Sylindrisk koordinatsystem - Cylindrical coordinate system
Et sylindrisk koordinatsystem er et tredimensjonalt koordinatsystem som angir punktposisjoner etter avstanden fra en valgt referanseakse, retningen fra aksen i forhold til en valgt referanseretning og avstanden fra et valgt referanseplan vinkelrett på aksen. Sistnevnte avstand er gitt som et positivt eller negativt tall, avhengig av hvilken side av referanseplanet som vender mot punktet.
Den opprinnelsen av systemet er det punkt hvor alle tre koordinater kan gis som null. Dette er skjæringspunktet mellom referanseplanet og aksen. Aksen kalles på forskjellige måter den sylindriske eller langsgående aksen, for å skille den fra polaraksen , som er strålen som ligger i referanseplanet, som starter ved opprinnelsen og peker i referanseretningen. Andre retninger vinkelrett på lengdeaksen kalles radielle linjer .
Avstanden fra aksen kan kalles radial avstand eller radius , mens vinkelkoordinaten noen ganger blir referert til som vinkelposisjonen eller asimuten . Radius og asimut kalles sammen polarkoordinatene , ettersom de tilsvarer et todimensjonalt polært koordinatsystem i planet gjennom punktet, parallelt med referanseplanet. Den tredje koordinaten kan kalles høyde eller høyde (hvis referanseplanet anses horisontalt), langsgående posisjon eller aksial posisjon .
Sylinderkoordinater er nyttige i forbindelse med gjenstander og fenomener som har en viss rotasjonssymmetri om den langsgående akse, som vannstrøm i et rett rør med rundt tverrsnitt, varmefordeling i en metallsylinder , elektromagnetiske felt som frembringes av en elektrisk strøm i en lang, rett ledning, akkretjonsskiver i astronomi, og så videre.
De kalles noen ganger "sylindriske polære koordinater" og "polare sylindriske koordinater", og brukes noen ganger for å spesifisere posisjonen til stjerner i en galakse ("galaktosentriske sylindriske polære koordinater").
Definisjon
De tre koordinatene ( ρ , φ , z ) til et punkt P er definert som:
- Den aksiale avstand eller radial avstand ρ er den euklidske avstand fra z -aksen til punktet P .
- Den asimut φ er vinkelen mellom referanseretningen på det valgte plan, og linjen fra origo til projeksjonen av P på flyet.
- Den aksielle koordinatene eller høyde z er den signerte avstanden fra det valgte plan til et punkt P .
Unike sylindriske koordinater
Som i polære koordinater har det samme punktet med sylindriske koordinater ( ρ , φ , z ) uendelig mange likeverdige koordinater, nemlig ( ρ , φ ± n × 360 °, z ) og ( - ρ , φ ± (2 n + 1) × 180 °, z ), hvor n er et helt tall. Videre, hvis radius ρ er null, er asimuten vilkårlig.
I situasjoner der noen ønsker et unikt sett med koordinater for hvert punkt, kan man begrense radius til å være ikke-negativ ( ρ ≥ 0 ) og azimut φ til å ligge i et bestemt intervall som strekker seg 360 °, for eksempel [−180 °, +180 °] eller [0,360 °] .
Konvensjoner
Notasjonen for sylindriske koordinater er ikke ensartet. Den ISO- standarden 31-11 anbefaler ( ρ , φ , z ) , hvor ρ er den radielle koordinaten, φ asimut, og z høyden. Imidlertid er radius også ofte betegnet r eller s , asimuten med θ eller t , og den tredje koordinaten med h eller (hvis den sylindriske aksen regnes som horisontal) x , eller en hvilken som helst kontekstspesifikk bokstav.
I konkrete situasjoner, og i mange matematiske illustrasjoner, måles en positiv vinkelkoordinat mot klokken sett fra et hvilket som helst punkt med positiv høyde.
Koordinere systemkonverteringer
Det sylindriske koordinatsystemet er et av mange tredimensjonale koordinatsystemer. Følgende formler kan brukes til å konvertere mellom dem.
Kartesiske koordinater
For konvertering mellom sylindriske og kartesiske koordinater er det praktisk å anta at referanseplanet til det første er det kartesiske xy -planet (med ligning z = 0 ), og den sylindriske aksen er den kartesiske z -aksen. Da er z -koordinaten den samme i begge systemene, og korrespondansen mellom sylindrisk ( ρ , φ , z ) og kartesisk ( x , y , z ) er den samme som for polare koordinater, nemlig
i en retning, og
i den andre. Arcsin -funksjonen er inversen av sinusfunksjonen , og antas å returnere en vinkel i området [ - π/2,+π/2] = [−90 °,+90 °] . Disse formlene gir en asimut φ i området [−90 °,+270 °] . For andre formler, se artikkelen om polarkoordinaten .
Mange moderne programmeringsspråk gir en funksjon som vil beregne riktig asimut φ , i området (−π, π) , gitt x og y , uten at det er nødvendig å utføre en caseanalyse som ovenfor. For eksempel kalles denne funksjonen av atan2 ( y , x ) i programmeringsspråket C , og atan ( y , x ) i Common Lisp .
Sfæriske koordinater
Sfæriske koordinater (radius r , høyde eller helling θ , asimut φ ), kan konverteres til sylindriske koordinater ved å:
θ er høyde: | θ er tilbøyelighet: |
Sylindriske koordinater kan konverteres til sfæriske koordinater av:
θ er høyde: | θ er tilbøyelighet: |
Linje- og volumelementer
- Se flere integraler for detaljer om volumintegrasjon i sylindriske koordinater, og Del i sylindriske og sfæriske koordinater for vektorberegningsformler .
I mange problemer med sylindriske polære koordinater er det nyttig å kjenne linje- og volumelementene; disse brukes i integrasjon for å løse problemer som involverer baner og volumer.
Den linje element er
Den volumelement er
Den overflateelementet i en overflate med konstant radius ρ (en vertikal sylinder) er
Overflateelementet i en overflate med konstant asimut φ (et vertikalt halvplan) er
Overflateelementet i en overflate med konstant høyde z (et horisontalt plan) er
Den del operatøren i dette systemet fører til følgende uttrykk for gradient , divergens , curl og Laplace-operatoren :
Sylindriske harmoniske
Løsningene til Laplace -ligningen i et system med sylindrisk symmetri kalles sylindriske harmoniske .
Se også
- Liste over kanoniske koordinat transformasjoner
- Vektorfelt i sylindriske og sfæriske koordinater
- Del inn sylindriske og sfæriske koordinater
Referanser
Videre lesning
- Morse, Philip M .; Feshbach, Herman (1953). Metoder for teoretisk fysikk, del I . New York City : McGraw-Hill . s. 656–657. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515 .
- Margenau, Henry ; Murphy, George M. (1956). Matematikk for fysikk og kjemi . New York City: D. van Nostrand. s. 178 . ISBN 9780882754239. LCCN 55010911 . OCLC 3017486 .
- Korn, Granino A .; Korn, Theresa M. (1961). Matematisk håndbok for forskere og ingeniører . New York City: McGraw-Hill. s. 174–175 . LCCN 59014456 . ASIN B0000CKZX7.
- Sauer, Robert; Szabó, István (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . New York City: Springer-Verlag . s. 95. LCCN 67025285 .
- Zwillinger, Daniel (1992). Håndbok for integrasjon . Boston : Jones og Bartlett Publishers . s. 113. ISBN 0-86720-293-9. OCLC 25710023 .
- Moon, P .; Spencer, DE (1988). "Sirkulære sylinderkoordinater (r, ψ, z)". Field Theory Handbook, Inkludert koordinatsystemer, differensialligninger og deres løsninger (korrigert 2. utg.). New York City: Springer-Verlag. s. 12–17, tabell 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2.
Eksterne linker
- "Sylinderkoordinater" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- MathWorld beskrivelse av sylindriske koordinater
- Cylindrical Coordinates Animasjoner som illustrerer sylindriske koordinater av Frank Wattenberg