Boltzmann ligning - Boltzmann equation

Plassen for Boltzmann kinetiske ligning på trappene for modellreduksjon fra mikroskopisk dynamikk til makroskopisk kontinuumdynamikk (illustrasjon til bokens innhold)

Den Boltzmanns ligning eller Boltzmanns transport ligning ( BTE ) beskriver den statistiske oppførsel av et termodynamisk system ikke er i en tilstand av likevekt , utviklet av Ludwig Boltzmann i 1872. klassisk eksempel på et slikt system er en væske med temperaturgradienter i rommet forårsaker varme til strømme fra varmere områder til kaldere, ved tilfeldig, men partisk transport av partiklene som utgjør den væsken. I den moderne litteraturen brukes begrepet Boltzmann -ligning ofte i en mer generell forstand, med henvisning til enhver kinetisk ligning som beskriver endringen av en makroskopisk mengde i et termodynamisk system, for eksempel energi, ladning eller partikkeltall.

Ligningen oppstår ikke ved å analysere de individuelle posisjonene og momentene for hver partikkel i væsken, men heller ved å vurdere en sannsynlighetsfordeling for posisjonen og momentumet til en typisk partikkel - det vil si sannsynligheten for at partikkelen opptar et gitt veldig lite område av rommet (matematisk volumelementet ) sentrert i posisjonen , og har momentum nesten lik en gitt momentvektor (opptar dermed et veldig lite område med momentum ), på et øyeblikk. ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^{3} {\ bf {r}}}$${\ displaystyle {\ bf {r}}}$${\ displaystyle {\ bf {p}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^{3} {\ bf {p}}}$

Boltzmann -ligningen kan brukes til å bestemme hvordan fysiske mengder endres, for eksempel varmeenergi og momentum , når en væske er i transport. Man kan også utlede andre egenskaper som er karakteristiske for væsker som viskositet , varmeledningsevne og elektrisk ledningsevne (ved å behandle ladningsbærerne i et materiale som en gass). Se også konveksjon -diffusjonsligning .

Ligningen er en ikke - lineær integro-differensial ligning , og den ukjente funksjonen i ligningen er en sannsynlighetstetthetsfunksjon i seksdimensjonalt rom i en partikkelposisjon og momentum. Eksistensproblemet og unike løsninger er fortsatt ikke helt løst, men noen nylige resultater er ganske lovende.

Oversikt

Faserommet og tetthetsfunksjonen

Settet av alle mulige posisjoner r og bevegelsesmengde p kalles faserommet i systemet; med andre ord et sett med tre koordinater for hver posisjonskoordinat x, y, z og tre til for hver momentkomponent p _x , p _y , p _z . Hele plassen er 6- dimensjonal : et punkt i dette rommet er ( r , p ) = ( x, y, z, p _x , p _y , p _z ), og hver koordinat er parameterisert etter tid t . Det lille volum ( "differential volumelement ") er skrevet

${\ displaystyle {\ text {d}}^{3} \ mathbf {r} \, {\ text {d}}^{3} \ mathbf {p} = {\ text {d}} x \, {\ tekst {d}} y \, {\ tekst {d}} z \, {\ tekst {d}} p_ {x} \, {\ tekst {d}} p_ {y} \, {\ tekst {d} } p_ {z}.}$

Siden sannsynligheten for N- molekyler som alle har r og p i er i tvil, er kjernen i ligningen en mengde f som gir denne sannsynligheten per enhet fase-rom-volum, eller sannsynlighet per lengdenhet kubert per enhet momentum kubert, ved et øyeblikk t . Dette er en sannsynlighetstetthetsfunksjon : f ( r , p , t ), definert slik at, ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^{3} {\ bf {r}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^{3} {\ bf {p}}}$

${\ displaystyle {\ text {d}} N = f (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t) \, {\ text {d}}^{3} \ mathbf {r} \, {\ tekst {d}}^{3} \ mathbf {p}}$

er antallet molekyler som alle har posisjoner som ligger innenfor et volumelement om r og bevegelsesmengde som ligger innenfor et moment plass element om p , ved tidspunktet t . Integrering over et område med posisjonsrom og momentum gir det totale antallet partikler som har posisjoner og moment i den regionen: ${\ displaystyle d^{3} {\ bf {r}}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} ^{3} {\ bf {p}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} N & = \ int \ limit _ {\ mathrm {momenta}} {\ text {d}}^{3} \ mathbf {p} \ int \ limit _ {\ mathrm {posisjoner} } {\ text {d}}^{3} \ mathbf {r} \, f (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t) \\ [5pt] & = \ iiint \ limit _ {\ mathrm {momenta}} \ quad \ iiint \ limit _ {\ mathrm {positions}} f (x, y, z, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z}, t) \, {\ text {d }} x \, {\ tekst {d}} y \, {\ tekst {d}} z \, {\ tekst {d}} p_ {x} \, {\ tekst {d}} p_ {y} \ , {\ text {d}} p_ {z} \ end {justert}}}$

som er en 6-delt integral . Mens f er forbundet med et antall partikler, er de faserommet i en partikkel (ikke alle av dem, noe som vanligvis er tilfellet med deter mange kroppssystemer), fordi bare ett r og p er aktuelle. Det er ikke en del av analysen til bruk r ₁ , p ₁ for partikkel 1, R ₂ , p ₂ for partikkel 2, etc. opp til r _N , s _N for partikkel N .

Det antas at partiklene i systemet er identiske (så hver har en identisk masse m ). For en blanding av mer enn én kjemisk art er det nødvendig med en fordeling for hver, se nedenfor.

Hoveduttalelse

Den generelle ligningen kan deretter skrives som

${\ displaystyle {\ frac {df} {dt}} = \ venstre ({\ frac {\ partiell f} {\ delvis t}} \ høyre) _ {\ tekst {kraft}}+\ venstre ({\ frac { \ delvis f} {\ delvis t}} \ høyre) _ {\ tekst {diff}}+\ venstre ({\ frac {\ delvis f} {\ delvis t}} \ høyre) _ {\ tekst {coll}} ,}$

der "kraft" -begrepet tilsvarer kreftene som utøves på partiklene ved en ekstern påvirkning (ikke av partiklene selv), representerer "diff" -begrepet diffusjon av partikler, og "coll" er kollisjonstermet - som står for kreftene virker mellom partikler i kollisjoner. Uttrykk for hvert begrep på høyre side er gitt nedenfor.

Vær oppmerksom på at noen forfattere bruker partikkelhastigheten v i stedet for momentum p ; de er beslektet i definisjonen av momentum av p = m v .

Kraft- og spredningsbetingelsene

Vurder partikler beskrevet av f , som hver opplever en ekstern kraft F som ikke skyldes andre partikler (se kollisjonsterm for sistnevnte behandling).

Anta at på et tidspunkt t noen partikler alle har posisjon r i elementet og momentum p innenfor . Hvis en kraft F umiddelbart virker på hver partikkel, vil tiden t + Δ t være posisjonen r + Δ r = og momentum p + Δ p = p + F Δ t . Så, i fravær av kollisjoner, må f tilfredsstille ${\ displaystyle d^{3} {\ bf {r}}}$${\ displaystyle d^{3} {\ bf {p}}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} +{\ frac {\ mathbf {p}} {m}} \, \ Delta t}$

${\ displaystyle f \ left (\ mathbf {r} +{\ frac {\ mathbf {p}} {m}} \, \ Delta t, \ mathbf {p} +\ mathbf {F} \, \ Delta t, t+\ Delta t \ right) \, d^{3} \ mathbf {r} \, d^{3} \ mathbf {p} = f (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t) \, d^{3} \ mathbf {r} \, d^{3} \ mathbf {p}}$

Legg merke til at vi har brukt det faktum at faseromsvolumelementet er konstant, noe som kan vises ved hjelp av Hamiltons ligninger (se diskusjonen under Liouvilles teorem ). Siden kollisjoner forekommer, endres imidlertid partikkeltettheten i fase-romvolumet , så det endres ${\ displaystyle d^{3} {\ bf {r}}}$ ${\ displaystyle d^{3} {\ bf {p}}}$${\ displaystyle d^{3} {\ bf {r}}}$ ${\ displaystyle d^{3} {\ bf {p}}}$

${\ displaystyle {\ begynne {justert} dN _ {\ mathrm {coll}} & = \ left ({\ frac {\ partiell f} {\ delvis t}} \ høyre) _ {\ mathrm {coll}} \ Delta td ^{3} \ mathbf {r} d^{3} \ mathbf {p} \\ [5pt] & = f \ left (\ mathbf {r} +{\ frac {\ mathbf {p}} {m}} \ Delta t, \ mathbf {p} +\ mathbf {F} \ Delta t, t +\ Delta t \ right) d^{3} \ mathbf {r} d^{3} \ mathbf {p} -f (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t) \, d^{3} \ mathbf {r} \, d^{3} \ mathbf {p} \\ [5pt] & = \ Delta f \, d ^{3} \ mathbf {r} \, d^{3} \ mathbf {p} \ end {justert}}}$

( 1 )

hvor Δ f er den totale endringen i f . Ved å dele ( 1 ) med  Δ t og ta grensene Δ t → 0 og Δ f → 0, har vi ${\ displaystyle d^{3} {\ bf {r}}}$ ${\ displaystyle d^{3} {\ bf {p}}}$

${\ displaystyle {\ frac {df} {dt}} = \ venstre ({\ frac {\ partiell f} {\ delvis t}} \ høyre) _ {\ mathrm {coll}}}$

( 2 )

Den totale differansen til f er:

${\ displaystyle {\ begynne {justert} df & = {\ frac {\ partiell f} {\ delvis t}} \, dt+\ venstre ({\ frac {\ delvis f} {\ delvis x}} \, dx+{\ frac {\ delvis f} {\ delvis y}} \, dy+{\ frac {\ delvis f} {\ delvis z}} \, dz \ høyre)+\ venstre ({\ frac {\ delvis f} {\ delvis p_ {x}}} \, dp_ {x}+{\ frac {\ delvis f} {\ delvis p_ {y}}} \, dp_ {y}+{\ frac {\ delvis f} {\ delvis p_ { z}}} \, dp_ {z} \ right) \\ [5pt] & = {\ frac {\ partiell f} {\ delvis t}} dt +\ nabla f \ cdot d \ mathbf {r} +{\ frac {\ delvis f} {\ delvis \ mathbf {p}}} \ cdot d \ mathbf {p} \\ [5pt] & = {\ frac {\ delvis f} {\ delvis t}} dt+\ nabla f \ cdot {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} dt+{\ frac {\ partiell f} {\ delvis \ mathbf {p}}} \ cdot \ mathbf {F} \, dt \ end {justert}}}$

( 3 )

hvor ∇ er gradientoperatoren , · er prikkproduktet ,

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell f} {\ delvis \ mathbf {p}}} = \ mathbf {\ hat {e}} _ {x} {\ frac {\ delvis f} {\ delvis p_ {x} }}+\ mathbf {\ hat {e}} _ {y} {\ frac {\ partiell f} {\ delvis p_ {y}}}+\ mathbf {\ hat {e}} _ {z} {\ frac {\ delvis f} {\ delvis p_ {z}}} = \ nabla _ {\ mathbf {p}} f}$

er en stenografi for momentanalogen til ∇, og ê _x , ê _y , ê _z er kartesiske enhetsvektorer .

Endelig uttalelse

Dele ( 3 ) med dt og erstatte i ( 2 ) gir:

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell f} {\ delvis t}}+{\ frac {\ mathbf {p}} {m}} \ cdot \ nabla f+\ mathbf {F} \ cdot {\ frac {\ partiell f} {\ partiell \ mathbf {p}}} = \ venstre ({\ frac {\ delvis f} {\ delvis t}} \ høyre) _ {\ mathrm {coll}}}$

I denne sammenhengen er F ( r , t ) kraftfeltet som virker på partiklene i væsken, og m er massen av partiklene. Begrepet på høyre side er lagt til for å beskrive effekten av kollisjoner mellom partikler; hvis det er null, kolliderer ikke partiklene. Den kollisjonsfrie Boltzmann-ligningen, hvor individuelle kollisjoner erstattes med aggregerte interaksjoner på lang avstand, f.eks. Coulomb-interaksjoner , kalles ofte Vlasov-ligningen .

Denne ligningen er mer nyttig enn den overstående, men likevel ufullstendig, siden f ikke kan løses med mindre kollisjonsbegrepet i f er kjent. Dette begrepet kan ikke bli funnet like enkelt eller generelt som de andre - det er et statistisk begrep som representerer partikkelkollisjonene, og krever kunnskap om statistikken som partiklene følger, som Maxwell - Boltzmann , Fermi - Dirac eller Bose - Einstein -distribusjonene.

Kollisjonsbegrepet (Stosszahlansatz) og molekylært kaos

Begrep med to kropper

En viktig innsikt anvendt av Boltzmann var å bestemme kollisjonsbegrepet som utelukkende skyldes tokroppskollisjoner mellom partikler som antas å være ukorrelerte før kollisjonen. Denne antagelsen ble omtalt av Boltzmann som " Stosszahlansatz " og er også kjent som " molekylær kaosantagelse ". Under denne antagelsen kan kollisjonsbegrepet skrives som en momentum-plass-integral over produktet av fordelingsfunksjoner med én partikkel:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partiell f} {\ delvis t}} \ høyre) _ {\ text {coll}} = \ iint gI (g, \ Omega) [f (\ mathbf {r}, \ mathbf {p '} _ {A}, t) f (\ mathbf {r}, \ mathbf {p'} _ {B}, t) -f (\ mathbf {r}, \ mathbf {p} _ { A}, t) f (\ mathbf {r}, \ mathbf {p} _ {B}, t)] \, d \ Omega \, d^{3} \ mathbf {p} _ {A} \, d ^{3} \ mathbf {p} _ {B},}$

hvor p _A og p _B er momenta for to partikler (merket som A og B for enkelhets skyld) før en kollisjon, er p ′ _A og p ′ _B momentet etter kollisjonen,

${\ displaystyle g = | \ mathbf {p} _ {B}-\ mathbf {p} _ {A} | = | \ mathbf {p '} _ {B}-\ mathbf {p'} _ {A} | }$

er størrelsen på det relative momenta (se relativ hastighet for mer om dette konseptet), og I ( g , Ω) er differensialtverrsnittet av kollisjonen, der de relative momentene til de kolliderende partiklene svinger gjennom en vinkel θ inn i element i den faste vinkelen d Ω, på grunn av kollisjonen.

Forenklinger av kollisjonsbegrepet

Siden mye av utfordringen med å løse Boltzmann -ligningen stammer fra det komplekse kollisjonsbegrepet, har det blitt forsøkt å "modellere" og forenkle kollisjonsbegrepet. Den mest kjente modellligningen skyldes Bhatnagar, Gross og Krook. Antagelsen i BGK-tilnærmingen er at effekten av molekylære kollisjoner er å tvinge en ikke-likevektsfordelingsfunksjon på et punkt i det fysiske rommet tilbake til en Maxwellian likevektsfordelingsfunksjon, og at hastigheten som dette skjer er proporsjonal med molekylær kollisjonsfrekvens . Boltzmann -ligningen er derfor modifisert til BGK -formen:

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell f} {\ delvis t}}+{\ frac {\ mathbf {p}} {m}} \ cdot \ nabla f+\ mathbf {F} \ cdot {\ frac {\ partiell f} {\ partial \ mathbf {p}}} = \ nu (f_ {0} -f),}$

hvor er molekylær kollisjonsfrekvens, og er den lokale Maxwellian -fordelingsfunksjonen gitt gasstemperaturen på dette punktet i rommet. ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle f_ {0}}$

Generell ligning (for en blanding)

For en blanding av kjemiske stoffer som er merket med indeks i = 1, 2, 3, ..., n ligningen for arter i er

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell f_ {i}} {\ delvis t}}+{\ frac {\ mathbf {p} _ {i}} {m_ {i}}} \ cdot \ nabla f_ {i} +\ mathbf {F} \ cdot {\ frac {\ partiell f_ {i}} {\ delvis \ mathbf {p} _ {i}}} = \ venstre ({\ frac {\ delvis f_ {i}} {\ delvis t}} \ høyre) _ {\ text {coll}},}$

hvor f _i = f _i ( r , p _i , t ), og kollisjonsterm er

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partiell f_ {i}} {\ delvis t}} \ høyre) _ {\ mathrm {coll}} = \ sum _ {j = 1}^{n} \ iint g_ {ij} I_ {ij} (g_ {ij}, \ Omega) [f '_ {i} f' _ {j} -f_ {i} f_ {j}] \, d \ Omega \, d^{3 } \ mathbf {p '},}$

hvor f ′ = f ′ ( p ′ _i , t ), er størrelsen på det relative momenta

${\ displaystyle g_ {ij} = | \ mathbf {p} _ {i}-\ mathbf {p} _ {j} | = | \ mathbf {p '} _ {i}-\ mathbf {p'} _ { j} |,}$

og I _ij er differensialtverrsnittet, som før, mellom partiklene i og j . Integrasjonen er over momentumkomponentene i integranden (som er merket i og j ). Summen av integraler beskriver inngang og utgang av partikler av art i i eller ut av fase-romelementet.

Søknader og utvidelser

Bevaringsligninger

Boltzmann -ligningen kan brukes til å utlede de flytende dynamiske bevaringslovene for masse, ladning, momentum og energi. For en væske som består av bare en slags partikkel, er talltettheten n gitt av

${\ displaystyle n = \ int f \, d^{3} s.}$

Gjennomsnittsverdien for en funksjon A er

${\ displaystyle \ langle A \ rangle = {\ frac {1} {n}} \ int Af \, d^{3} s.}$

Siden bevaringsligningene involverer tensorer, vil Einstein -summasjonskonvensjonen brukes der gjentatte indekser i et produkt indikerer summering over disse indeksene. Således, og hvor er partikkelhastighetsvektoren. Definer som en funksjon av momentum bare, som er bevart i en kollisjon. Anta også at kraften bare er en funksjon av posisjon, og at f er null for . Multiplisering av Boltzmann -ligningen med A og integrering over momentum gir fire termer, som ved å bruke integrering av deler kan uttrykkes som ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ mapsto x_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {p} \ mapsto p_ {i} = mw_ {i}}$${\ displaystyle w_ {i}}$${\ displaystyle A (p_ {i})}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle p_ {i} \ to \ pm \ infty}$

${\ displaystyle \ int A {\ frac {\ partiell f} {\ delvis t}} \, d^{3} p = {\ frac {\ partiell} {\ delvis t}} (n \ langle A \ rangle) ,}$

${\ displaystyle \ int {\ frac {p_ {j} A} {m}} {\ frac {\ partiell f} {\ delvis x_ {j}}} \, d^{3} p = {\ frac {1 } {m}} {\ frac {\ partiell} {\ delvis x_ {j}}} (n \ langle Ap_ {j} \ rangle),}$

${\ displaystyle \ int AF_ {j} {\ frac {\ partiell f} {\ delvis p_ {j}}} \, d^{3} p = -nF_ {j} \ venstre \ langle {\ frac {\ partiell A} {\ delvis p_ {j}}} \ høyre \ rangle,}$

${\ displaystyle \ int A \ venstre ({\ frac {\ delvis f} {\ delvis t}} \ høyre) _ {\ text {coll}} \, d^{3} p = 0,}$

hvor det siste uttrykket er null, siden A er bevart i en kollisjon. Utleie , massen av partikkelen, den integrerte Boltzmann -ligningen blir bevaring av masseligning: ${\ displaystyle A = m}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell} {\ delvis t}} \ rho +{\ frac {\ delvis} {\ delvis x_ {j}}} (\ rho V_ {j}) = 0,}$

hvor er massetettheten, og er gjennomsnittlig væskehastighet. ${\ displaystyle \ rho = mn}$${\ displaystyle V_ {i} = \ langle w_ {i} \ rangle}$

Ved å la partikkelenes momentum, den integrerte Boltzmann -ligningen bli bevaring av momentligningen: ${\ displaystyle A = p_ {i}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell} {\ delvis t}} (\ rho V_ {i})+{\ frac {\ partiell} {\ delvis x_ {j}}} (\ rho V_ {i} V_ { j}+P_ {ij})-nF_ {i} = 0,}$

hvor er trykktensoren ( viskøs spenningstensor pluss det hydrostatiske trykket ). ${\ displaystyle P_ {ij} = \ rho \ langle (w_ {i} -V_ {i}) (w_ {j} -V_ {j}) \ rangle}$

Utleie , den kinetiske energien til partikkelen, den integrerte Boltzmann -ligningen blir bevaring av energiligning: ${\ displaystyle A = {\ frac {p_ {i} p_ {i}} {2m}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell} {\ delvis t}} (u+{\ tfrac {1} {2}} \ rho V_ {i} V_ {i})+{\ frac {\ partiell} {\ delvis x_ {j}}} (uV_ {j}+{\ tfrac {1} {2}} \ rho V_ {i} V_ {i} V_ {j}+J_ {qj}+P_ {ij} V_ {i} ) -nF_ {i} V_ {i} = 0,}$

hvor er den kinetiske termiske energitettheten, og er varmefluksvektoren. ${\ displaystyle u = {\ tfrac {1} {2}} \ rho \ langle (w_ {i} -V_ {i}) (w_ {i} -V_ {i}) \ rangle}$${\ displaystyle J_ {qi} = {\ tfrac {1} {2}} \ rho \ langle (w_ {i} -V_ {i}) (w_ {k} -V_ {k}) (w_ {k}- V_ {k}) \ rangle}$

Hamiltonsk mekanikk

I Hamiltonian mekanikk er Boltzmann -ligningen ofte skrevet mer generelt som

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} [f] = \ mathbf {C} [f], \,}$

hvor L er Liouville -operatøren (det er en inkonsekvent definisjon mellom Liouville -operatøren som definert her og den i artikkelen som er lenket) som beskriver utviklingen av et faseromsvolum og C er kollisjonsoperatøren. Den ikke-relativistiske formen til L er

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} _ {\ mathrm {NR}} = {\ frac {\ partiell} {\ delvis t}}+{\ frac {\ mathbf {p}} {m} } \ cdot \ nabla +\ mathbf {F} \ cdot {\ frac {\ partiell} {\ delvis \ mathbf {p}}} \ ,.}$

Kvanteteori og brudd på bevaring av partikkelenummer

Det er mulig å skrive ned relativistiske kvante Boltzmann -ligninger for relativistiske kvantesystemer der antallet partikler ikke er konservert ved kollisjoner. Dette har flere anvendelser innen fysisk kosmologi , inkludert dannelsen av lyselementene i Big Bang -nukleosyntesen , produksjon av mørkt materiale og baryogenese . Det er ikke priori klart at tilstanden til et kvantesystem kan preges av en klassisk fasetetthet f . Imidlertid eksisterer det for en bred klasse av applikasjoner en veldefinert generalisering av f , som er løsningen på en effektiv Boltzmann-ligning som kan utledes av de første prinsippene for kvantefeltteori .

Generell relativitet og astronomi

Boltzmann -ligningen er nyttig i galaktisk dynamikk. En galakse, under visse forutsetninger, kan tilnærmes som en kontinuerlig væske; dens massefordeling er deretter representert med f ; i galakser er fysiske kollisjoner mellom stjernene svært sjeldne, og effekten av gravitasjonskollisjoner kan neglisjeres i tider som er langt lengre enn universets alder .

Dens generalisering i generell relativitet . er

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} _ {\ mathrm {GR}} = p^{\ alpha} {\ frac {\ partiell} {\ delvis x^{\ alpha}}}-\ Gamma ^{\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma} p^{\ beta} p^{\ gamma} {\ frac {\ partiell} {\ delvis p^{\ alpha}}},}$

der Γ ^α _βγ er Christoffel-symbolet av den andre typen (dette forutsetter at det ikke er noen ytre krefter, slik at partikler beveger seg langs geodesikk i fravær av kollisjoner), med den viktige finess at tettheten er en funksjon i blandet kontravariant-kovariant ( x ⁱ , p _i ) faserom i motsetning til fullt kontravariant ( x ⁱ , p ⁱ ) faserom.

I fysisk kosmologi har den helt kovariante tilnærmingen blitt brukt for å studere den kosmiske mikrobølge bakgrunnsstrålingen. Mer generisk forsøker studiet av prosesser i det tidlige universet ofte å ta hensyn til effektene av kvantemekanikk og generell relativitet . I det meget tette mediet dannet av urplasmaet etter Big Bang , blir partikler kontinuerlig opprettet og utslettet. I et slikt miljø kan kvantesammenheng og den romlige forlengelsen av bølgefunksjonen påvirke dynamikken, noe som gjør det tvilsomt om den klassiske faseromsfordelingen f som vises i Boltzmann -ligningen er egnet til å beskrive systemet. I mange tilfeller er det imidlertid mulig å utlede en effektiv Boltzmann -ligning for en generalisert fordelingsfunksjon fra de første prinsippene for kvantefeltteori . Dette inkluderer dannelsen av lyselementene i Big Bang -nukleosyntesen , produksjon av mørkt materiale og baryogenese .

Løse ligningen

Eksakte løsninger på Boltzmann -ligningene har vist seg å eksistere i noen tilfeller; denne analytiske tilnærmingen gir innsikt, men er vanligvis ikke brukbar i praktiske problemer.

I stedet brukes numeriske metoder (inkludert begrensede elementer og gitter Boltzmann -metoder ) generelt for å finne omtrentlige løsninger på de forskjellige formene for Boltzmann -ligningen. Eksempelapplikasjoner spenner fra hypersonisk aerodynamikk i sjeldne gassstrømmer til plasmastrømmer. En anvendelse av Boltzmann -ligningen i elektrodynamikk er beregningen av elektrisk ledningsevne - resultatet er i ledende rekkefølge identisk med det semiklassiske resultatet.

Nær lokal likevekt kan løsningen av Boltzmann-ligningen representeres av en asymptotisk ekspansjon i potensene til Knudsen-nummeret ( Chapman-Enskog- utvidelsen). De to første begrepene i denne utvidelsen gir Euler-ligningene og Navier-Stokes-ligningene . De høyere begrepene har særegenheter. Problemet med å utvikle matematisk de begrensende prosessene, som leder fra det atomistiske synet (representert ved Boltzmanns ligning) til lovene om kontinuerlige bevegelser, er en viktig del av Hilberts sjette problem .

Se også

Merknader

Referanser

• Harris, Stewart (1971). En introduksjon til teorien om Boltzmann -ligningen . Dover Books. s. 221. ISBN 978-0-486-43831-3.. Veldig billig introduksjon til det moderne rammeverket (fra et formelt fradrag fra Liouville og Bogoliubov - Born - Green - Kirkwood - Yvon -hierarkiet (BBGKY) der Boltzmann -ligningen er plassert). De fleste lærebøker for statistisk mekanikk som Huang behandler fortsatt emnet ved hjelp av Boltzmanns originale argumenter. For å utlede ligningen bruker disse bøkene en heuristisk forklaring som ikke får frem gyldighetsområdet og de karakteristiske forutsetningene som skiller Boltzmann fra andre transportligninger som Fokker - Planck eller Landau -ligninger .

• Arkeryd, Leif (1972). "På Boltzmann -ligningen del I: Eksistens". Arch. Rasjonell mekan. Anal . 45 (1): 1–16. Bibcode : 1972ArRMA..45 .... 1A . doi : 10.1007/BF00253392 . S2CID  117877311 .
• Arkeryd, Leif (1972). "Om Boltzmann -ligningen del II: Det komplette initialverdiproblemet". Arch. Rasjonell mekan. Anal . 45 (1): 17–34. Bibcode : 1972ArRMA..45 ... 17A . doi : 10.1007/BF00253393 . S2CID  119481100 .
• Arkeryd, Leif (1972). "På Boltzmann -ligningen del I: Eksistens". Arch. Rasjonell mekan. Anal . 45 (1): 1–16. Bibcode : 1972ArRMA..45 .... 1A . doi : 10.1007/BF00253392 . S2CID  117877311 .
• DiPerna, RJ; Lions, P.-L. (1989). "Om Cauchy -problemet for Boltzmann -ligninger: global eksistens og svak stabilitet". Ann. av matematikk . 2. 130 (2): 321–366. doi : 10.2307/1971423 . JSTOR  1971423 .

Eksterne linker

• Boltzmann Transport Equation av Franz Vesely
• Boltzmann gassformet oppførsel løst