Dirac ligning - Dirac equation

Del av en artikkelserie om
Kvantemekanikk
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partiell t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Schrödinger ligning
Introduksjon Ordliste Historie
Bakgrunn Klassisk mekanikk Gammel kvanteteori Bra -ket -notasjon Hamiltonian Innblanding
Grunnleggende Komplementaritet Dekoherens Forvikling Energinivå Mål Ikke -lokalitet Kvantum Stat Superposisjon Symmetri Tunnel Usikkerhet Bølgefunksjon Kollapse
Eksperimenter Bells ulikhet Davisson - Germer Dobbel spalte Elitzur - Vaidman Franck - Hertz Leggett - Garg ulikhet Mach - Zehnder Popper Quantum viskelær Forsinket valg Schrödingers katt Stern - Gerlach Wheelers forsinkede valg
Formuleringer Oversikt Heisenberg Interaksjon Matrise Fase-plass Schrödinger Sum-over-historier (stiintegral)
Likninger Dirac Klein – Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Tolkninger Oversikt Bayesiansk Konsekvente historier København de Broglie – Bohm Ensemble Skjult-variabel Lokal Mange verdener Objektiv kollaps Kvantelogikk Relasjonelle Transaksjonell
Avanserte emner Relativistisk kvantemekanikk Kvantfeltteori Kvantinformasjonsvitenskap Quantum computing Quantum kaos Tetthetsmatrise Spredningsteori Kvantestatistisk mekanikk Kvantemaskinlæring
Forskere Aharonov Klokke Blackett Bloch Bohm Bohr Født Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Pauli lam Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

Kvantfeltteori
Feynman -diagram
Historie
Bakgrunn Feltteori Elektromagnetisme Svak kraft Sterk kraft Kvantemekanikk Spesiell relativitet Generell relativitet Målerteori
Symmetrier Symmetri i kvantemekanikk C-symmetri P-symmetri T-symmetri Romoversettelsessymmetri Tidsoversettelsessymmetri Rotasjonssymmetri Lorentz symmetri Poincaré symmetri Målesymmetri Eksplisitt symmetribrudd Spontan symmetri brytes Yang - Mills teori Ingen kostnad Topologisk ladning
Verktøy Anomali Kryssing Effektiv feltteori Forventningsverdi Faddeev - Popov spøkelser Feynman -diagram Gittermålerteori LSZ reduksjonsformel Delingsfunksjon Propagator Kvantisering Regularisering Renormalisering Vakuumtilstand Wicks teorem Wightman aksiomer
Likninger Dirac ligning Klein - Gordon ligning Proca -ligninger Wheeler – DeWitt -ligningen Bargmann - Wigner ligninger
Standard modell Kvantelektrodynamikk Elektrisk svak interaksjon Kvantekromodynamikk Higgs -mekanisme
Ufullstendige teorier Topologisk kvantefeltteori Strengteori Supersymmetri Technicolor Teori om alt Quantum tyngdekraft
Forskere CD Anderson PW Anderson Vær den Bjorken Bogoliubov Brout Callan Coleman DeWitt Dirac Dyson Englert Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Glashow Gell-Mann Ekkelt Guralnik Heisenberg Higgs Haag Hagen 't Hooft Jordan Kendall Kibble lam Landau Lee Majorana Mills Nambu Nishijima Parisi Polyakov Salam Schwinger Skyrme Sudarshan Tomonaga Veltman avdeling Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Yang Yukawa
v t e

I partikkelfysikk er Dirac-ligningen en relativistisk bølgeligning avledet av den britiske fysikeren Paul Dirac i 1928. I sin frie form , eller inkludert elektromagnetiske interaksjoner , beskriver den alle spin- 1 ⁄ 2 massive partikler som elektroner og kvarker som paritet er for en symmetri . Den er i samsvar med både prinsippene for kvantemekanikk og teorien om spesiell relativitet , og var den første teorien som fullt ut redegjorde for spesiell relativitet i sammenheng med kvantemekanikk . Det ble validert ved å redegjøre for de fine detaljene i hydrogenspekteret på en helt streng måte.

Ligningen innebar også eksistensen av en ny form for materie, antimateriale , som tidligere var uten mistanke om og ikke ble observert, og som ble eksperimentelt bekreftet flere år senere. Det ga også en teoretisk begrunnelse for innføring av flere komponentbølgefunksjoner i Pauli 's fenomenologisk teori av spinn . Bølgefunksjonene i Dirac-teorien er vektorer med fire komplekse tall (kjent som bispinorer ), hvorav to ligner Pauli-bølgefunksjonen i den ikke-relativistiske grensen, i motsetning til Schrödinger-ligningen som beskrev bølgefunksjoner med bare én kompleks verdi. Videre, i grensen til null masse, reduserer Dirac -ligningen til Weyl -ligningen .

Selv om Dirac først ikke helt skjønte viktigheten av resultatene, representerte forklaringen på spinn som en konsekvens av foreningen av kvantemekanikk og relativitet - og den endelige oppdagelsen av positronet - en av de store seirene for teoretisk fysikk . Denne prestasjonen har blitt beskrevet som fullstendig på høyde med verkene til Newton , Maxwell og Einstein før ham. I konteksten for kvantefeltteori blir Dirac-ligningen fortolket på nytt for å beskrive kvantefelt som tilsvarer spinn- 1 / 2 partikler.

Dirac -ligningen vises på gulvet i Westminster Abbey på plaketten til minne om Paul Diracs liv, som ble avduket 13. november 1995.

Matematisk formulering

Dirac -ligningen i formen som opprinnelig ble foreslått av Dirac er:

${\ displaystyle \ left (\ beta mc^{2}+c \ sum _ {n \ mathop {=} 1}^{3} \ alpha _ {n} p_ {n} \ right) \ psi (x, t ) = i \ hbar {\ frac {\ partiell \ psi (x, t)} {\ delvis t}}}$

hvor ψ ( x , t ) er den bølgefunksjonen for den elektron av resten massen m med rom-tid -koordinater x , t . Den p- ₁ , p- ₂ , p ₃ er komponentene i den fart , forstått å være den momentum operatør i Schrödingerligningen . Også, c er lyshastigheten , og Ħ er redusert Plancks konstant . Disse grunnleggende fysiske konstantene gjenspeiler henholdsvis spesiell relativitet og kvantemekanikk.

Diracs formål med å kaste denne ligningen var å forklare oppførselen til det relativistisk bevegelige elektronet, og så å la atomet bli behandlet på en måte som er i samsvar med relativitet. Hans ganske beskjedne håp var at korreksjonene som ble innført på denne måten kan ha betydning for problemet med atomspektre .

Frem til den tid hadde forsøk på å gjøre den gamle kvanteteorien om atomenet forenlig med relativitetsteorien, som var basert på å diskretisere vinkelmomentet lagret i elektronens muligens ikke-sirkulære bane i atomkjernen , mislyktes-og den nye kvantemekanikken til Heisenberg , Pauli , Jordan , Schrödinger og Dirac selv hadde ikke utviklet seg tilstrekkelig til å behandle dette problemet. Selv om Diracs opprinnelige intensjoner var oppfylt, hadde ligningen hans langt dypere implikasjoner for materiens struktur og introduserte nye matematiske klasser av objekter som nå er viktige elementer i grunnleggende fysikk.

De nye elementer i denne likningen er de fire 4 x 4 matrisene a ₁ , α ₂ , α ₃ og β , og den fire-komponentbølgefunksjon ψ . Det er fire komponenter i ψ fordi evalueringen av den på et gitt tidspunkt i konfigurasjonsrommet er en bispinor . Det tolkes som en superposisjon av et spin-up elektron, et spin-down elektron, et spin-up positron og et spin-down positron (se nedenfor for ytterligere diskusjon).

De 4 x 4 matrisene a _k og β er alle Hermitisk og er involutory :

${\ displaystyle \ alpha _ {i} ^{2} = \ beta ^{2} = I_ {4}}$

og de er gjensidig antikommitte :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha _ {i} \ alpha _ {j}+\ alpha _ {j} \ alpha _ {i} & = 0 \ quad (i \ neq j) \\\ alpha _ {i} \ beta +\ beta \ alpha _ {i} & = 0 \ end {align}}}$

Disse matrisene og formen på bølgefunksjonen har en dyp matematisk betydning. Den algebraiske strukturen representert av gammamatrisene hadde blitt opprettet rundt 50 år tidligere av den engelske matematikeren WK Clifford . På sin side hadde Cliffords ideer kommet frem fra midten av 1800-tallet av den tyske matematikeren Hermann Grassmann i hans Lineale Ausdehnungslehre ( Theory of Linear Extensions ). Sistnevnte hadde blitt sett på som nesten uforståelig av de fleste av hans samtidige. Utseendet til noe så tilsynelatende abstrakt, på et så sent tidspunkt og på en så direkte fysisk måte, er et av de mest bemerkelsesverdige kapitlene i fysikkens historie.

Den enkle symbolske ligningen løsner seg dermed til fire koblede lineære førsteordens delvise differensialligninger for de fire størrelsene som utgjør bølgefunksjonen. Ligningen kan skrives mer eksplisitt i Planck -enheter som:

${\ displaystyle i \ partial _ {x} {\ begin {bmatrix}-\ psi _ {4} \\-\ psi _ {3} \\-\ psi _ {2} \\-\ psi _ {1} \ end {bmatrix}}+\ delvis _ {y} {\ begin {bmatrix}-\ psi _ {4} \\+\ psi _ {3} \\-\ psi _ {2} \\+\ psi _ {1} \ end {bmatrix}}+i \ delvis _ {z} {\ begin {bmatrix}-\ psi _ {3} \\+\ psi _ {4} \\-\ psi _ {1} \\ +\ psi _ {2} \ end {bmatrix}}+m {\ begin {bmatrix}+\ psi _ {1} \\+\ psi _ {2} \\-\ psi _ {3} \\-\ psi _ {4} \ end {bmatrix}} = i \ delvis _ {t} {\ begin {bmatrix} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2} \\\ psi _ {3} \\\ psi _ {4} \ end {bmatrix}}}$

som gjør det tydeligere at det er et sett med fire partielle differensialligninger med fire ukjente funksjoner.

Gjør Schrödinger -ligningen relativistisk

Dirac -ligningen er overfladisk lik Schrödinger -ligningen for en massiv fri partikkel :

${\ displaystyle -{\ frac {\ hbar ^{2}} {2m}} \ nabla ^{2} \ phi = i \ hbar {\ frac {\ partiell} {\ delvis t}} \ phi ~.}$

Venstre side representerer kvadratet til momentoperatoren dividert med to ganger massen, som er den ikke-relativistiske kinetiske energien. Fordi relativitet behandler rom og tid som helhet, krever en relativistisk generalisering av denne ligningen at rom- og tidsderivater må angi symmetrisk som de gjør i Maxwell -ligningene som styrer lysets oppførsel - ligningene må være differensielt av samme rekkefølge i rommet og tid. I relativitet er momentum og energier rom- og tidsdelene i en romtidsvektor, fire-momentum , og de er relatert til det relativistisk invariante forholdet

${\ displaystyle E^{2} = m^{2} c^{4}+p^{2} c^{2}}$

som sier at lengden på denne firvektoren er proporsjonal med resten masse m . Ved å erstatte operatørekvivalenter av energi og momentum fra Schrödinger -teorien, får vi Klein - Gordon -ligningen som beskriver forplantning av bølger, konstruert av relativistisk invariante objekter,

${\ displaystyle \ left (-{\ frac {1} {c ^{2}}} {\ frac {\ partiell ^{2}} {\ delvis t ^{2}}}+\ nabla ^{2} \ høyre) \ phi = {\ frac {m^{2} c^{2}} {\ hbar^{2}}} \ phi}$

med bølgefunksjonen ϕ som en relativistisk skalar: et komplekst tall som har samme numeriske verdi i alle referanserammer. Rom- og tidsderivater går begge til andre orden. Dette har en talende konsekvens for tolkningen av ligningen. Fordi ligningen er andre orden i tidsderivatet, må man spesifisere startverdier både for selve bølgefunksjonen og for den første tidderivatet for å løse bestemte problemer. Siden begge kan spesifiseres mer eller mindre vilkårlig, kan bølgefunksjonen ikke opprettholde sin tidligere rolle med å bestemme sannsynlighetstettheten for å finne elektronet i en gitt bevegelsestilstand. I Schrödinger -teorien er sannsynlighetstettheten gitt av det positive bestemte uttrykket

${\ displaystyle \ rho = \ phi ^{*} \ phi}$

og denne tettheten konvekteres i henhold til sannsynlighetsstrømvektoren

${\ displaystyle J = -{\ frac {i \ hbar} {2m}} (\ phi ^{*} \ nabla \ phi -\ phi \ nabla \ phi ^{*})}$

med bevaring av sannsynlighetsstrøm og tetthet som følger av kontinuitetsligningen:

${\ displaystyle \ nabla \ cdot J+{\ frac {\ partiell \ rho} {\ delvis t}} = 0 ~.}$

Det faktum at tettheten er positiv bestemt og overbevist i henhold til denne kontinuitetslikningen innebærer at vi kan integrere tettheten over et bestemt domene og sette totalen til 1, og denne tilstanden vil bli opprettholdt av bevaringsloven . En riktig relativistisk teori med sannsynlighetstetthetsstrøm må også dele denne funksjonen. Hvis vi ønsker å opprettholde forestillingen om en konveksert tetthet, må vi generalisere Schrödinger -uttrykket for tetthet og strøm slik at rom- og tidderivater igjen kommer symmetrisk i forhold til skalarbølgefunksjonen. Vi har lov til å beholde Schrödinger -uttrykket for strømmen, men må erstatte sannsynlighetstettheten med det symmetrisk formede uttrykket

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {i \ hbar} {2mc ^{2}}} (\ psi ^{*} \ partiell _ {t} \ psi -\ psi \ delvis _ {t} \ psi ^{ *}) ~.}$

som nå blir den fjerde komponenten i en romtidvektor, og hele sannsynligheten 4-strømtetthet har det relativistiske kovariante uttrykket

${\ displaystyle J ^{\ mu} = {\ frac {i \ hbar} {2m}} (\ psi ^{*} \ delvis ^{\ mu} \ psi -\ psi \ delvis ^{\ mu} \ psi ^{*}) ~.}$

Kontinuitetsligningen er som før. Alt er forenlig med relativitet nå, men vi ser umiddelbart at uttrykket for tettheten ikke lenger er positivt bestemt - initialverdiene til både ψ og ∂ _t ψ kan velges fritt, og tettheten kan dermed bli negativ, noe som er umulig for en legitim sannsynlighetstetthet. Dermed kan vi ikke få en enkel generalisering av Schrödinger -ligningen under den naive antagelsen at bølgefunksjonen er en relativistisk skalar, og ligningen den tilfredsstiller, andre rekkefølge i tid.

Selv om det ikke er en vellykket relativistisk generalisering av Schrödinger -ligningen, gjenoppstår denne ligningen i sammenheng med kvantefeltteorien , der den er kjent som Klein - Gordon -ligningen, og beskriver et spinnfritt partikkelfelt (f.eks. Pi meson eller Higgs boson ) . Historisk sett kom Schrödinger selv til denne ligningen før den som bærer navnet hans, men snart kastet den. I konteksten av kvantefeltteori forstås den ubestemte tettheten å svare til ladningstettheten , som kan være positiv eller negativ, og ikke sannsynlighetstettheten.

Diracs kupp

Dirac tenkte dermed å prøve en ligning som var første orden både i rom og tid. Man kan for eksempel formelt (dvs. ved misbruk av notasjon ) ta det relativistiske uttrykket for energien

${\ displaystyle E = c {\ sqrt {p^{2}+m^{2} c^{2}}} ~,}$

bytt ut p med operatørekvivalenten, utvid kvadratroten i en uendelig rekke av derivatoperatorer, sett opp et egenverdi -problem, og løs deretter ligningen formelt ved iterasjoner. De fleste fysikere hadde liten tro på en slik prosess, selv om det var teknisk mulig.

Som historien går, stirret Dirac inn i peisen i Cambridge og tenkte på dette problemet da han slo på ideen om å ta kvadratroten til bølgeoperatøren slik:

${\ displaystyle \ nabla ^{2}-{\ frac {1} {c ^{2}}} {\ frac {\ partiell ^{2}} {\ delvis t ^{2}}} = \ venstre (A \ delvis _ {x}+B \ delvis _ {y}+C \ delvis _ {z}+{\ frac {i} {c}} D \ delvis _ {t} \ høyre) \ venstre (A \ delvis _ {x}+B \ delvis _ {y}+C \ delvis _ {z}+{\ frac {i} {c}} D \ delvis _ {t} \ høyre) ~.}$

Ved å multiplisere på høyre side ser vi at for å få alle kryssordene som ∂ _x ∂ _y til å forsvinne, må vi anta

${\ displaystyle AB+BA = 0, ~ \ ldots ~}$

med

${\ displaystyle A^{2} = B^{2} = \ ldots = 1 ~.}$

Dirac, som akkurat da hadde vært intenst involvert i å utarbeide grunnlaget for Heisenbergs matriksmekanikk , forstod umiddelbart at disse betingelsene kunne oppfylles hvis A , B , C og D er matriser , med implikasjonen at bølgefunksjonen har flere komponenter . Dette forklarte umiddelbart utseendet til tokomponentbølgefunksjoner i Paulis fenomenologiske teori om spinn , noe som frem til da hadde blitt sett på som mystisk, til og med for Pauli selv. Imidlertid trenger man minst 4 × 4 matriser for å sette opp et system med egenskapene som kreves - så bølgefunksjonen hadde fire komponenter, ikke to, som i Pauli -teorien, eller en, som i bare Schrödinger -teorien. Den fire-komponentbølgefunksjonen representerer en ny klasse av matematiske objekter i fysiske teorier som gjør sin første opptreden her.

Gitt faktoriseringen når det gjelder disse matrisene, kan man nå skrive ned en ligning umiddelbart

${\ displaystyle \ venstre (A \ delvis _ {x}+B \ delvis _ {y}+C \ delvis _ {z}+{\ frac {i} {c}} D \ delvis _ {t} \ høyre) \ psi = \ kappa \ psi}$

med å bli bestemt. Å bruke matriseoperatøren på begge sider igjen gir utbytte ${\ displaystyle \ kappa}$

${\ displaystyle \ left (\ nabla ^{2}-{\ frac {1} {c ^{2}}} \ delvis _ {t} ^{2} \ høyre) \ psi = \ kappa ^{2} \ psi ~.}$

Ved å ta finner vi at alle komponentene i bølgefunksjonen individuelt tilfredsstiller det relativistiske forholdet mellom energi og momentum. Dermed er den ettertraktede ligningen som er første orden både i rom og tid ${\ displaystyle \ kappa = {\ tfrac {mc} {\ hbar}}}$

${\ displaystyle \ venstre (A \ delvis _ {x}+B \ delvis _ {y}+C \ delvis _ {z}+{\ frac {i} {c}} D \ delvis _ {t}-{\ frac {mc} {\ hbar}} \ høyre) \ psi = 0 ~.}$

Omgivelser

${\ displaystyle A = i \ beta \ alpha _ {1} \ ,, \, B = i \ beta \ alpha _ {2} \ ,, \, C = i \ beta \ alpha _ {3} \ ,, \ , D = \ beta ~,}$

og fordi ${\ displaystyle D ^{2} = \ beta ^{2} = I_ {4} ~,}$

vi får Dirac -ligningen som skrevet ovenfor.

Kovariant form og relativistisk invarianse

For å demonstrere den relativistiske invariansen til ligningen, er det fordelaktig å kaste den inn i en form der rom- og tidderivatene vises på lik linje. Nye matriser introduseres som følger:

${\ displaystyle {\ begin {align} D & = \ gamma ^{0}, \\ A & = i \ gamma ^{1}, \ quad B = i \ gamma ^{2}, \ quad C = i \ gamma ^ {3}, \ end {align}}}$

og ligningen tar form (husker definisjonen av de kovariante komponentene i 4-gradienten og spesielt at ∂ ₀ = 1/c∂ _t )

hvor det er en underforstått summering over verdiene til den to ganger gjentatte indeksen μ = 0, 1, 2, 3 og ∂ _μ er 4-gradienten. I praksis skriver man ofte gammamatrisene i form av 2 × 2 delmatriser hentet fra Pauli-matrisene og 2 × 2 identitetsmatrisen . Eksplisitt den standard representasjon er

${\ displaystyle \ gamma ^{0} = {\ begin {pmatrix} I_ {2} & 0 \\ 0 & -I_ {2} \ end {pmatrix}}, \ quad \ gamma ^{1} = {\ begin {pmatrix } 0 & \ sigma _ {x} \\-\ sigma _ {x} & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ gamma ^{2} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ sigma _ {y} \\- \ sigma _ {y} & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ gamma ^{3} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ sigma _ {z} \\-\ sigma _ {z} & 0 \ end {pmatrix }}.}$

Det komplette systemet er oppsummert ved hjelp av Minkowski -metrikken på romtid i skjemaet

${\ displaystyle \ left \ {\ gamma ^{\ mu}, \ gamma ^{\ nu} \ right \} = 2 \ eta ^{\ mu \ nu} I_ {4}}$

der parentesuttrykket

${\ displaystyle \ {a, b \} = ab+ba}$

betegner antikommutatoren . Dette er de definerende forholdene til en Clifford-algebra over et pseudo-ortogonal 4-dimensjonalt rom med metrisk signatur (+ --- ) . Den spesifikke Clifford -algebraen som brukes i Dirac -ligningen er i dag kjent som Dirac -algebraen . Selv om det ikke ble anerkjent som sådan av Dirac på det tidspunktet ligningen ble formulert, representerer introduksjonen av denne geometriske algebra i ettertid et enormt skritt fremover i utviklingen av kvanteteorien.

Dirac-ligningen kan nå tolkes som en egenverdi- ligning, hvor resten masse er proporsjonal med en egenverdi for 4-momentum-operatøren , proporsjonalitetskonstanten er lysets hastighet:

${\ displaystyle P _ {\ text {op}} \ psi = mc \ psi \ ,.}$

Ved å bruke ( uttales "d-slash"), ifølge Feynman-skråstreknotasjon , blir Dirac-ligningen: ${\ displaystyle {\ partiell \! \! \!/} \ mathrel {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ gamma ^{\ mu} \ delvis _ {\ mu}}$${\ displaystyle {\ delvis \! \! \! {\ big /}}}$

${\ displaystyle i \ hbar {\ delvis \! \! \! {\ big /}} \ psi -mc \ psi = 0 \ ,.}$

I praksis bruker fysikere ofte måleenheter slik at ħ = c = 1 , kjent som naturlige enheter . Ligningen tar da den enkle formen

En grunnleggende teorem sier at hvis det gis to forskjellige sett med matriser som begge tilfredsstiller Clifford -forholdene , så er de forbundet med hverandre ved en likhetstransformasjon :

${\ displaystyle \ gamma ^{\ mu \ prime} = S ^{-1} \ gamma ^{\ mu} S \ ,.}$

Hvis matrisene i tillegg alle er enhetlige , i likhet med Dirac -settet, er S i seg selv enhetlig ;

${\ displaystyle \ gamma ^{\ mu \ prime} = U ^{\ dolk} \ gamma ^{\ mu} U \ ,.}$

Transformasjonen U er unik opp til en multiplikativ faktor med absolutt verdi 1. La oss nå forestille oss at en Lorentz -transformasjon skal ha blitt utført på rom- og tidskoordinatene, og på derivatoperatørene, som danner en kovariant vektor. For at operatøren γ ^μ ∂ _μ skal forbli uforanderlig, må gammas transformere seg imellom som en kontravariant vektor med hensyn til romtiden indeks. Disse nye gammene vil selv tilfredsstille Clifford -forholdet, på grunn av ortogonaliteten til Lorentz -transformasjonen. Ved den grunnleggende teoremet kan vi erstatte det nye settet med det gamle settet underlagt en enhetlig transformasjon. I den nye rammen, husker du at resten masse er en relativistisk skalar, vil Dirac -ligningen da ta formen

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ venstre (iU^{\ dolk} \ gamma^{\ mu} U \ delvis _ {\ mu}^{\ prime} -m \ høyre) \ psi \ venstre (x^ {\ prime}, t^{\ prime} \ right) & = 0 \\ U^{\ dolk} (i \ gamma^{\ mu} \ delvis _ {\ mu}^{\ prime} -m) U \ psi \ venstre (x^{\ prime}, t^{\ prime} \ høyre) & = 0 \,. \ ende {justert}}}$

Hvis vi nå definerer den transformerte spinoren

${\ displaystyle \ psi ^{\ prime} = U \ psi}$

så har vi den transformerte Dirac -ligningen på en måte som demonstrerer manifest relativistisk invarianse :

${\ displaystyle \ left (i \ gamma^{\ mu} \ partial _ {\ mu}^{\ prime} -m \ right) \ psi^{\ prime} \ left (x^{\ prime}, t^ {\ prime} \ right) = 0 \ ,.}$

Så snart vi har slått oss ned på en enhetlig representasjon av gammas, er det endelig, forutsatt at vi transformerer spinoren i henhold til enhetstransformasjonen som tilsvarer den gitte Lorentz -transformasjonen.

De forskjellige representasjonene av Dirac -matrisene som brukes, vil sette fokus på bestemte aspekter av det fysiske innholdet i Dirac -bølgefunksjonen (se nedenfor). Representasjonen vist her er kjent som standardrepresentasjonen - i den går bølgefunksjonens to øvre komponenter over i Paulis 2 spinorbølgefunksjon i grensen for lave energier og små hastigheter i forhold til lys.

Betraktningene ovenfor avslører opprinnelsen til gammasene i geometri , og lytter tilbake til Grassmanns opprinnelige motivasjon - de representerer et fast grunnlag for enhetsvektorer i romtiden. Tilsvarende produkter av de gammastråler, slik som -y _jj -y _vc representerer orienterte flateelementer , og så videre. Med dette i bakhodet kan vi finne formen på enhetsvolumelementet på romtid når det gjelder gammas som følger. Per definisjon er det det

${\ displaystyle V = {\ frac {1} {4!}} \ epsilon _ {\ mu \ nu \ alpha \ beta} \ gamma ^{\ mu} \ gamma ^{\ nu} \ gamma ^{\ alpha} \ gamma ^{\ beta}.}$

For at dette skal være en invariant, må epsilonsymbolet være en tensor , og må inneholde en faktor på √ g , hvor g er determinanten for den metriske tensoren . Siden dette er negativt, er denne faktoren imaginær . Og dermed

${\ displaystyle V = i \ gamma ^{0} \ gamma ^{1} \ gamma ^{2} \ gamma ^{3}.}$

Denne matrisen får det spesielle symbolet γ ⁵ , på grunn av dens betydning når man vurderer feil transformasjoner av rom-tid, det vil si de som endrer orienteringen til basisvektorene. I standardrepresentasjonen er det

${\ displaystyle \ gamma _ {5} = {\ begin {pmatrix} 0 og I_ {2} \\ I_ {2} & 0 \ end {pmatrix}}.}$

Denne matrisen vil også bli funnet å antikommutere med de fire andre Dirac -matrisene:

${\ displaystyle \ gamma ^{5} \ gamma ^{\ mu}+\ gamma ^{\ mu} \ gamma ^{5} = 0}$

Det tar en ledende rolle når spørsmål om likhet oppstår fordi volumelementet som en rettet størrelse endrer tegn under en rom-tid-refleksjon. Å ta den positive kvadratroten ovenfor utgjør dermed å velge en hendighetskonvensjon på romtid.

Bevaring av sannsynlighetsstrøm

Ved å definere den tilstøtende spinoren

${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} = \ psi ^{\ dolk} \ gamma ^{0}}$

der ψ ^† er den konjugerte transponeringen av ψ , og merker det

${\ displaystyle (\ gamma ^{\ mu}) ^{\ dolk} \ gamma ^{0} = \ gamma ^{0} \ gamma ^{\ mu} ~,}$

vi får ved å ta det hermitiske konjugatet til Dirac -ligningen og multiplisere fra høyre med γ ⁰ , den tilstøtende ligningen:

${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} (i \ gamma ^{\ mu} \ partiell _ {\ mu}+m) = 0 ~,}$

der ∂ _μ forstås å virke til venstre. Multiplisere Dirac -ligningen med ψ fra venstre, og den tilstøtende ligningen med ψ fra høyre, og legge til, gir loven om bevaring av Dirac -strømmen:

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left ({\ bar {\ psi}} \ gamma ^{\ mu} \ psi \ right) = 0 ~.}$

Nå ser vi den store fordelen med førsteordensligningen i forhold til den Schrödinger hadde prøvd-dette er den bevarte strømtettheten som kreves av relativistisk invarians, først nå er dens fjerde komponent positiv bestemt og dermed egnet for rollen som en sannsynlighetstetthet:

${\ displaystyle J ^{0} = {\ bar {\ psi}} \ gamma ^{0} \ psi = \ psi ^{\ dolk} \ psi ~.}$

Fordi sannsynlighetstettheten nå fremstår som den fjerde komponenten i en relativistisk vektor og ikke en enkel skalar som i Schrödinger -ligningen, vil den være gjenstand for de vanlige effektene av Lorentz -transformasjonene, for eksempel tidsutvidelse. Således vil for eksempel atomprosesser som blir observert som frekvenser, nødvendigvis bli justert på en måte som er i samsvar med relativitet, mens de som involverer måling av energi og momentum, som selv danner en relativistisk vektor, vil gjennomgå parallell justering som bevarer den relativistiske kovariansen av de observerte verdiene. Selve Dirac-strømmen er da romtiden-kovariant fire-vektor:

${\ displaystyle J ^{\ mu} = {\ bar {\ psi}} \ gamma ^{\ mu} \ psi.}$

Løsninger

Se Dirac spinor for detaljer om løsninger på Dirac -ligningen. Vær oppmerksom på at siden Dirac-operatøren virker på 4-tupler av kvadratisk integrerbare funksjoner , bør løsningene være medlemmer av det samme Hilbert-rommet . Det faktum at energiene til løsningene ikke har en nedre grense er uventet - se hullteoridelen nedenfor for flere detaljer.

Sammenligning med Pauli -teorien

Nødvendigheten av å introdusere et halvt helt spinn går eksperimentelt tilbake til resultatene fra Stern-Gerlach-eksperimentet . En atomstråle kjøres gjennom et sterkt inhomogent magnetfelt , som deretter deler seg i N -deler avhengig av atomernes iboende vinkelmoment . Det ble funnet at for sølv atomer, ble strålen splittes i to-til grunntilstanden derfor ikke kunne være heltall , fordi selv om den iboende kinetiske moment av atomene var så liten som mulig, en, ville strålen være delt inn i tre deler , tilsvarende atomer med L _z = -1, 0, +1 . Konklusjonen er at sølv atomene har netto indre vinkelmomentet til Anmeldelse for 1. / 2- . Pauli la opp en teori som forklarte denne splittelsen ved å introdusere en tokomponent bølgefunksjon og et korresponderende korreksjonsuttrykk på Hamiltonian , som representerer en semi-klassisk kobling av denne bølgefunksjonen til et påført magnetfelt, slik som i SI-enheter : (Merk at dristige ansikter antyder euklidiske vektorer i 3  dimensjoner , mens Minkowski firvektor A _μ kan defineres som .) ${\ displaystyle A _ {\ mu} = (\ phi /c,-\ mathbf {A})}$

${\ displaystyle H = {\ frac {1} {2m}} \ venstre ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ right)^ {2}+e \ phi ~.}$

Her A og representerer komponentene i det elektromagnetiske firepotensialet i deres standard SI-enheter, og de tre sigmene er Pauli-matrisene . Ved kvadrering ut det første uttrykket, blir det funnet en gjenværende interaksjon med magnetfeltet, sammen med den vanlige klassiske Hamiltonian av en ladet partikkel som interagerer med et påført felt i SI -enheter : ${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle H = {\ frac {1} {2m}} \ venstre (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right)^{2}+e \ phi -{\ frac {e \ hbar} {2m}} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {B} ~.}$

Denne Hamiltonian er nå en 2 × 2 matrise, så Schrödinger-ligningen basert på den må bruke en to-komponents bølgefunksjon. Ved innføring av det eksterne elektromagnetiske 4-vektorpotensialet i Dirac-ligningen på en lignende måte, kjent som minimal kobling , tar den formen:

${\ displaystyle \ left (\ gamma ^{\ mu} (i \ hbar \ partiell _ {\ mu} -eA _ {\ mu})-mc \ right) \ psi = 0 ~.}$

En annen applikasjon av Dirac -operatøren vil nå gjengi Pauli -uttrykket nøyaktig som før, fordi de romlige Dirac -matrisene multiplisert med i , har de samme kvadrat- og kommuteringsegenskapene som Pauli -matrisene. Dessuten forklares verdien av det gyromagnetiske forholdet til elektronet, som står foran Paulis nye begrep, fra de første prinsippene. Dette var en stor prestasjon av Dirac -ligningen og ga fysikere stor tro på dens generelle korrekthet. Det er imidlertid mer. Pauli -teorien kan sees på som den lave energigrensen for Dirac -teorien på følgende måte. Først skrives ligningen i form av koblede ligninger for 2-spinorer med SI-enhetene restaurert:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} mc^{2} -E+e \ phi & c {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ \ -c {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) & mc^{2}+Ee \ phi \ end {pmatrix}} {\ begin { pmatrix} \ psi _ {+} \\\ psi _ {-} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} ~.}$

så

${\ displaystyle {\ begynne {justert} (Ee \ phi) \ psi _ {+} -c {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ psi _ {-} & = mc^{2} \ psi _ {+} \\-(Ee \ phi) \ psi _ {-}+c {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ psi _ {+} & = mc^{2} \ psi _ { -} \ end {align}}}$

Forutsatt at feltet er svakt og elektronens bevegelse ikke-relativistisk, har vi elektronens totale energi omtrent lik hvileenergien , og momentumet går over til den klassiske verdien,

${\ displaystyle {\ begin {align} Ee \ phi & \ approx mc^{2} \\\ mathbf {p} & \ approx m \ mathbf {v} \ end {align}}}$

og så kan den andre ligningen skrives

${\ displaystyle \ psi _ { -} \ approx {\ frac {1} {2mc}} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ psi _ {+}}$

som er av orden v/c- dermed ved typiske energier og hastigheter, er bunnkomponentene til Dirac -spinoren i standardrepresentasjonen mye undertrykt i forhold til toppkomponentene. Å erstatte dette uttrykket i den første ligningen gir etter en viss omorganisering

${\ displaystyle \ left (E-mc^{2} \ right) \ psi _ {+} = {\ frac {1} {2m}} \ left [{\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ right]^{2} \ psi _ {+}+e \ phi \ psi _ {+}}$

Operatøren til venstre representerer partikkelenergien redusert med hvilenergien, som bare er den klassiske energien, så vi gjenoppretter Paulis teori hvis vi identifiserer hans 2-spinor med toppkomponentene i Dirac-spinoren i den ikke-relativistiske tilnærmingen. En ytterligere tilnærming gir Schrödinger -ligningen som grensen for Pauli -teorien. Dermed kan Schrödinger-ligningen ses på som den langt ikke-relativistiske tilnærmingen til Dirac-ligningen når man kan neglisjere spinn og arbeide bare ved lave energier og hastigheter. Dette var også en stor triumf for den nye ligningen, da den spores den mystiske i som vises i den, og nødvendigheten av en kompleks bølgefunksjon, tilbake til geometrien i romtiden gjennom Dirac -algebraen. Det fremhever også hvorfor Schrödinger -ligningen, selv om den er overfladisk i form av en diffusjonsligning , faktisk representerer forplantning av bølger.

Det bør understrekes sterkt at denne separasjonen av Dirac-spinoren i store og små komponenter eksplisitt avhenger av en tilnærming med lav energi. Hele Dirac -spinoren representerer en ureduserbar helhet, og komponentene vi nettopp har unnlatt å komme frem til Pauli -teorien vil bringe inn nye fenomener i det relativistiske regimet - antimateriale og ideen om opprettelse og utslettelse av partikler.

Sammenligning med Weyl -teorien

I grensen m → 0 reduserer Dirac-ligningen til Weyl-ligningen , som beskriver relativistiske masseløse spinn- 1 ⁄ 2 partikler.

Dirac Lagrangian

Både Dirac -ligningen og Adjoint Dirac -ligningen kan fås fra (varierende) handlingen med en spesifikk Lagrangian tetthet som er gitt av:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = i \ hbar c {\ overline {\ psi}} \ gamma ^{\ mu} \ partiell _ {\ mu} \ psi -mc ^{2} {\ overline {\ psi}} \ psi}$

Hvis man varierer dette med hensyn til ψ får man Adjoint Dirac -ligningen. I mellomtiden, hvis man varierer dette med hensyn til ψ, får man Dirac -ligningen.

Fysisk tolkning

Identifikasjon av observerbare

Det kritiske fysiske spørsmålet i en kvanteteori er dette: hva er de fysisk observerbare størrelsene definert av teorien? I følge postulatene til kvantemekanikk er slike mengder definert av hermitiske operatører som virker på Hilbert -rommet til mulige tilstander i et system. Egenverdiene til disse operatørene er da de mulige resultatene av å måle den tilsvarende fysiske mengden. I Schrödinger -teorien er det enkleste objektet den samlede Hamiltonian, som representerer systemets totale energi. Hvis vi ønsker å opprettholde denne tolkningen når vi går videre til Dirac -teorien, må vi ta hamiltleren

${\ displaystyle H = \ gamma ^{0} \ left [mc ^{2}+c \ gamma ^{k} \ left (p_ {k} -qA_ {k} \ right) \ right]+cqA ^{0 }.}$

hvor det som alltid er en underforstått summering over to ganger gjentatt indeks k = 1, 2, 3 . Dette ser lovende ut, fordi vi ved inspeksjon ser restenergien til partikkelen og, i tilfelle A = 0 , energien til en ladning plassert i et elektrisk potensial cqA ⁰ . Hva med begrepet som involverer vektorpotensialet? I klassisk elektrodynamikk er energien til en ladning som beveger seg i et påført potensial

${\ displaystyle H = c {\ sqrt {\ left (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right)^{2}+m^{2} c^{2}}}+qA^{0 }.}$

Dermed skilles Dirac Hamiltonian fundamentalt fra sin klassiske motstykke, og vi må være veldig forsiktige med å identifisere det som er observerbart i denne teorien. Mye av den tilsynelatende paradoksale oppførselen implisert av Dirac -ligningen utgjør en feilidentifikasjon av disse observerbare.

Hole teori

De negative E -løsningene til ligningen er problematiske, for det ble antatt at partikkelen har en positiv energi. Matematisk sett synes det imidlertid ikke å være noen grunn for oss til å avvise negative energiløsninger. Siden de eksisterer, kan vi ikke bare ignorere dem, for når vi inkluderer interaksjonen mellom elektronet og det elektromagnetiske feltet, vil ethvert elektron som er plassert i en egenenhet med positiv energi, forfalle til negative energi-egenstater med påfølgende lavere energi. Ekte elektroner oppfører seg åpenbart ikke på denne måten, ellers forsvinner de ved å avgi energi i form av fotoner .

For å takle dette problemet introduserte Dirac hypotesen, kjent som hullteori , om at vakuumet er kvantetilstanden i mange kropp der alle elektron-egenstatene med negativ energi er okkupert. Denne beskrivelsen av vakuumet som et "hav" av elektroner kalles Dirac -havet . Siden Pauli-ekskluderingsprinsippet forbyr elektroner å okkupere den samme tilstanden, ville ethvert ekstra elektron bli tvunget til å okkupere en egenenhet med positiv energi, og elektroner med positiv energi ville bli forbudt å forfalle til negative energien egenstater.

Hvis det er forbudt for et elektron å oppta positive og negative energistater samtidig, må funksjonen kjent som Zitterbewegung , som skyldes interferens mellom tilstander med positiv energi og negativ energi, anses å være en ufysisk forutsigelse av tidsavhengig Dirac-teori. Denne konklusjonen kan utledes av forklaringen på hullteorien gitt i foregående avsnitt. Nylige resultater har blitt publisert i Nature [R. Gerritsma, G. Kirchmair, F. Zaehringer, E. Solano, R. Blatt og C. Roos, Nature 463, 68-71 (2010)] der Zitterbewegung-funksjonen ble simulert i et fanget ion-eksperiment. Dette eksperimentet påvirker hulltolkningen hvis man konkluderer med at fysikk-laboratorieeksperimentet ikke bare er en sjekk på den matematiske korrektheten til en Dirac-ligningsløsning, men måling av en reell effekt hvis påvisbarhet i elektronfysikk fortsatt er utenfor rekkevidde.

Dirac begrunnet videre at hvis negativ-energi-egenstatene er ufullstendig fylt, ville hver ledige egenstat-kalt et hull -oppføre seg som en positivt ladet partikkel. Hullet har en positiv energi fordi det kreves energi for å lage et partikkel -hull -par fra vakuumet. Som nevnt ovenfor trodde Dirac først at hullet kan være protonen, men Hermann Weyl påpekte at hullet skulle oppføre seg som om det hadde samme masse som et elektron, mens protonen er over 1800 ganger tyngre. Hullet ble til slutt identifisert som positronet , eksperimentelt oppdaget av Carl Anderson i 1932.

Det er ikke helt tilfredsstillende å beskrive "vakuumet" ved å bruke et uendelig hav av elektroner med negativ energi. De uendelig negative bidragene fra havet av elektroner med negativ energi må avbrytes av en uendelig positiv "bar" energi, og bidraget til ladningstettheten og strømmen som kommer fra havet av elektroner med negativ energi, kanselleres nøyaktig av en uendelig positiv " jellium "bakgrunn, slik at vakuumets netto elektriske ladningstetthet er null. I kvantefeltteorien tillater en Bogoliubov-transformasjon på etablerings- og utslettelsesoperatørene (å gjøre en okkupert negativ energi-elektron-tilstand til en ubebodd positiv energipositron-tilstand og en ubebodd negativ-energi-elektron-tilstand til en okkupert positiv-energi-positron-tilstand) oss å omgå Dirac -sjøformalismen, selv om den formelt sett tilsvarer den.

I visse anvendelser av kondensert fysikk er imidlertid de underliggende begrepene "hullteori" gyldige. Havet av ledningselektroner i en elektrisk leder , kalt et Fermi -hav , inneholder elektroner med energier opp til det kjemiske potensialet i systemet. En ufylt tilstand i Fermi -havet oppfører seg som et positivt ladet elektron, selv om det omtales som et "hull" i stedet for et "positron". Den negative ladningen til Fermihavet balanseres av det positivt ladede ioniske gitteret til materialet.

I kvantefeltteori

I kvantefeltteorier som kvanteelektrodynamikk , er Dirac -feltet gjenstand for en prosess med andre kvantisering , som løser noen av de paradoksale trekkene ved ligningen.

Lorentz kovarians av Dirac -ligningen

Dirac -ligningen er Lorentz -kovariant . Å artikulere dette bidrar til å belyse ikke bare Dirac -ligningen, men også Majorana -spinoren og Elko -spinoren , som selv om de er nært beslektet, har subtile og viktige forskjeller.

Å forstå Lorentz -kovarians forenkles ved å huske på den geometriske karakteren til prosessen. La være et enkelt, fast punkt i romtidens manifold . Beliggenheten kan uttrykkes i flere koordinatsystemer . I fysikklitteraturen er disse skrevet som og , med den forståelse at både og beskriver det samme punktet , men i forskjellige lokale referanserammer (en referanseramme over en liten utvidet lapp av romtid). Man kan tenke seg å ha en fiber med forskjellige koordinatrammer over den. I geometriske termer sier man at romtiden kan karakteriseres som en fiberbunt , og spesielt rammebunten . Forskjellen mellom to punkter og i samme fiber er en kombinasjon av rotasjoner og Lorentz boosts . Et valg av koordinatramme er en (lokal) seksjon gjennom denne pakken. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x^{\ prime}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x^{\ prime}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x^{\ prime}}$

Koblet til rammebunten er en andre bunt, spinorbunten . En seksjon gjennom spinorbunten er bare partikkelfeltet (Dirac -spinoren, i dette tilfellet). Ulike punkter i spinorfiberen tilsvarer det samme fysiske objektet (fermionen), men uttrykt i forskjellige Lorentz -rammer. Det er klart at rammebunten og spinorbunten må bindes sammen på en konsekvent måte for å få konsistente resultater; formelt sier man at spinorbunten er den tilhørende bunten ; den er knyttet til en prinsippbunt , som i det foreliggende tilfellet er rammebunten. Forskjeller mellom punkter på fiberen tilsvarer systemets symmetrier. Spinnbunten har to distinkte generatorer av sine symmetrier: det totale vinkelmomentet og det iboende vinkelmomentet . Begge tilsvarer Lorentz -transformasjoner, men på forskjellige måter.

Presentasjonen her følger presentasjonen til Itzykson og Zuber. Det er nesten identisk med Bjorken og Drell. En lignende avledning i en generell relativistisk setting finnes i Weinberg. Under en Lorentz -transformasjon skal Dirac -spinoren transformeres som ${\ displaystyle x \ mapsto x^{\ prime},}$

${\ displaystyle \ psi ^{\ prime} (x ^{\ prime}) = S \ psi (x)}$

Det kan vises at et eksplisitt uttrykk for er gitt av ${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle S = \ exp \ left ({\ frac {-i} {4}} \ omega ^{\ mu \ nu} \ sigma _ {\ mu \ nu} \ right)}$

hvor parameteriserer Lorentz -transformasjonen, og er 4 × 4 -matrisen ${\ displaystyle \ omega ^{\ mu \ nu}}$${\ displaystyle \ sigma _ {\ mu \ nu}}$

${\ displaystyle \ sigma ^{\ mu \ nu} = {\ frac {i} {2}} [\ gamma ^{\ mu}, \ gamma ^{\ nu}] ~.}$

Denne matrisen kan tolkes som det iboende vinkelmomentet i Dirac -feltet. At den fortjener denne tolkningen oppstår ved å kontrastere den til generatoren av Lorentz -transformasjoner , som har formen ${\ displaystyle J _ {\ mu \ nu}}$

${\ displaystyle J _ {\ mu \ nu} = {\ frac {1} {2}} \ sigma _ {\ mu \ nu}+i (x _ {\ mu} \ delvis _ {\ nu} -x _ {\ nu } \ delvis _ {\ mu})}$

Dette kan tolkes som det totale vinkelmomentet . Det virker på spinorfeltet som

${\ displaystyle \ psi ^{\ prime} (x) = \ exp \ left ({\ frac {-i} {2}} \ omega ^{\ mu \ nu} J _ {\ mu \ nu} \ right) \ psi (x)}$

Vær oppmerksom på at ovennevnte ikke har en prime på det: Ovenstående oppnås ved å transformere innhente endringen til og deretter gå tilbake til det opprinnelige koordinatsystemet . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x \ mapsto x^{\ prime}}$${\ displaystyle \ psi (x) \ mapsto \ psi ^{\ prime} (x ^{\ prime})}$${\ displaystyle x^{\ prime} \ mapsto x}$

Den geometriske tolkningen av det ovenstående er at den ramme feltet er affine , som ikke har noen foretrukken opprinnelse. Generatoren genererer symmetriene til dette rommet: det gir en merking av et fast punkt Generatoren genererer en bevegelse fra ett punkt i fiberen til et annet: en bevegelse fra med begge og fortsatt tilsvarer det samme romtidspunktet Disse kanskje stumpe kommentarene kan være belyst med eksplisitt algebra. ${\ displaystyle J _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle x ~.}$${\ displaystyle \ sigma _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle x \ mapsto x^{\ prime}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x^{\ prime}}$${\ displaystyle a.}$

La det være en Lorentz -transformasjon. Dirac -ligningen er ${\ displaystyle x^{\ prime} = \ Lambda x}$

${\ displaystyle i \ gamma ^{\ mu} {\ frac {\ partial} {\ partiell x ^{\ mu}}} \ psi (x) -m \ psi (x) = 0}$

Hvis Dirac -ligningen skal være kovariant, bør den ha nøyaktig samme form i alle Lorentz -rammer:

${\ displaystyle i \ gamma ^{\ mu} {\ frac {\ partial} {\ partiell x ^{\ prime \ mu}}} \ psi ^{\ prime} (x ^{\ prime})-m \ psi ^{\ prime} (x^{\ prime}) = 0}$

De to spinorene og skal begge beskrive det samme fysiske feltet, og det bør derfor være relatert til en transformasjon som ikke endrer noen fysiske observerbare (ladning, strøm, masse, etc. ) Transformasjonen skal bare kode for endringen av koordinatrammen. Det kan vises at en slik transformasjon er en 4 × 4 enhetsmatrise . Dermed kan man anta at forholdet mellom de to rammene kan skrives som ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi ^{\ prime}}$

${\ displaystyle \ psi ^{\ prime} (x ^{\ prime}) = S (\ Lambda) \ psi (x)}$

Ved å sette dette inn i den transformerte ligningen, blir resultatet

${\ displaystyle i \ gamma^{\ mu} {\ frac {\ partiell x^{\ nu}} {\ delvis x^{\ prime \ mu}}} {\ frac {\ delvis} {\ delvis x^{ \ nu}}} S (\ Lambda) \ psi (x) -S (\ Lambda) \ psi (x) = 0}$

Lorentz -transformasjonen er

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell x^{\ nu}} {\ delvis x^{\ prime \ mu}}} = {\ venstre (\ Lambda^{-1} \ høyre)^{\ nu}} _ {\ mu}}$

Den opprinnelige Dirac -ligningen blir deretter gjenvunnet hvis

${\ displaystyle S (\ Lambda) \ gamma ^{\ mu} S ^{-1} (\ Lambda) = {\ left (\ Lambda ^{-1} \ right) ^{\ mu}} _ {\ nu } \ gamma ^{\ nu}}$

Et eksplisitt uttrykk for (lik uttrykket gitt ovenfor) kan oppnås ved å vurdere en uendelig liten Lorentz -transformasjon ${\ displaystyle S (\ Lambda)}$

${\ displaystyle {\ Lambda ^{\ mu}} _ {\ nu} = {g ^{\ mu}} _ {\ nu}+{\ omega ^{\ mu}} _ {\ nu}}$

hvor er den metriske tensoren og er antisymmetrisk. Etter plugging og chugging får man ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ mu \ nu}}$

${\ displaystyle S (\ Lambda) = I+{\ frac {-i} {4}} \ omega ^{\ mu \ nu} \ sigma _ {\ mu \ nu}+{\ mathcal {O}} \ venstre ( \ Lambda ^{2} \ høyre)}$

som er den (uendelige) formen ovenfor. For å få affine -merkingen, skriv ${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ psi ^{\ prime} (x ^{\ prime}) & = \ left (I+{\ frac {-i} {4}} \ omega ^{\ mu \ nu} \ sigma _ {\ mu \ nu} \ høyre) \ psi (x) \\ & = \ venstre (I+{\ frac {-i} {4}} \ omega ^{\ mu \ nu} \ sigma _ {\ mu \ nu} \ høyre) \ psi (x^{\ prime}+{\ omega^{\ mu}} _ {\ nu} \, x^{\ prime \, \ nu}) \\ & = \ venstre (I+{\ frac {-i} {4}} \ omega ^{\ mu \ nu} \ sigma _ {\ mu \ nu} -x _ {\ mu} ^{\ prime} \ omega ^{\ mu \ nu } \ delvis _ {\ nu} \ høyre) \ psi (x ^{\ prime}) \\ & = \ venstre (I+{\ frac {-i} {2}} \ omega ^{\ mu \ nu} J_ {\ mu \ nu} \ høyre) \ psi (x^{\ prime}) \\\ ende {justert}}}$

Etter riktig antisymmetriering får man generatoren av symmetrier gitt tidligere. Således kan både og kan sies å være "generatorene til Lorentz -transformasjoner", men med et subtilt skille: den første tilsvarer en ommerking av punkter på affin rammebunten , som tvinger en oversettelse langs fiberen til spinoren på spinnet bunt , mens den andre tilsvarer oversettelser langs spinnbuntens fiber (tatt som en bevegelse langs rammebunten, samt en bevegelse langs spinnbuntens fiber.) Weinberg gir ytterligere argumenter for den fysiske tolkningen av disse som totalt og iboende vinkelmoment. ${\ displaystyle J _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle J _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle \ sigma _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle x \ mapsto x^{\ prime}}$${\ displaystyle \ psi \ mapsto \ psi ^{\ prime}}$

Andre formuleringer

Dirac -ligningen kan formuleres på en rekke andre måter.

Buet romtid

Denne artikkelen har utviklet Dirac -ligningen i flat romtid i henhold til spesiell relativitet. Det er mulig å formulere Dirac -ligningen i buet romtid .

Algebraen til det fysiske rommet

Denne artikkelen utviklet Dirac -ligningen ved å bruke fire vektorer og Schrödinger -operatører. Den Dirac ligningen i algebra av fysisk plass bruker en Clifford algebra over reelle tall, en type geometrisk algebra.

Se også

Referanser

Sitater

Utvalgte papirer

• Anderson, Carl (1933). "Det positive elektronet" . Fysisk gjennomgang . 43 (6): 491. Bibcode : 1933PhRv ... 43..491A . doi : 10.1103/PhysRev.43.491 .
• Arminjon, M .; F. Reifler (2013). "Ekvivalente former for Dirac -ligninger i buede romtiden og generaliserte de Broglie -forhold". Brazilian Journal of Physics . 43 (1–2): 64–77. arXiv : 1103.3201 . Bibcode : 2013BrJPh..43 ... 64A . doi : 10.1007/s13538-012-0111-0 . S2CID  38235437 .
• Dirac, PAM (1928). "The Quantum Theory of the Electron" (PDF) . Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 117 (778): 610–624. Bibcode : 1928RSPSA.117..610D . doi : 10.1098/rspa.1928.0023 . JSTOR  94981 .
• Dirac, PAM (1930). "En teori om elektroner og protoner" . Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 126 (801): 360–365. Bibcode : 1930RSPSA.126..360D . doi : 10.1098/rspa.1930.0013 . JSTOR  95359 .
• Frisch, R .; Stern, O. (1933). "Über die magnetische Ablenkung von Wasserstoffmolekülen und das magnetische Moment des Protons. I". Zeitschrift für Physik . 85 (1–2): 4. Bibcode : 1933ZPhy ... 85 .... 4F . doi : 10.1007/BF01330773 . S2CID  120793548 .

Lærebøker

• Bjorken, JD; Drell, S. Relativistic Quantum mechanics .
• Halzen, Francis ; Martin, Alan (1984). Quarks & Leptons: An Introduction Course in Modern Particle Physics . John Wiley & Sons.
• Griffiths, DJ (2008). Introduksjon til elementære partikler (2. utg.). Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40601-2.
• Rae, Alastair IM; Jim Napolitano (2015). Quantum Mechanics (6. utg.). Routledge. ISBN 978-1482299182.
• Schiff, LI (1968). Quantum Mechanics (3. utg.). McGraw-Hill.
• Shankar, R. (1994). Principles of Quantum Mechanics (2. utg.). Plenum.
• Thaller, B. (1992). Dirac -ligningen . Tekster og monografier i fysikk. Springer.

Eksterne linker

• Dirac -ligningen på MathPages
• Dirac -ligningens natur, dens løsninger og spinn
• Dirac -ligning for en spinn 1 ⁄ 2 partikkel
• Pedagogiske hjelpemidler til kvantefeltteori klikk på Kap. 4 for en trinnvis introduksjon til Dirac-ligningen, spinorer og relativistiske spin/helisitetsoperatorer.
• BBC Documentary Atom 3 The Illusion of Reality