede klassiske og kvante Boltzmann-ligninger og korreksjoner i første orden til Boltzmann-ligningene. Andre tilnærminger, for eksempel antagelsen om at tetthetssannsynlighetsfunksjonen bare avhenger av den relative avstanden mellom partiklene eller antagelsen om det hydrodynamiske regimet, kan også gjøre BBGKY-kjeden tilgjengelig for løsning. ${\ displaystyle f_ {s + 2}, f_ {s + 3}, \ dots}$${\ displaystyle f_ {s}}$${\ displaystyle f_ {s + 1}.}$

Bibliografi

s- partikkelfordelingsfunksjoner ble introdusert i klassisk statistisk mekanikk av J. Yvon i 1935. BBGKY-hierarkiet av ligninger for s- partikkelfordelingsfunksjoner ble skrevet ut og anvendt på avledningen av kinetiske ligninger av Bogoliubov i artikkelen mottatt juli 1945 og utgitt i 1946 på russisk og på engelsk. Den kinetiske transportteorien ble vurdert av Kirkwood i artikkelen mottatt i oktober 1945 og publisert i mars 1946, og i de påfølgende artiklene. Den første artikkelen av Born and Green vurderte en generell kinetisk teori om væsker og ble mottatt i februar 1946 og publisert 31. desember 1946.

Se også

• Fokker – Planck ligning
• Vlasov-ligning

Referanser