Differensial-algebraisk ligningssystem - Differential-algebraic system of equations

Differensiallikninger
Navier – Stokes differensiallikninger som brukes til å simulere luftstrømmen rundt en hindring
omfang Naturvitenskap Ingeniørfag Astronomi Fysikk Kjemi Biologi Geologi Anvendt matematikk Kontinuummekanikk Kaos teori Dynamiske systemer Samfunnsfag Økonomi Befolkningsdynamikk
Klassifisering
Typer Vanlig Delvis Differensial-algebraisk Integro-differensial Brøk Lineær Ikke-lineær Etter variabel type Avhengige og uavhengige variabler Autonom Kompleks Koblet / frakoblet Nøyaktig Homogen  / ikke- homogen Funksjoner Rekkefølge Operatør Notasjon
Forhold til prosesser Forskjell (diskret analog) Stokastisk Stokastisk delvis Forsinkelse
Løsning
Eksistens og unikhet Setning fra Picard – Lindelöf Peano eksistenssetning Carathéodory eksistenssetning Teori for Cauchy – Kowalevski
Generelle temaer Wronskian Faseportrett Faseplass Lyapunov  / asymptotisk  / eksponensiell stabilitet Konvergensrate Serie  / integrerte løsninger Numerisk integrasjon Dirac delta-funksjon
Løsningsmetoder Undersøkelse Metode for egenskaper Euler Eksponentiell responsformel Endelig forskjell  ( Crank – Nicolson ) Endelig element Uendelig element Endelig volum Galerkin Petrov – Galerkin Integrerende faktor Integrerte transformasjoner Forstyrrelsesteori Runge – Kutta Separasjon av variabler Ubestemte koeffisienter Variasjon av parametere
Mennesker Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

I matematikk er et differensial-algebraisk ligningssystem ( DAE ) et ligningssystem som enten inneholder differensiallikninger og algebraiske ligninger , eller tilsvarer et slikt system. Slike systemer forekommer som den generelle formen for (systemer av) differensiallikninger for vektorverdierte funksjoner x i en uavhengig variabel t ,

${\ displaystyle F ({\ dot {x}} (t), \, x (t), \, t) = 0}$

der er en vektor av avhengige variabler , og systemet har like mange ligninger . De skiller seg fra vanlig differensialligning (ODE) ved at en DAE ikke er helt løselig for derivatene av alle komponentene i funksjonen x fordi disse kanskje ikke alle vises (dvs. at noen ligninger er algebraiske); teknisk sett skilles det mellom et implisitt ODE-system [som kan gjengis eksplisitt] og et DAE-system at den jakobiske matrisen er en entallmatrise for et DAE-system. Dette skillet mellom ODE og DAE er gjort fordi DAE har forskjellige egenskaper og generelt er vanskeligere å løse. ${\ displaystyle x: [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle x (t) = (x_ {1} (t), \ prikker, x_ {n} (t))}$${\ displaystyle F = (F_ {1}, \ dots, F_ {n}): \ mathbb {R} ^ {2n + 1} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial F (u, v, t)} {\ partial u}}}$

Rent praktisk er skillet mellom DAE og ODE ofte at løsningen av et DAE-system avhenger av derivatene av inngangssignalet og ikke bare selve signalet som i tilfelle ODE; dette problemet er ofte oppstått i systemer med hysterese , for eksempel Schmitt-utløseren .

Denne forskjellen er tydeligere hvis systemet kan skrives om slik at vi i stedet for x ser på et par vektorer med avhengige variabler og DAE har form ${\ displaystyle (x, y)}$

${\ displaystyle {\ begin {justert} {\ dot {x}} (t) & = f (x (t), y (t), t), \\ 0 & = g (x (t), y (t ), t). \ end {align}}}$

hvor , , og${\ displaystyle x (t) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle y (t) \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n + m + 1} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n + m + 1} \ to \ mathbb {R} ^ {m}.}$

Et DAE-system av dette skjemaet kalles semi-eksplisitt . Hver løsning av andre halvdel g av ligningen definerer en unik retning for x via første halvdel f av ligningene, mens retningen for y er vilkårlig. Men ikke hvert punkt (x, y, t) er en løsning av g . Variablene i x og den første halvdel f av ligningene får den egenskap differensial . Komponentene i y og andre halvdel g av ligningene kalles systemets algebraiske variabler eller ligninger. [Begrepet algebraisk i sammenheng med DAE betyr bare fri for derivater og er ikke relatert til (abstrakt) algebra.]

Løsningen til en DAE består av to deler, først søket etter konsistente startverdier og deretter beregningen av en bane. For å finne konsistente startverdier er det ofte nødvendig å vurdere derivatene av noen av komponentfunksjonene til DAE. Den høyeste rekkefølgen av et derivat som er nødvendig for denne prosessen kalles differensieringsindeksen . Ligningene avledet ved beregning av indeksen og konsistente startverdier kan også være til nytte i beregningen av banen. Et semi-eksplisitt DAE-system kan konverteres til et implisitt ved å redusere differensieringsindeksen med en, og omvendt.

Andre former for DAE

Skillet mellom DAE og ODE blir tydelig hvis noen av de avhengige variablene oppstår uten deres derivater. Vektoren av avhengige variabler kan da skrives som par, og systemet med differensiallikninger av DAE vises i formen ${\ displaystyle (x, y)}$

${\ displaystyle F \ left ({\ dot {x}}, x, y, t \ right) = 0}$

hvor

• ${\ displaystyle x}$, en vektor i , er avhengige variabler der derivater er tilstede ( differensialvariabler ),${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$
• ${\ displaystyle y}$, en vektor i , er avhengige variabler der ingen derivater er tilstede ( algebraiske variabler ),${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$
• ${\ displaystyle t}$, en skalar (vanligvis tid) er en uavhengig variabel.
• ${\ displaystyle F}$er en vektor av funksjoner som involverer delmengder av disse variablene og derivatene.${\ displaystyle n + m}$${\ displaystyle n + m + 1}$${\ displaystyle n}$

Som en helhet er settet med DAEer en funksjon

${\ displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {(2n + m + 1)} \ to \ mathbb {R} ^ {(n + m)}.}$

Innledende forhold må være en løsning av systemet med ligningene i skjemaet

${\ displaystyle F \ left ({\ dot {x}} (t_ {0}), \, x (t_ {0}), y (t_ {0}), t_ {0} \ right) = 0.}$

Eksempler

Oppførselen til et pendel med lengden L med sentrum i (0,0) i kartesiske koordinater ( x , y ) er beskrevet av Euler – Lagrange-ligningene

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} & = u, & {\ dot {y}} & = v, \\ {\ dot {u}} & = \ lambda x, & {\ punkt {v}} & = \ lambda yg, \\ x ^ {2} + y ^ {2} & = L ^ {2}, \ end {justert}}}$

hvor er en Lagrange-multiplikator . Momentumvariablene u og v bør begrenses av loven om bevaring av energi, og deres retning skal peke langs sirkelen. Ingen av betingelsene er eksplisitte i disse ligningene. Differensiering av den siste ligningen fører til ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle {\ begin {align} && {\ dot {x}} \, x + {\ dot {y}} \, y & = 0 \\\ Rightarrow && u \, x + v \, y & = 0, \ end {justert}}}$

begrense bevegelsesretningen til sirkelens tangens. Det neste derivatet av denne ligningen innebærer

${\ displaystyle {\ begin {align} && {\ dot {u}} \, x + {\ dot {v}} \, y + u \, {\ dot {x}} + v \, {\ dot {y }} & = 0, \\\ Rightarrow && \ lambda (x ^ {2} + y ^ {2}) - gy + u ^ {2} + v ^ {2} & = 0, \\\ Rightarrow && L ^ {2} \, \ lambda -gy + u ^ {2} + v ^ {2} & = 0, \ end {justert}}}$

og avledningen av den siste identiteten forenkler som implisitt innebærer bevaring av energi, siden konstanten etter integrering er summen av kinetisk og potensiell energi. ${\ displaystyle L ^ {2} {\ dot {\ lambda}} - 3gv = 0}$${\ displaystyle E = {\ tfrac {3} {2}} gy - {\ tfrac {1} {2}} L ^ {2} \ lambda = {\ frac {1} {2}} (u ^ {2 } + v ^ {2}) + gy}$

For å oppnå unike avledede verdier for alle avhengige variabler ble den siste ligningen differensiert tre ganger. Dette gir en differensieringsindeks på 3, som er typisk for begrensede mekaniske systemer.

Hvis initialverdier og et tegn for y er gitt, blir de andre variablene bestemt via , og hvis da og . For å gå videre til neste punkt er det tilstrekkelig å få derivatene av x og u , det vil si systemet som skal løses nå ${\ displaystyle (x_ {0}, u_ {0})}$${\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {L ^ {2} -x ^ {2}}}}$${\ displaystyle y \ neq 0}$${\ displaystyle v = -ux / y}$${\ displaystyle \ lambda = (gy-u ^ {2} -v ^ {2}) / L ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} & = u, \\ {\ dot {u}} & = \ lambda x, \\ [0.3em] 0 & = x ^ {2} + y ^ {2} -L ^ {2}, \\ 0 & = ux + vy, \\ 0 & = u ^ {2} -gy + v ^ {2} + L ^ {2} \, \ lambda. \ End { justert}}}$

Dette er en semi-eksplisitt DAE av indeks 1. Et annet sett med lignende ligninger kan oppnås fra og med et tegn for x . ${\ displaystyle (y_ {0}, v_ {0})}$

DAEs forekommer også naturlig i modellering av kretser med ikke-lineære enheter. Modifisert nodalanalyse ved bruk av DAE brukes for eksempel i den allestedsnærværende SPICE- familien av numeriske kretssimulatorer. På samme måte kan Fraunhofer's Analog Insydes Mathematica- pakke brukes til å utlede DAE fra en netliste og deretter forenkle eller til og med løse ligningene symbolsk i noen tilfeller. Det er verdt å merke seg at indeksen til en DAE (av en krets) kan gjøres vilkårlig høy ved kaskading / kobling via kondensatorens operasjonsforsterkere med positiv tilbakemelding .

Halveksplisitt DAE for indeks 1

DAE av skjemaet

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} & = f (x, y, t), \\ 0 & = g (x, y, t). \ end {align}}}$

kalles semi-eksplisitt. Indeks-1-egenskapen krever at g er løselig for y . Med andre ord, er differensieringen indeks 1 hvis ved differensiering av de algebraiske ligningene for t et implisitt ODE-systemet medfører,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} & = f (x, y, t) \\ 0 & = \ partial _ {x} g (x, y, t) {\ dot {x} } + \ delvis _ {y} g (x, y, t) {\ punkt {y}} + \ delvis _ {t} g (x, y, t), \ slutt {justert}}}$

som er løselig for hvis${\ displaystyle ({\ dot {x}}, \, {\ dot {y}})}$${\ displaystyle \ det \ left (\ partial _ {y} g (x, y, t) \ right) \ neq 0.}$

Hver tilstrekkelig glatt DAE kan nesten overalt reduseres til denne semi-eksplisitte indeks-1-formen.

Numerisk behandling av DAE og applikasjoner

To store problemer med å løse DAE er indeksreduksjon og konsistente innledende forhold . De fleste numeriske løsere krever vanlige differensiallikninger og algebraiske ligninger av skjemaet

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dx} {dt}} & = f \ left (x, y, t \ right), \\ 0 & = g \ left (x, y, t \ right) . \ end {align}}}$

Det er en ikke-triviell oppgave å konvertere vilkårlige DAE-systemer til ODEer for løsning av rene ODE-løsere. Teknikker som kan benyttes inkluderer Pantelides algoritme og dummy derivatindeksreduksjonsmetode . Alternativt er en direkte løsning av DAE-er med høy indeks med inkonsekvente startbetingelser også mulig. Denne løsningsmetoden innebærer en transformasjon av de avledede elementene gjennom ortogonal kollokasjon på endelige elementer eller direkte transkripsjon til algebraiske uttrykk. Dette gjør at DAE-er av hvilken som helst indeks kan løses uten omlegging i åpen ligning

${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = f \ left ({\ frac {dx} {dt}}, x, y, t \ right), \\ 0 & = g \ left (x, y, t \ right ). \ slutt {justert}}}$

Når modellen er konvertert til algebraisk ligningsform, kan den løses av ikke-lineære programmeringsløsere i stor skala (se APMonitor ).

Trekkbarhet

Flere målinger av DAEs trekkbarhet når det gjelder numeriske metoder har utviklet seg, som differensieringsindeks , forstyrrelsesindeks , trekkbarhetsindeks , geometrisk indeks og Kronecker-indeksen .

Strukturanalyse for DAE

Vi bruker -metoden til å analysere en DAE. Vi konstruerer for DAE en signaturmatrise , der hver rad tilsvarer hver ligning og hver kolonne tilsvarer hver variabel . Posten i posisjon er , som betegner den høyeste rekkefølgen av derivater som forekommer i , eller hvis ikke forekommer i . ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Sigma = (\ sigma _ {i, j})}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle x_ {j}}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle \ sigma _ {i, j}}$${\ displaystyle x_ {j}}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle x_ {j}}$${\ displaystyle f_ {i}}$

For pendel DAE ovenfor er variablene . Den tilsvarende signaturmatrisen er ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = (x, y, u, v, \ lambda)}$

${\ displaystyle \ Sigma = {\ begin {bmatrix} 1 & - & 0 ^ {\ bullet} & - & - \\ - & 1 ^ {\ bullet} & - & 0 & - \\ 0 & - & 1 & - & 0 ^ {\ bullet} \ \ - & 0 & - & 1 ^ {\ bullet} & 0 \\ 0 ^ {\ bullet} & 0 & - & - & - \ end {bmatrix}}}$

Se også

• Algebraisk differensialligning , et annet konsept til tross for lignende navn
• Forsink differensialligning
• Delvis differensial algebraisk ligning
• Modelica Language

Referanser

Videre lesning

Eksterne linker

• http://www.scholarpedia.org/article/Differential-algebraic_equations