Kamfilter - Comb filter

I signalbehandling er et kamfilter et filter implementert ved å legge til en forsinket versjon av et signal til seg selv, noe som forårsaker konstruktiv og destruktiv interferens . Den frekvensresponsen av en kam filteret består av en rekke jevnt fordelte hakk, noe som gir inntrykk av en kam .

applikasjoner

Kamfiltre brukes i en rekke programmer for signalbehandling, inkludert:

• Kaskadfiltrerte integrator-kam (CIC) -filtre , vanligvis brukt for anti-aliasing under interpolering og desimering , som endrer samplingshastigheten til et diskret tidssystem .
• 2D- og 3D -kamfiltre implementert i maskinvare (og noen ganger programvare) i PAL- og NTSC -analoge TV -dekodere, reduserer artefakter som prikkgjenoppretting .
• Lydsignalbehandling , inkludert forsinkelse , flensing , fysisk modelleringssyntese og digital bølgeleder -syntese . Hvis forsinkelsen er satt til noen få millisekunder, kan et kamfilter modellere effekten av akustiske stående bølger i et sylindrisk hulrom eller i en vibrerende streng .
• I astronomi den astro-kam lover å øke presisjonen av eksisterende spektrografer med nesten hundre fold.

I akustikk kan kamfiltrering oppstå som en uønsket artefakt. For eksempel, to høyttalere som spiller det samme signalet på forskjellige avstander fra lytteren, skaper en kamfiltreringseffekt på lyden. I alle lukkede rom hører lytterne en blanding av direkte lyd og reflektert lyd. Den reflekterte lyden tar en lengre, forsinket bane i forhold til den direkte lyden, og det opprettes et kamfilter der de to blander seg på lytteren.

Gjennomføring

Kamfiltre finnes i to former, feedforward og feedback ; som refererer til retningen signaler forsinkes i før de legges til inngangen.

Kamfiltre kan implementeres i diskrete tids- eller kontinuerlige tidsformer som er veldig like.

Fremoverskjema

Den generelle strukturen til et feedforward kamfilter er beskrevet av differensialligningen :

${\ displaystyle y [n] = x [n]+\ alfa x [nK]}$

hvor er forsinkelseslengden (målt i prøver), og α er en skaleringsfaktor som brukes på det forsinkede signalet. Den z- transformasjon av begge sider av ligningen gir: ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle Y (z) = \ left (1+ \ alpha z^{-K} \ right) X (z)}$

Den transferfunksjon er definert som:

${\ displaystyle H (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} = 1+ \ alpha z^{-K} = {\ frac {z^{K}+\ alpha} { z^{K}}}}$

Frekvensrespons

Frekvensresponsen til et diskret tidssystem uttrykt i z -domenet, oppnås ved substitusjon z = e ^jΩ . Derfor, for feedforward kamfilteret:

${\ displaystyle H \ left (e^{j \ Omega} \ right) = 1+\ alpha e^{-j \ Omega K}}$

Ved bruk av Eulers formel er frekvensresponsen også gitt av

${\ displaystyle H \ left (e^{j \ Omega} \ right) = {\ bigl [} 1+ \ alpha \ cos (\ Omega K) {\ bigr]}-j \ alpha \ sin (\ Omega K) }$

Ofte av interesse er størrelsesresponsen , som ignorerer fase. Dette er definert som:

${\ displaystyle \ left | H \ left (e^{j \ Omega} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ Re \ left \ {H \ left (e^{j \ Omega} \ right) \ right \}^{2}+\ Im \ venstre \ {H \ venstre (e^{j \ Omega} \ høyre) \ høyre \}^{2}}}}$

Når det gjelder feedforward kamfilter, er dette:

${\ displaystyle \ left | H \ left (e ^{j \ Omega} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ left (1+ \ alpha ^{2} \ right) +2 \ alpha \ cos (\ Omega K)}}}}$

Den (1 + α ² ) uttrykket er konstant, mens de to α cos ( ΩK ) Tiden varierer periodisk . Derfor er størrelsesresponsen til kamfilteret periodisk.

Grafene viser størrelsesresponsen for forskjellige verdier av α , som viser denne periodisiteten. Noen viktige egenskaper:

• Responsen synker med jevne mellomrom til et lokalt minimum (noen ganger kjent som et hakk ), og stiger periodisk til et lokalt maksimum (noen ganger kjent som en topp ).
• For positive verdier av α skjer det første minimumet ved halve forsinkelsesperioden og gjentas med jevne multipler av forsinkelsesfrekvensen deretter:

${\ displaystyle f = {\ frac {1} {2K}}, {\ frac {3} {2K}}, {\ frac {5} {2K}} \ cdots}$.

• Nivåene for maksima og minima er alltid like langt fra 1.
• Når α = ± 1 , har minimumene null amplitude. I dette tilfellet er minima noen ganger kjent som null .
• Maksima for positive verdier av α sammenfaller med minima for negative verdier av , og omvendt.${\ displaystyle \ alpha}$

Impulsrespons

Feed -forward kamfilteret er et av de enkleste endelige impulsresponsfilterene . Svaret er ganske enkelt den første impulsen med en andre impuls etter forsinkelsen.

Pol -null tolkning

Ser igjen på z -domeneoverføringsfunksjonen til feedforward kamfilteret:

${\ displaystyle H (z) = {\ frac {z^{K}+\ alpha} {z^{K}}}}$

telleren er lik null når z ^K = - α . Dette har K -løsninger, like fordelt rundt en sirkel i det komplekse planet ; disse er nullpunktene til overføringsfunksjonen. Nevneren er null ved z ^K = 0 , og gir K -polene ved z = 0 . Dette fører til et pol -null -plott som de som vises.

Pol -null -diagram av feedforward kamfilter med K = 8 og α = 0,5

Pol -null -diagram av feedforward kamfilter med K = 8 og α = −0,5

Tilbakemeldings-skjema

På samme måte er den generelle strukturen til et tilbakemeldingskamfilter beskrevet av differensialligningen :

${\ displaystyle y [n] = x [n]+\ alpha y [nK]}$

Denne ligningen kan omorganiseres slik at alle termer i er på venstre side, og deretter ta z- transformasjonen: ${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle \ left (1- \ alpha z^{-K} \ right) Y (z) = X (z)}$

Overføringsfunksjonen er derfor:

${\ displaystyle H (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} = {\ frac {1} {1- \ alpha z^{-K}}} = {\ frac {z ^{K}} {z^{K}-\ alpha}}}$

Frekvensrespons

Erstatning av z = e ^jΩ i z -domeneuttrykket for tilbakemeldingskamfilteret:

${\ displaystyle H \ left (e^{j \ Omega} \ right) = {\ frac {1} {1- \ alpha e^{-j \ Omega K}}}}}$

Størrelsesresponsen er som følger:

${\ displaystyle \ left | H \ left (e ^{j \ Omega} \ right) \ right | = {\ frac {1} {\ sqrt {\ left (1+ \ alpha ^{2} \ right) -2 \ alpha \ cos (\ Omega K)}}}}$

Igjen er responsen periodisk, slik grafene viser. Tilbakemeldingskamfilteret har noen egenskaper til felles med feedforward -skjemaet:

• Responsen faller med jevne mellomrom til et lokalt minimum og stiger til et lokalt maksimum.
• Maksima for positive verdier av α sammenfaller med minima for negative verdier av , og omvendt.${\ displaystyle \ alpha}$
• For positive verdier av α forekommer det første maksimumet ved 0 og gjentas med jevne multipler av forsinkelsesfrekvensen deretter:

${\ displaystyle f = 0, {\ frac {1} {K}}, {\ frac {2} {K}}, {\ frac {3} {K}} \ cdots}$.

Imidlertid er det også noen viktige forskjeller fordi størrelsesresponsen har et begrep i nevneren :

• Nivåene for maksima og minima er ikke lenger like langt fra 1. Maksimaene har en amplitude på 1/1 - α.
• Filteret er bare stabilt hvis | α | er strengt mindre enn 1. Som det fremgår av grafene, som | α | øker, stiger maksimumets amplitude stadig raskere.

Impulsrespons

Tilbakemeldingskamfilteret er en enkel type uendelig impulsresponsfilter . Hvis den er stabil, består responsen ganske enkelt av en repeterende serie impulser som reduseres i amplitude over tid.

Pol -null tolkning

Ser igjen på z -domeneoverføringsfunksjonen til tilbakemeldingskamfilteret:

${\ displaystyle H (z) = {\ frac {z^{K}} {z^{K}-\ alpha}}}$

Denne gangen er telleren null ved z ^K = 0 , og gir K -nuller ved z = 0 . Nevneren er lik null når z ^K = α . Dette har K -løsninger, like fordelt rundt en sirkel i det komplekse planet ; Dette er polene i overføringsfunksjonen. Dette fører til et pol -null -plott som de som vises nedenfor.

Pol -null plott av tilbakemeldingskamfilter med K = 8 og α = 0,5

Pol -null plott av tilbakemeldingskamfilter med K = 8 og α = −0,5

Kontinuerlige kamfiltre

Kamfiltre kan også implementeres på kontinuerlig tid . Fremoverformen kan beskrives ved ligningen:

${\ displaystyle y (t) = x (t)+\ alpha x (t- \ tau)}$

hvor τ er forsinkelsen (målt i sekunder). Denne har følgende overføringsfunksjon:

${\ displaystyle H (s) = 1+\ alpha e^{-s \ tau}}$

Fremoverformen består av et uendelig antall nuller i avstand langs jω -aksen.

Tilbakemeldingsskjemaet har ligningen:

${\ displaystyle y (t) = x (t)+\ alpha y (t- \ tau)}$

og følgende overføringsfunksjon:

${\ displaystyle H (s) = {\ frac {1} {1- \ alpha e^{-s \ tau}}}}$

Tilbakemeldingsskjemaet består av et uendelig antall poler på avstand langs jω -aksen.

Kontinuerlige implementeringer deler alle egenskapene til de respektive diskrete-tid-implementeringene.

Se også

• Fabry – Pérot interferometer

Referanser

Eksterne linker

• Medier relatert til kamfiltre på Wikimedia Commons