Endelig volummetode - Finite volume method

Differensiallikninger
Navier – Stokes differensiallikninger som brukes til å simulere luftstrømmen rundt en hindring
omfang Naturvitenskap Ingeniørfag Astronomi Fysikk Kjemi Biologi Geologi Anvendt matematikk Kontinuummekanikk Kaos teori Dynamiske systemer Samfunnsfag Økonomi Befolkningsdynamikk
Klassifisering
Typer Vanlig Delvis Differensial-algebraisk Integro-differensial Brøk Lineær Ikke-lineær Etter variabel type Avhengige og uavhengige variabler Autonom Kompleks Koblet / frakoblet Nøyaktig Homogen  / ikke- homogen Funksjoner Rekkefølge Operatør Notasjon
Forhold til prosesser Forskjell (diskret analog) Stokastisk Stokastisk delvis Forsinkelse
Løsning
Eksistens og unikhet Setning fra Picard – Lindelöf Peano eksistenssetning Carathéodory eksistenssetning Teori for Cauchy – Kowalevski
Generelle temaer Wronskian Faseportrett Faseplass Lyapunov  / asymptotisk  / eksponentiell stabilitet Konvergensrate Serie  / integrerte løsninger Numerisk integrasjon Dirac delta-funksjon
Løsningsmetoder Undersøkelse Metode for egenskaper Euler Eksponentiell responsformel Endelig forskjell  ( Crank – Nicolson ) Endelig element Uendelig element Endelig volum Galerkin Petrov – Galerkin Integrerende faktor Integrerte transformasjoner Forstyrrelsesteori Runge – Kutta Separasjon av variabler Ubestemte koeffisienter Variasjon av parametere
Mennesker Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

Den endelige volummetoden ( FVM ) er en fremgangsmåte for å representere og evaluering av partielle differensialligninger i form av algebraiske ligninger. I metoden for endelig volum konverteres volumintegraler i en delvis differensialligning som inneholder et divergensuttrykk til overflateintegraler ved bruk av divergenssatsen . Disse begrepene blir deretter evaluert som strømninger ved overflatene til hvert endelig volum. Fordi strømmen som kommer inn i et gitt volum er identisk med den som forlater det tilstøtende volumet, er disse metodene konservative . En annen fordel med den endelige volummetoden er at den lett formuleres for å tillate ustrukturerte masker. Metoden brukes i mange beregningsmessige væskedynamikkpakker . "Endelig volum" refererer til det lille volumet som omgir hvert nodepunkt på et nett.

Endelige volummetoder kan sammenlignes og kontrasteres med de endelige forskjellsmetodene , som tilnærmer derivater ved hjelp av nodverdier, eller endelige elementmetoder , som skaper lokale tilnærminger av en løsning ved hjelp av lokale data, og konstruerer en global tilnærming ved å sy dem sammen. I motsetning til en endelig volummetode evaluerer eksakte uttrykk for gjennomsnittsverdien av løsningen over noe volum, og bruker disse dataene til å konstruere tilnærminger av løsningen i celler.

Eksempel

Vurder et enkelt 1D- adveksjonsproblem :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} = 0, \ quad t \ geq 0.}$

( 1 )

Her representerer tilstandsvariabelen og representerer strømmen eller strømmen av . Konvensjonelt representerer positivt strøm til høyre mens negativ representerer flyt til venstre. Hvis vi antar at ligning ( 1 ) representerer et flytende medium med konstant areal, kan vi dele det romlige domenet , i endelige volumer eller celler med cellesentre indeksert som . For en bestemt celle kan vi definere volumets gjennomsnittsverdi av på tidspunktet og , som ${\ displaystyle \ rho = \ rho \ left (x, t \ right)}$${\ displaystyle f = f \ left (\ rho \ left (x, t \ right) \ right)}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle {\ rho} _ {i} \ left (t \ right) = \ rho \ left (x, t \ right)}$${\ displaystyle {t = t_ {1}}}$${\ displaystyle {x \ in \ left [x_ {i - {\ frac {1} {2}}}, x_ {i + {\ frac {1} {2}}} \ right]}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {1} \ right) = {\ frac {1} {x_ {i + {\ frac {1} {2}}} - x_ { i - {\ frac {1} {2}}}} \ int _ {x_ {i - {\ frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + {\ frac {1} {2}} }} \ rho \ left (x, t_ {1} \ right) \, dx,}$

( 2 )

og til tider som, ${\ displaystyle t = t_ {2}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {2} \ right) = {\ frac {1} {x_ {i + {\ frac {1} {2}}} - x_ { i - {\ frac {1} {2}}}} \ int _ {x_ {i - {\ frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + {\ frac {1} {2}} }} \ rho \ left (x, t_ {2} \ right) \, dx,}$

( 3 )

hvor og representerer plasseringer av henholdsvis oppstrøms og nedstrøms flater eller kanter av cellen. ${\ displaystyle x_ {i - {\ frac {1} {2}}}}$${\ displaystyle x_ {i + {\ frac {1} {2}}}}$${\ displaystyle i ^ {\ text {th}}}$

Integrering av ligning ( 1 ) i tid, har vi:

${\ displaystyle \ rho \ left (x, t_ {2} \ right) = \ rho \ left (x, t_ {1} \ right) - \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {x} \ venstre (x, t \ høyre) \, dt,}$

( 4 )

hvor . ${\ displaystyle f_ {x} = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}}$

For å oppnå volumgjennomsnittet til tiden integrerer vi over cellevolumet, og deler resultatet med , dvs. ${\ displaystyle \ rho \ left (x, t \ right)}$${\ displaystyle t = t_ {2}}$${\ displaystyle \ rho \ left (x, t_ {2} \ right)}$${\ displaystyle \ left [x_ {i - {\ frac {1} {2}}}, x_ {i + {\ frac {1} {2}}} \ right]}$${\ displaystyle \ Delta x_ {i} = x_ {i + {\ frac {1} {2}}} - x_ {i - {\ frac {1} {2}}}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {2} \ right) = {\ frac {1} {\ Delta x_ {i}}} \ int _ {x_ {i- { \ frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + {\ frac {1} {2}}}} \ venstre \ {\ rho \ venstre (x, t_ {1} \ høyre) - \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {x} \ venstre (x, t \ høyre) dt \ høyre \} dx.}$

( 5 )

Vi antar at det er veloppdragen og at vi kan reversere rekkefølgen for integrering. Husk også at flyt er normalt til enhetsarealet til cellen. Nå, siden vi i en dimensjon kan bruke divergenssatsen , dvs. og erstatte volumintegralet av divergensen med verdiene av evaluert ved celleoverflaten (kanter og ) av det endelige volumet som følger: ${\ displaystyle f \}$${\ displaystyle f_ {x} \ triangleq \ nabla \ cdot f}$${\ displaystyle \ oint _ {v} \ nabla \ cdot fdv = \ oint _ {S} f \, dS}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x_ {i - {\ frac {1} {2}}}}$${\ displaystyle x_ {i + {\ frac {1} {2}}}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {2} \ right) = {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {1} \ right) - { \ frac {1} {\ Delta x_ {i}}} \ left (\ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {i + {\ frac {1} {2}}} dt- \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {i - {\ frac {1} {2}}} dt \ right).}$

( 6 )

hvor . ${\ displaystyle f_ {i \ pm {\ frac {1} {2}}} = f \ left (x_ {i \ pm {\ frac {1} {2}}}, t \ right)}$

Vi kan derfor utlede et semi-diskret numerisk skjema for ovennevnte problem med cellesentre indeksert som , og med cellekantstrømmer indeksert som , ved å differensiere ( 6 ) med hensyn til tid for å oppnå: ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i \ pm {\ frac {1} {2}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d {\ bar {\ rho}} _ {i}} {dt}} + {\ frac {1} {\ Delta x_ {i}}} \ venstre [f_ {i + {\ frac {1} {2}}} - f_ {i - {\ frac {1} {2}}} \ right] = 0,}$

( 7 )

hvor verdier for kantstrømningene,, kan rekonstrueres ved interpolasjon eller ekstrapolering av cellegjennomsnittene. Ligning ( 7 ) er nøyaktig for volumgjennomsnittene; dvs. ingen tilnærminger er blitt gjort under dens avledning. ${\ displaystyle f_ {i \ pm {\ frac {1} {2}}}}$

Denne metoden kan også brukes til en 2D- situasjon ved å vurdere nord- og sørflatene sammen med øst- og vestflatene rundt en node.

Generell bevaringslov

Vi kan også vurdere det generelle bevaringsrettslige problemet, representert av følgende PDE ,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot {\ mathbf {f}} \ left ({\ mathbf {u}} \ right) = {\ mathbf {0}}.}$

( 8 )

Her representerer en vektor av tilstander og representerer den tilsvarende fluks tensor. Igjen kan vi dele opp det romlige domenet i endelige volumer eller celler. For en bestemt celle tar vi volumintegralet over det totale volumet av cellen , som gir, ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle v_ {i}}$

${\ displaystyle \ int _ {v_ {i}} {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}} \, dv + \ int _ {v_ {i}} \ nabla \ cdot {\ mathbf { f}} \ left ({\ mathbf {u}} \ right) \, dv = {\ mathbf {0}}.}$

( 9 )

Ved å integrere den første terminen for å få volumgjennomsnittet og anvende divergenssatsen på den andre, gir dette

${\ displaystyle v_ {i} {{d {\ mathbf {\ bar {u}}} _ {i}} \ over dt} + \ oint _ {S_ {i}} {\ mathbf {f}} \ left ( {\ mathbf {u}} \ right) \ cdot {\ mathbf {n}} \ dS = {\ mathbf {0}},}$

( 10 )

hvor representerer det totale overflatearealet til cellen og er en enhetsvektor som er normal mot overflaten og peker utover. Så til slutt er vi i stand til å presentere det generelle resultatet som tilsvarer ( 8 ), dvs. ${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$

${\ displaystyle {{d {\ mathbf {\ bar {u}}} _ {i}} \ over {dt}} + {{1} \ over {v_ {i}}} \ oint _ {S_ {i} } {\ mathbf {f}} \ left ({\ mathbf {u}} \ right) \ cdot {\ mathbf {n}} \ dS = {\ mathbf {0}}.}$

( 11 )

Igjen kan verdier for kantstrømningene rekonstrueres ved interpolering eller ekstrapolering av cellegjennomsnittene. Det faktiske numeriske skjemaet vil avhenge av problemgeometri og maskekonstruksjon. MUSCL- rekonstruksjon brukes ofte i ordninger med høy oppløsning hvor sjokk eller diskontinuitet er tilstede i løsningen.

Endelige volumskjemaer er konservative da cellegjennomsnitt endres gjennom kantstrømningene. Med andre ord, tapet til en celle er gevinsten til en annen celle !

Se også

• Endelig elementmetode
• Fluxbegrenser
• Godunovs ordning
• Godunovs teorem
• Høyoppløselig ordning
• KIVA (programvare)
• MIT General Circulation Model
• MUSCL-ordningen
• Sergei K. Godunov
• Total variasjon avtar
• Endelig volummetode for ustabil flyt

Videre lesning

• Eymard, R. Gallouët, TR, Herbin, R. (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, s. 713–1020. Redaktører: PG Ciarlet og JL Lions.
• Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows , Wiley.
• Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics , Cambridge University Press.
• LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws , ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
• LeVeque, Randall (2002), Endelige volummetoder for hyperbolske problemer , Cambridge University Press.
• Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow , Halvkule.
• Tannehill, John C. , et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer , 2nd Ed., Taylor and Francis.
• Toro, EF (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics , Springer-Verlag.
• Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics , Springer-Verlag.

Referanser

Eksterne linker

• Endelige volummetoder av R. Eymard, T Gallouët og R. Herbin , oppdatering av artikkelen publisert i Handbook of Numerical Analysis, 2000
• Rübenkönig, Oliver. "The Finite Volume Method (FVM) - En introduksjon" . Arkivert fra originalen 2009-10-02. Sitatjournal krever |journal=( hjelp ), tilgjengelig under GFDL .
• FiPy: En endelig volum PDE-løsning ved bruk av Python fra NIST.
• CLAWPACK : en programvarepakke designet for å beregne numeriske løsninger på hyperbolske delvise differensialligninger ved hjelp av en bølgeforplantningsmetode